課件chap6.光的衍射

1、第六章光的衍射一、緒論二、-原理和衍射公式三、圓孔和圓屏衍射、波帶片四、費(fèi)衍射和光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)五、位移-相移定理六、一維光柵、二維光柵七、三維光柵x射線晶體衍射八、光在非均勻介質(zhì)中的第一節(jié)、概論水波衍射光的衍射：當(dāng)光波遇到物時(shí)，會(huì)偏離幾何光學(xué)的直線light).而繞行的現(xiàn)象稱為光的衍射(diffractionof在歐泊石的，由無(wú)數(shù)規(guī)則的二氧化硅球粒一間隙形成了很多的三維衍射光柵，當(dāng)光線射入到歐泊部時(shí)，出現(xiàn)了光線的衍射作用，衍射的角度隨波長(zhǎng)的變化而變化，從而在不同的角度可見(jiàn)不同的顏色，亦就是所謂的變彩。衍射的一般特點(diǎn)：1、限制與展寬發(fā)散角、波長(zhǎng)和限制尺度的關(guān)系： 2、衍射圖樣和衍射屏的結(jié)構(gòu)一

2、一對(duì)應(yīng)，結(jié)構(gòu)越細(xì)微，相應(yīng)的衍射圖樣越擴(kuò)大。DNA的X光衍射衍射 樣圖微結(jié)構(gòu) Rosalind Fr19201958林linLinus Pauling 19011994Maurice Wilkins 1916James Dewey Watson 1928Francis Harry Compton Crick1916創(chuàng)新需要多學(xué)科交叉、，1962年林、獎(jiǎng)。上世紀(jì)，都是物理學(xué)研究DNA結(jié)構(gòu)的、家或化學(xué)家，所以，有人說(shuō)：是物理學(xué)和化學(xué)“劍走偏鋒”，助產(chǎn)了現(xiàn)物學(xué)。第二節(jié)、-原理衍射公式和衍射理論發(fā)展簡(jiǎn)述Arnold Johannes瑞利Lord Rayleigh 1842-1919Gustav Robe

3、rt Kirchhoff, 18241887Augustin-Jean Fresnel 1788-1827Wilheommerfeld18681951原理和-原理為基礎(chǔ)，用新的定量形式建立了原理，完善了光的衍射理論?；衾碚撋辖鉀Q了菲和瑞利提出-原理的積分問(wèn)題。衍射理論的變值條件不自洽，并引入新的函數(shù)修正了衍射理論的變值條件。原理光擾動(dòng)同時(shí)到達(dá)的空間曲面被稱為波面或波前，波前上的每一點(diǎn)都可以看成一個(gè)新的擾動(dòng)中心，稱為子波源或次波 源，次波源向四周發(fā)出次波；下一時(shí)刻的波前是這些大量次波面的公切面，或稱為包絡(luò)面；次波中心與其次波面上的那個(gè)切點(diǎn)的連線方向給出了該處光方向。原理的：沒(méi)有回答光振幅的問(wèn)題沒(méi)

4、有回答光相位的問(wèn)題補(bǔ)充和發(fā)展提出原理建立衍射理論框架光波概念次波相干疊加的次波概念原理原理的數(shù)學(xué)表示：U (P) dU (P)()SP波前上的每個(gè)面元都可以看成次波源，它們向四周發(fā)射次波；波場(chǎng)中任一場(chǎng)點(diǎn)的擾動(dòng)都是所有次波源所貢獻(xiàn)的次級(jí)擾動(dòng)的相干疊加dU (P) ?n0dSRrSP基于物理上的基本概念考慮，dU (P)決定于：dU (P) dS波前上作為次波源的微分面元次波源的自身復(fù)振幅次波源發(fā)出的球面波到達(dá)場(chǎng)點(diǎn)dU (P) U0 (Q)1dU (P) r eikrdU (P) f (0 , ) 傾斜因子表示次波面源的發(fā)射非各向同性根據(jù)分析，原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式寫(xiě)成：eikrU (P) K f (0

5、 , )U0 (Q)dSr()？衍射積分公式：衍射積分公式的物理基礎(chǔ)為亥姆方程。2UU 2 000t 2對(duì)應(yīng)定態(tài)波，角頻率單一。U隨時(shí)間變化的形式：U p, t U peitt i則：即，空間單色光的波動(dòng)方程：2 k 2 U p 0衍射積分公式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為S定理。VS是V的閉合曲面，U(p)、G(p)及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)在S和S內(nèi)連續(xù)和單值。 GUGVS U UdV U22n GGdSn證明：GU d S GU dVSV G U G2U dVV G UdV G2UdVVVUG d S U GdV U2GdVSVV兩式相減，得： GUGVS U UdV U22n GGdSnrSp選擇函數(shù)G為以P

6、為點(diǎn)光源的發(fā)散球面波：eikrGprG在p點(diǎn)為無(wú)窮大，為了滿足定理的條件，以p點(diǎn)為球心，以為半徑做一球，把p從V中除掉。新的體積為V.G2U U2GdV V UGUn GdSnS SU和G都滿足亥姆方程：2 k 2 U 02 k 2 G 0所以：G2U U2GdV k 2 GU UGdV 0V 所以：V 0UGUn GdS0nS S即：UGUGSUdS Un Gn GdSnnSr=pnS面上，n和r的方向相反，有： ，r nreikG 得：eik 1 Gik n r r=pn令 0，則：U G dS UGUSUdS lim GGnn nn 0 S eikeikU 1 lim ik Ud2n 0

7、 U iku U lim ik4en 0 4U eikr eikrU1U p SU n dSn4rr這就是積分定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表明，在光波場(chǎng)的無(wú)源區(qū)域，光波在任一點(diǎn)P的復(fù)振幅可以通過(guò)包圍該點(diǎn)的任意閉合曲面上的光波場(chǎng)復(fù)振幅分布函數(shù)求得。射問(wèn)題的重要公式。積分定理是解決衍現(xiàn)在無(wú)限大不透明屏幕上透光引起的衍射問(wèn)題。nS1S rS1nRr0pp0SRS SS1 SR eikr eikrU1U p SU n dSnU4rr eikr eikr1 4U n dSnUrrS eikr eikr1 4U n dSnUrrS1 eikr eikr1 4U n dSnrrSR eikr eikrU14 U n

8、 dS1.計(jì)算nrrSR當(dāng)R時(shí)：eikRG ReikRGeikR1 ik ik ikG nRR R則： eikr eikrUikR U114 dS 4 eU n ikU Rd nnrrSR為SR對(duì)p點(diǎn)所張開(kāi)的角，為有限值。eikR 在SR上為有限值，所以只要滿足條件：lim U ikU R 0R n則： eikr eikrU1lim 4 U n dSnrrRSReikR UikU Rd 01lim 4 nR上式為輻射條件。輻射條件在有限大小光源照明的條件下都能滿足。簡(jiǎn)單證明如下:首先設(shè)照明光源為點(diǎn)光源，當(dāng)R時(shí)，SR面上光場(chǎng)復(fù)振幅而言，P0和P間的有限距離對(duì)振幅的影響可以忽略于是SR面上光場(chǎng)復(fù)振

9、幅可近似取為：aeikRp0 P U RUaeikRp0 p 1 ik nRR aeikRp0 P UikU R lim 0于是：limR nRR至于有限大小光源照明的情況，可以將其分解為點(diǎn)光源的線性組合，所以也滿足輻射條件。 eikr eikrU14 U n dS2.計(jì)算nrrS1邊界條件1：S1U 0US 面上： 01 nS1 eikr eikrU1所以：4 U n dS 0nrrS1 eikr eikrU14 U n dS3.計(jì)算nrrS邊界條件2：在透光孔面上，光場(chǎng)復(fù)振幅分布U及其微商 Un 與沒(méi)有屏幕時(shí)完全相同;eikr0UAr01 UUeikr0 cosn, r Aik e enr

10、0nrrr000 0當(dāng)：r ，即：k 1 ，則：0r0eikr0 cos n, r0 ikr0同理：ikr eGrGGikr1 e cos n, r en erik rnrr當(dāng)：r ，即：k 1，則：reikr cos n, r ikr所以： eikr eikreikr r0U11 4 dS 4 ikU n cos(n, r)cos(n, r )dS0nrrrr0SS i cos0 cos U p eikr1dS2rS即：U P i cos0 cos U p eikr1dS2rS和的衍射積分公式的主體結(jié)構(gòu)式相同的，霍夫的明確了：(1)明確了傾斜因子，f ( , ) cos0 cos02(2)給

11、出了比例系數(shù)，K i 1 ei 2由于衍射公式的結(jié)論和實(shí)際情況符合得很好，因此得到了廣泛的應(yīng)用。但在理論上存在不自恰性，這主要是由邊界條件引起的。規(guī)定在屏的背光面，復(fù)振幅分布U及其微商Un 恒等于零。然而對(duì)于三維波動(dòng)方程，理論表明，如果其存在一個(gè)解U在空間任何一個(gè)非無(wú)窮小的面上U和Un 都為零，則這個(gè)解U必定在全空間處處為零。這顯然與實(shí)際情況。通過(guò)巧妙地選擇函數(shù)G，排除了邊界條件中對(duì)U和Un同時(shí)規(guī)定為零的要求，從而克服了理論的不自恰性。pprrnr0p0eikreikr Grr或：eikreikr Grr說(shuō)明：無(wú)論是衍射理論、衍射理論還是菲衍射理論都把光波作為標(biāo)量波處理，忽略了電場(chǎng)矢量和磁場(chǎng)矢

12、量間的耦合作用，所采用的邊界條件是近似的。不過(guò)，實(shí)際工作中遇到的大量衍射問(wèn)題大多滿足以下兩個(gè)條件:衍射體比波長(zhǎng)大得多;源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)離衍射體比較遠(yuǎn)，遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，那么標(biāo)量衍射理論給出的結(jié)果相當(dāng)準(zhǔn)確。衍射系統(tǒng)及其分類衍射和費(fèi)衍射按光源、衍射屏和接受屏三者之間的距離的遠(yuǎn)近將衍射分為兩大類：衍射：光源衍射屏接受屏之間距離為有限遠(yuǎn)。費(fèi)衍射：光源衍射屏接受屏之間距離為無(wú)限遠(yuǎn)。衍射涅原理（互補(bǔ)衍射屏）涅Jacques Babinet (1794 1872)衍射屏 a+b= 0暢通(cos cos )ieikrU (P) 0 U0 (Q)dS2r( )0ab(cos cos )(coscos )iieikreik

13、r0 U0 (Q)0 U0 (Q)dS dS2r2r( )( )abUb (P)U0 (P)Ua (P)+衍射涅原理互補(bǔ)禾費(fèi)衍射FDAPBfUa (P) Ub (P) U0 (P) 0U0 (P)除后焦點(diǎn)，軸外光場(chǎng)Ua (P) I (P) I(P)Ub (P)ab第三節(jié)、孔和屏衍射、波帶片圓圓孔和屏衍射圖樣及其特征 mm，R m，b m圓圓泊松（17811840）斑(Poisson數(shù)學(xué)家泊松利用 屏衍射中心竟會(huì)是(Francois Arago (1786-1853)spot)：衍射原理，計(jì)算出圓斑，這在泊松看來(lái)是十分荒謬的，的中間怎么會(huì)出現(xiàn)亮斑呢？這差點(diǎn)使得中途夭折。立刻進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢測(cè)，結(jié)果發(fā)一

14、般地出現(xiàn)在圓盤(pán)陰影的現(xiàn)真的有一個(gè)亮點(diǎn)如同正中心，位置亮度和理論符合得相當(dāng)完美。對(duì)衍射圖樣及其特征的分析：(1)、半波帶方法對(duì)波前次波源的一種特殊編組方式。以光源s為球心，以R為半徑作閉合球面，球面為等相位的波前,點(diǎn)源與場(chǎng)點(diǎn)P0的連線通過(guò)該波前M0點(diǎn)，M0P0=b；爾后以P0為中心，分別以b+/2, b+2/2, b+3/2,為半徑分割波前，形成一系列環(huán)帶，相鄰環(huán)帶到場(chǎng)點(diǎn)的光均為半波長(zhǎng)，故稱這些環(huán)帶為半波帶。半波帶的面積依次為1，2，3,對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的貢獻(xiàn)依次為U1，U2，U3,則總擾動(dòng)為：i) U (PU0i相位關(guān)系？振幅關(guān)系？相位關(guān)系：遞增/2，故此各個(gè)半波帶場(chǎng)點(diǎn)到各個(gè)半波帶的光對(duì)場(chǎng)點(diǎn)擾動(dòng)的貢獻(xiàn)依

15、次相差， k 1U1 A1 ,U 2 A2 ,U3 A3,.Uk (1)Ak ,.kk 1) (U (P1)Ak則：0下一個(gè)問(wèn)題，振幅Ak=?振幅關(guān)系衍射原理：) kA f (,k0krk？1 1 f (0 ,k ) 2 cos0cos1 cos2cos0 1？k?rk球冠面積： 2R2 (1 cos )，于是環(huán)帶的面積為：d 2R2 sin( )d (R b)2 r 2R2三角函數(shù)的余弦定理：cos 2R(R b)rdr兩邊求微分：sin d R(R b)于是：d 2R rdr rR bd 2Rdr，恰好和r無(wú)關(guān)。R br相鄰半波帶間的r R，b?？捎胷代替dr :2 R ，與k無(wú)關(guān)。kR

16、brk：f ( , ) 1 1 cos ?0k2結(jié)論：Ak隨著k的增加緩慢減少。緩慢程度可以用一個(gè)數(shù)值計(jì)算來(lái)說(shuō)明： 600nm，R 1m，b 1m，k 104(R b)2 R2 (b k )2 2cosk2Rbk 3mm R, b, 所以近似為：2 1 kcos 1 0.003，f () 1 0.0015 0.9985 1k100002R可以看出傾斜因子的變化非常緩慢！A3A1A0A4OA2根據(jù)相位和振幅分析，畫(huà)出半波帶方法的矢量相干疊加圖。如果沒(méi)有任何屏障，波前是完整的，為，由矢量可知道：光場(chǎng)的振幅：A 1 AA 2 A或01102利用半波帶方法的相干疊加矢量圖（1）對(duì)于圓孔衍射現(xiàn)象的說(shuō)明衍

17、射現(xiàn)象的說(shuō)明如果k=2m為偶數(shù):A1A3Ak=2m-1OA2 A4Ak=2mU (P0 ) A1 A2 A3 A4 . A2m 0即軸上衍射光強(qiáng)約等于0，中心為暗斑。如果k=2m+1為奇數(shù)A3Ak=2m+1A1A4OA2 A3 A4 . A2m1U (P0 ) A1 A2 A1 2 A0即軸上衍射光振幅約等于2 A0，中心為亮斑。2I (P ) 4 A 4I000中心亮斑光強(qiáng)為光強(qiáng)的4倍。A0（2）對(duì)于圓屏衍射的如果k=2m+1為奇數(shù):斑的說(shuō)明A2m+14U (P0 ) A2m1 A2m2 A2m3 . A0即軸上衍射光振幅約等于A0，中心為亮斑。A3A1AA2如果k=2m為偶數(shù):A3A2m+

18、1A2mU (P0 ) A2m A2m1 A2m2 A2m3 . A0即軸上衍射光強(qiáng)約等于I A ，中心為亮斑。200A1A2斑成像無(wú)透鏡成像技術(shù)ABBB高亮度源A光滑球A泊松成像的特點(diǎn)：使用于高亮度物體的成像泊松成像沒(méi)有景深限制不存在如透鏡色散引起的色像差問(wèn)題：如果開(kāi)口和遮擋不是整數(shù)個(gè)波帶，軸上光強(qiáng)如何處理？細(xì)致的矢量解螺旋式曲線為了求解k為非整數(shù)時(shí)的光強(qiáng)，再將每個(gè)半波帶細(xì)分成N個(gè)環(huán)帶，這樣：i mNNm0m0Uk UUeNkmk 0圖iA Ae代表一個(gè)矢量：Aii A A1eA2eAA2*22cos A A AA2 2 A1 A2A1A1A3A A ei A ei A ei 2123A*A

19、 A AA2cos 2A1A1A1A0A2i mN ,NNUk UUekmk 0m0i0可等效為N個(gè)小矢量的和，相位代表各小矢量的方向首尾銜接形成半個(gè)多邊形，當(dāng)N 時(shí)，半個(gè)多邊形過(guò)度成半圓。例題：A0O求解k為非整數(shù)的衍射光強(qiáng)： k 1.5時(shí)，光強(qiáng)？ k 2.25時(shí)，光強(qiáng)？ 2A2.25 2 A0 sin 8 ，光強(qiáng)I2.25 2 A0 sin 8 0.6I0A2 A ，光強(qiáng)I 2 A 2 2I1.501.500波帶片A3A3AA11A0A0A4A4OOA2A2A(P0)=A2+ A4+ A6+ A8+A(P0)=A1+ A3+ A5+ A7+全透明浮雕型波帶片A3A1A0A4OA2(n 1)

20、d (2m 1) 0 2U (P0 ) A1 A2 A3 A4 .入射光通量沒(méi)有損失，焦點(diǎn)或像點(diǎn)的光振幅是經(jīng)典波帶片的2倍，光強(qiáng)為4倍。余弦式波帶片它是通過(guò)球面波和平面波制作的，其光照時(shí)的透過(guò)函數(shù)為正弦或余弦式，具有更好的聚焦性能，只有一個(gè)實(shí)焦點(diǎn)和一個(gè)虛焦點(diǎn)。半波帶半徑公式 (R b)2 (b k )2R2 2 R sin 1 cos2 ；cos R kkkk2R(R b)2 (R b)2 (b k R2)2所以：k R 1 2 ，2R(R b)因?yàn)閗 R, b，忽略(k)2 和高階項(xiàng)，得：k Rb RbR bk ； 注：k不一定為整數(shù)k11R b k 1 k 1 k 1kk112k即半波帶越

21、來(lái)越密集。k Rb反過(guò)來(lái)再認(rèn)識(shí)公式：k ，k1R b當(dāng)圓孔半徑給定時(shí)，它所包含的半波帶數(shù)目k可求解:2 11k b R寫(xiě)成： 21 1 kRb說(shuō)明，當(dāng)屏幕由近至遠(yuǎn)，b增加時(shí)，k數(shù)減少，時(shí)為偶數(shù)，時(shí)為奇數(shù)，也就是軸上光強(qiáng)時(shí)暗。例題：設(shè) 600nm， 2mm，R 1m，試問(wèn)該圓孔包含的半波帶的最少數(shù)目？解： 2 11 k 當(dāng)b 時(shí)，k為最少；， Rb 2221km R 1000 600 106 6.7；這個(gè)數(shù)為非整數(shù)，接近奇數(shù)7，問(wèn)題1：嚴(yán)格包含7個(gè)半波帶時(shí)的縱向距離為多少？ 2R 2kR 211b1（1）： k b 20mk 1R 2R用化函數(shù)積分公式求孔衍射軸上光強(qiáng)變(cos cos )iei

22、kr0 U0 (Q)U (b) dS2r02RdSaikRU0 (Q) e，這里a為常數(shù)，dr，R brR在傍軸條件下，f (0 , ) 1圓于是：rkikRikr i 2R ikb aaR b ebU (b) dr eikRikrkeeeR bR2 a2 2 cos k (rk b)I (b) U (b) U (b) R b2r b a 4sin 2 k k R b 2rkRR+b 2R R b2 bcos R R b2 brk 2R R222R R1R21 (R b) 2傍軸條件， R, b，于是：rk b 2Rba22 2(R b) 2 21 1asin 2 4sin 2 I (b) 4

23、 2 R b R b 4Rb Rb 2 11 1 k 22時(shí)，I (b) 4I0，為衍射亮斑。當(dāng) Rb 2 2 11 k時(shí)，I (b) 0，為衍射暗斑。當(dāng) Rb 第節(jié)、費(fèi)孔衍射圓四費(fèi) (Joseph von Fraunhofer 17871826)費(fèi)是德國(guó)物理學(xué)家。主要工作：1814年發(fā)現(xiàn)并研究了光譜中的暗線（現(xiàn)稱為費(fèi)譜線），他環(huán)方法檢查光學(xué)設(shè)計(jì)和制造了消色差透鏡，首創(chuàng)用表面加工精度及透鏡形狀，他了平行光單縫及多縫衍射的研究成果，做了光譜分辨率的實(shí)驗(yàn)，第一個(gè)定量地研究了衍射光柵，用其測(cè)量了光的波長(zhǎng)，以后又給出了光柵方程。實(shí)驗(yàn)裝置和現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)裝置如上圖，在透鏡的后焦面接受費(fèi)衍射場(chǎng)中心為亮斑，并且亮

24、度大于兩側(cè)的亮條紋，中心亮條紋寬度是兩側(cè)的二倍，亮斑的寬度隨狹縫的變窄而展寬。矢量圖解法衍射強(qiáng)度FRDAdPEBCA0f CEP，所以由A到B，每點(diǎn)附加的把狹縫AB分成N等份，光：l d sin；所以P點(diǎn)的復(fù)振幅可寫(xiě)成：光N U Ui ( )i0i 2 d sini 2 2d sini 2 3d sini 2 Nd sin AeikL0 1 eee . e相當(dāng)于一系列小矢量首尾銜接的和，矢量方向依次相差 2 d sin的角度。RA0A0 2Nd sin 2A0a sin；R 2a sinA( ) 2R sin sin a sin ；引進(jìn)宗量 A0a sin，得： 2 a sinsin ；A(

25、) A0 sin 2光強(qiáng)：I ( ) A( ) I0 2 衍射圖樣的積分法求解FDAPL0EBCf(cos cos )ieikr0 U0 (Q)U ( ) dS2r0dS bdx ，U0 (Q) A，這里b為常數(shù)，0在傍軸條件下，f (0 , ) 1，振幅系數(shù)1 1經(jīng)透鏡變換 1rr0f相因子eikr , kr kL kL kx sin00 sin a sin a ifif2 ikx sinU ( ) dxAbeikL0AabeikL0e0a sin0a2令：c i AabeikL0， a sin ，則：f sin U ( ) c sin 2* U ( )U ( ) I0 I 和矢量圖解方法求

26、解的結(jié)果完全一致。說(shuō)明 1 經(jīng)透鏡變換 1r0fMNPrOOFfss單縫透鏡后焦面之間是非空間，次波源發(fā)出的發(fā)散球面波經(jīng)透鏡變成匯聚球面波，此時(shí)積分公式中的r已經(jīng)失去了明確的意義。要處理此問(wèn)題，可以分別在物空間(空間)積分公式的1/r和像空間(空間)，利用關(guān)系，考慮振幅的規(guī)律。MNr在傍軸條件下：rPOOFf利用1 r 的關(guān)系：ssA a a ，A a a 這里忽略透鏡對(duì)光能的損耗，A A .MNMNrsrsa sa ss s f aasssAAAPNMs fs fs fs fPO利用透鏡成像公式：1 1 1 1 1 1 s f代入上式得：ssfsfss fa 1APff衍射樣的主要特點(diǎn)： s

27、in a siniU ( ) c ， fikL0，其中cAabe sin 2* U ( )U ( ) I0 I I0，在幾何光學(xué)像點(diǎn)，=0(1)最大值圖(2)零點(diǎn)的位置； a sin k，即a sin k，k 1， 2.衍射強(qiáng)度I ( ) 0,出現(xiàn)暗紋。（3）次極大的位置d sin cos sin 0，即 tan 時(shí)出現(xiàn)次極值。d 2（4）半角寬度0；0零級(jí)衍射峰值與其相鄰的暗點(diǎn)之間的夾角稱為衍射的半角寬度。 a sin sin ,a111a 0 ，即 a 0110a(5)單縫寬度對(duì)衍射圖樣的影響0 a 2A S，I A S 2000I16I04I0 I0（6）波長(zhǎng)的影響I ，所以長(zhǎng)波長(zhǎng)的光衍

28、射半角寬度大。0a根據(jù)積分公式：I 1 ，所以波長(zhǎng)短的光衍射峰值大。2藍(lán)光紅光例題： 在單縫費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中， 照明光波長(zhǎng)為600nm，透鏡焦距為200mm，單縫寬度為15m,求零級(jí)衍射斑的斑角寬度和屏幕上顯示的零級(jí)斑的幾何寬度？解：600 103半角寬度：0a 0.04rad15h 0，所以幾何長(zhǎng)度為：l f0 200 0.04 8mmI0I0/20h思考題：斜入射的i費(fèi)射FMRDSAPdENBCA0f CEP，SNB SMA，所以每點(diǎn)附加把狹縫分成N等份，光：l (sin sin i)d；所以P點(diǎn)的復(fù)振幅可以寫(xiě)成：的光i 2 li 2 2li 2 3li 2 NlNU ) 1 eee . ei

29、kLU (Ae0ii0相當(dāng)于一系列小矢量首尾銜接的和，矢量方向依次相差 2 l的角度。 2Nd (sin sin i) 2 a(sin sin i)；R A0A02 a(sin sin i)A( ) 2R sin sin a(sin sin i) ；A0 2 a(sin sin i)引進(jìn)宗量 a(sin sin i)，得：sin ；A( ) A0 sin 2光強(qiáng)：I ( ) A( )2 I0 斜入射和正入射的單縫變化的是宗量。費(fèi)衍射的表達(dá)式一致。正入射斜入射宗量 a sin宗量 a(sin sin i)iAFMDSPdENBCf(cos cos )ieikr0 U0 (Q)U ( ) dS2r

30、0ikx sin iU0 (Q) Ae0，這里b為常數(shù)dS bdx ，0在傍軸條件下，f (0 , ) 1，振幅系數(shù)1 1經(jīng)透鏡變換 1rr0f相因子eikr , kr kL kx sin kL00ai2 eikx (sin sin i )U ( ) ikLAbedx000fa2 sin a(sin sin i) if AabeikL0a(sin sin i)AabeikL0， a(sin sin i)，則：令：c if sin U ( ) c sin 2* U ( )U ( ) I0 I 和矢量圖解方法求解的結(jié)果完全一致。斜入射和正入射的單縫變化的是宗量。費(fèi)衍射的表達(dá)式一致。正入射斜入射宗量

31、 a sin宗量 a(sin sin i)費(fèi)衍射衍射圖樣的積分法求解(cos cos )ieikr0 U0 (Q)U (1,2 ) dS2r0 xx0aPL012by0fydS dx dy ，U0 (Q) A，00在傍軸條件下:f ( , ) 1，振幅系數(shù)1 1經(jīng)透鏡變換 10rrf0相因子eikr , kr kL kL kx sin ky sin00102bai22 ekx sin ky sinU (1,2 ) ikLAe2 dx0 dy00010fb2a2a sinb sin sin1sin2if AabeikL0a sin1b sin2令：c i AabeikL0， a sin1 ， b

32、 sin2 ，則：f sin sin U (1,2 ) c ， sin 2 sin 2*I , U (1,2 )U (1,2 ) I0 12費(fèi)衍射的主要特點(diǎn)(1)衍射峰，當(dāng)1，2 0，0，有I I0，衍射強(qiáng)度最大稱此為零級(jí)衍射峰。(2)零點(diǎn)的位置； a sin1 k a sin k 當(dāng)1時(shí)，I , 0為暗區(qū)。11即b sinb sin2 k212 k 2 2ba(3)零級(jí)斑的半角寬度；衍射發(fā)散角度和衍射孔的幾何線度的反比律關(guān)系；a 1 ，b 2 ,沿x方向的擴(kuò)展1ab2 ,沿y方向的擴(kuò)展思考題：斜入射費(fèi)衍射？(cos cos )ieikr0 U0 (Q)U (1,2 ) dS2r0) Aeik

33、 ( x sin i y sin i )，dS dx dy ，U0 (Q010200在傍軸條件下，f ( , ) 1，振幅系數(shù)1 1經(jīng)透鏡變換 10rrf0 xix01aPL012by0i2fy相因子eikr , kr k (L L)0 kx0 sin1ky0 sin2 kL0bai22 dy0 ekx (sin sin i )ky (sin sin i )U (1,2 ) ikLAedx00011022fb2a2a(sin sin i )b(sinsin i2 ) sin11sin2if AabeikL0 a(sin1 sin i1)b(sin2 sin i2 )令：c i AabeikL0

34、，f asin1 sin i1 ， bsin2 sin i2 ，則： sin sin U (1,2 ) c ， sin 2 sin 2*I , U (1,2 )U (1,2 ) I0 12斜入射和正入射的矩形變化的是宗量。費(fèi)衍射的表達(dá)式一致。費(fèi)孔衍射(coscos ) ieikr0 U0 (Q)U ( ) dS2r0 (dS dd，U0 Q) A，在傍軸條件下，f (, ) 1，0振幅系數(shù)1 1 經(jīng)透鏡變換 1(前面已經(jīng)說(shuō)明)rr0fxPx0L0y0yf圓相因子eikr , kr kL kL k cos sin 0R2if0 ek cos sin dd0U ( ) AeikL0 2J 2R s

35、in 1if;AR2eikL0J 一階函數(shù)2R sin1令：c i AR2eikL0，x 2R sin ，則：f 2J (x) 2 2J (x) I U ( 1 ) c )U ) I* 1 U (，0 xx2 2J1(x) I I0 xI=0I=0I=0I=0-10-50X510Ix01.221.642.232.683.24 2J (x) 2I I0 1 x100.01700.0040第一個(gè)暗環(huán)的方位角0為：x 2R sin0 1.22 ，D 2R為圓孔直徑。 1.22 sin0D斑的半角寬度0體現(xiàn)了圓孔衍射效應(yīng)的強(qiáng)弱程度，由上式得： 1.22 ，或D 1.2200D它和單縫和矩形孔的衍射反比

36、律公式一致，只是系數(shù)有差別。1.22(/D)斑Gee Biddell Airy (27 July 1801 2 January 1892)Thefull theoretical treatment explaining the phenomenon of Airydisk was published onTranions of the Cambridge PhilosophicalSociety, Vol. 5, 1835, p. 283-291. (Airy, G. B., On the Diffraction of anObject-glass with Circularrture,“).

37、第五節(jié)、光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)波動(dòng)光學(xué) : 物點(diǎn)像斑( 經(jīng)透鏡 )物(物點(diǎn)集合)像(像斑集合)幾何光學(xué) :物點(diǎn)像點(diǎn)( 經(jīng)透鏡 )物(物點(diǎn)集合)像(像點(diǎn)集合) 0 0 0瑞利判據(jù):兩個(gè)物點(diǎn)反應(yīng)在像面上有兩個(gè)斑，設(shè)兩物斑自身的斑中心的夾角為，每個(gè)點(diǎn)的夾角或兩半角寬度為0，瑞利判據(jù)是：當(dāng) 0 時(shí)， 可分辨； 當(dāng) k時(shí)，可分辨；當(dāng)kk時(shí)，不可分辨；級(jí)主峰的半角寬 度：k 當(dāng)k=k時(shí)，給出 可分辨的最小N波d c長(zhǎng)os差 。 D coskk當(dāng)k=k時(shí)k D kmd cosmkNd cosD coskkk kN可分辨最小波長(zhǎng)差：m R kN 定義光柵色分辨本領(lǐng)： R m例題：一光柵線密度為500/mm，有效尺

38、度為30mm，求:（1）該光柵的2級(jí)光譜在波長(zhǎng)為500nm附近的角分辨率？（2）能分辨的最小波長(zhǎng)差？解：(1)：d sin2 2, 得：sin 2 2 500nm 500 / mm 0.52dk2D 1.15104 rad / nmd cos1 sin 2 dk2 kN500nm(2) : 0.017nmm2 (500 / mm 30mm) 2閃耀光柵透射光柵的缺點(diǎn)：I 1. 不同波長(zhǎng)的零級(jí)主峰重合，即所謂“零級(jí)無(wú)色散”，同時(shí)正好處在單元衍射因子的最大值上，對(duì)光能是極大的浪費(fèi)。2. 光譜分析只需要其中一個(gè)序列光譜，但是透射光柵的衍射光強(qiáng)分散到正負(fù)各級(jí)光譜中，也是對(duì)光能的浪費(fèi)。使觀察的那級(jí)光譜只

39、能分配到少量的能量。閃耀光柵的結(jié)構(gòu)閃耀角nNb照明方式（2）沿n的方向入射（1）沿n的方向入射d（1）沿N的方向入射-bb2bb單槽衍射場(chǎng)，按幾何光學(xué)定律的方向是衍射的零級(jí)方位。單槽的零級(jí)衍射角為 =2b。 sin 2 sin a sini0 bb結(jié)構(gòu)因子：2b sin N 2 其中 d sinsin 2 asin d sin sinbb 2 asin sin d sinbb單槽的零級(jí)衍射角為 =2b,結(jié)構(gòu)，此時(shí)的相鄰槽衍射線之間的光為：L d sin2b 滿足：d sin2b 1b的1b的光波在2b方向出現(xiàn)一級(jí)主峰，1b稱為一級(jí)閃耀波長(zhǎng)。d sin2b 22b的2b的光波在2b方向出現(xiàn)二級(jí)主

40、峰，2b稱為二級(jí)閃耀波長(zhǎng)。透射光柵閃耀光柵：把單槽衍射零級(jí)方向變成了槽間級(jí)，產(chǎn)生高衍射效率的色散?？朔送该鞴鈻诺牡姆橇闵淞慵?jí)和縫間零級(jí)重合。L d sin2b 閃耀光柵僅有一序列光譜：由于閃耀光柵的單槽寬度a和光柵周期d相近，使得一級(jí)閃耀波長(zhǎng)的其他級(jí)別的主峰方向，正好落在單槽衍射的零點(diǎn)上，從而全 sin N 2 其中 d sinsin 部，僅保留了一級(jí)主峰，因此閃耀光柵僅有一列光譜。閃耀光柵衍射場(chǎng)-1.0-0.50.00.52b-1.0-0.50.00.5 sin 2-1.0-0.50.00.5 sinb 其中a sini0 b單槽衍射因子槽間干涉因子（2）沿n的方向入射槽間光：L 2d s

41、inb一級(jí)閃耀波長(zhǎng)：2d sinb 1b二級(jí)閃耀波長(zhǎng)：2d sinb 22b光柵的由來(lái)和：James Gregory(November 1638 October 1675)About 1673, James Gregory discovered the diffraction grating by passing sunlight through a bird feather and observing the diffraction pattern produced. In particular he observed the splitting of sunlight o its comp

42、onent colours this occurred a year after Newton haddone the same wi controversial.prism and the phenomenon was still highlyDavid Rittenhouse(April 8, 1732 June 26, 1796)Fraunhofer demonstrating the spectroscopeIn 1785 Rittenhouse made perhaps thediffraction grating using50 hairs betn twofinely-threa

43、ded screws, win approximatespacing of about 100lines per inch. This was roughly the sametechniquetJosephvonFraunhoferused in1821forhiswirediffraction grating.Ruling engineHenry Joseph Grayson designed a machine to make diffraction gratings, succeeding with one of 120,000 lines to the inch (approx. 4

44、7 000 per cm) in 1899.Later, photolithographic techniques allowed gratings to be createdfrom a holographicerference pattern.A copying technique allows high quality replicas to be made from master gratings of either type, thereby lowering fabricationA very large reflecting diffraction grating.Volume

45、phase holography diffraction gratings are fabricated byt aholographicerference pattern exes photosensitive gelsandwiched betn two substrates.Semiconductor technology today is also utilized to etchholographically patterned gratings fused silica.o robust materialch asDigital planar holography gratings

46、 are generated in computer andfabricated on one or severalerfaof an optical waveguideplanar with standard micro-lithography or nano-impr compatible with mass-production.ing methods,光柵其他應(yīng)用舉例：光柵在顯示的應(yīng)用光柵在脈沖激光器中的應(yīng)用展寬脈寬：壓縮脈寬：d1二維光柵yd2xo位移 相移 2 md位移x md 相移sin mm1xm11x 2 nd位移y nd 相移sin nn2yn22y(1,2)光柵衍射場(chǎng)：

47、N2 1N1 1 i (m n) , ,) ) U (U ()(exy12012n0m0N2 1N1 1 U ( , ) eeinimyx012n0m01 eiN2 y1 ei y1 eiN1 x U0 (1,2 ) 1 ei x sin N11 sin N2 2 U0 (1,2 )ei ( N 1) i ( N 1) 1 e122sin 1sin 2 y x d d其中sin ，sin11122222222 sin N11 sin N2 2I (1,2 ) U0 (1,2 ) sin sin 1 2衍射結(jié)構(gòu)因子，它決定了衍射主級(jí)強(qiáng)的方位角(1，2)。 x d sin1211 y d sin2

48、222單元衍射因子，如果為矩形則：222 sin 1 sin 2 U (1,2 ) I0 1 2 asin1 ， bsin2 12子，它決定了衍射主級(jí)強(qiáng)的方位角(1，2)。衍射結(jié)構(gòu)d1 sin1 k1；k1 0,1,2.dsin k ；k 0,1,2. 2222相應(yīng)的主峰半角寬度:1d sin k 11k1kN1 圖為二維晶面的費(fèi)衍射強(qiáng)度結(jié)構(gòu)因子 d cos11k1kN1從而得到1的k級(jí)主峰的半角寬度： ， 1kN d cosD cos2kD cos111k11k22k/d1sin2/d2sin1因二維晶片的共面衍射xzd1d2位移 相移 2 md位移x md 相移sin mm1xm1x 2

49、n(d位移z nd 相移d cos ) nn2zn22z光柵衍射場(chǎng)： N2 1N1 1N2 1N1 1 n0ei (m n )im ) U ( ) )in U (U (e)exzxz00n0m0m01 eiN1 x1 eiN2 z1 eiz U0 ( ) 1 ei x sin N11 sin N2 2 U0 ( )ei ( N 1) i ( N 1) 1 e122sin 1sin 2 y x d (d d cos )其中sin，11222222 sin N 2 sin N 2I ( ) U0 ( ) 11 22 sin 1sin 2 衍射結(jié)構(gòu)因子,它決定了衍射主級(jí)強(qiáng)的方位角()。衍射主級(jí)強(qiáng)的方

50、位角()由衍射結(jié)構(gòu)因子得，主級(jí)強(qiáng)出現(xiàn)在：d1 sin k1；k ，k 0，1， 2， 3.dd cos k 122222例題：如果d1 d2 10，求主級(jí)強(qiáng)的方位角？解：k ksin k sin k 0,1,2. 10，d11，111d101再由：d2 d2 cos k2得：2 2d d cos kk 10 10 1 1 10 100 k222110 滿足k2為整數(shù)的解為：k1 62 3652 84 53810所以有7個(gè)衍射10 ；000k2主級(jí)強(qiáng)的方位角。 90第八節(jié)、三維光柵射線晶體衍射MaxvonLaue（1879-1960）德國(guó)慕尼黑大學(xué)理論物理學(xué)家物理學(xué)獎(jiǎng)-因發(fā)現(xiàn)晶體的X射線衍射19

51、14年（1845-1923）大學(xué)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家德國(guó)1895年發(fā)現(xiàn)X射線,1901年獲物理學(xué)獎(jiǎng)。X射線產(chǎn)生機(jī)制軔制輻射：高能電子打到靶上后，電子受原子核電場(chǎng)的作用而速度驟變，而輻射電磁波，此X光譜連續(xù)。X-熒光：高能電子將原子內(nèi)層的電子激發(fā)出來(lái)，高能級(jí)電子躍遷到基態(tài)時(shí)，輻射出 X 射線，光譜不連續(xù)。X射線性質(zhì)：1. X射線是一種電磁波。2. 波長(zhǎng)很短(1011108m)， X射線力很強(qiáng)。X射線的應(yīng)用不僅開(kāi)創(chuàng)了研究晶體結(jié)構(gòu)的新領(lǐng)域，而且用它可以作光譜分析，在科學(xué)研究和工程技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用。在醫(yī)學(xué)和分子生物學(xué)領(lǐng)域也不斷有新的突破。X-射線衍射的發(fā)現(xiàn)過(guò)程：發(fā)現(xiàn)X射線衍射和慕尼黑大學(xué)的科學(xué)氣氛有密切關(guān)

52、系，當(dāng)時(shí)師生們最多的一個(gè)問(wèn)題就是X射線的本性。認(rèn)為X射線是電磁波。1912年,在同一位博士交談時(shí)，產(chǎn)生了用X射線照射晶體用以研究固體結(jié)構(gòu)的想法。他設(shè)想X射線是極短的電磁波，而晶體又是原子（離子）的有規(guī)則的三維排列, 就像是一塊天然光柵那樣，只要X射線的波長(zhǎng)和晶體中原子（離子）的間距具有相同的數(shù)量級(jí)，那么當(dāng)用X射線照射晶體時(shí)就應(yīng)能觀察到現(xiàn)象。這確實(shí)是一個(gè)極其奇特而又非常有效的方法。的“光學(xué)”使他產(chǎn)生了上的飛躍，晶體中原子的排列如果是有規(guī)則的，其間距與入射波的波長(zhǎng)同數(shù)量級(jí)，就有可能產(chǎn)生。1912年4月他們開(kāi)始了這項(xiàng)試驗(yàn)。利很快地按的設(shè)計(jì)搭起了安裝有實(shí)驗(yàn)裝置的架子，但是他們?cè)诘谝惠唽?shí)驗(yàn)中，由于X射線

53、太弱，時(shí)間而屢遭失敗，幸虧他們時(shí)間延為數(shù)小時(shí)，才在底有堅(jiān)定的信念，把片上顯出有規(guī)則的斑點(diǎn)。后來(lái)，他們改進(jìn)了設(shè)備，采用ZnS、NaCl等晶體做試驗(yàn)，衍射斑點(diǎn)具有更在照相底片上形成對(duì)稱分布的為明顯的對(duì)稱性。接著，推導(dǎo)出一系列衍射若干衍射斑點(diǎn)，稱為斑。方程，很好地解釋了這些斑點(diǎn)的成因。X-射線衍射意義：X射線衍射現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)對(duì)近代物理學(xué)的發(fā)展有重要意義，因?yàn)樗粌H證明了X射線是一種比可見(jiàn)光波長(zhǎng)短千倍的 電磁波，使人們對(duì)X射線的認(rèn)識(shí)邁出了關(guān)鍵的一步，而且還第一次對(duì)晶體的空間點(diǎn)陣假說(shuō)作出了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證， 使晶體物理學(xué)發(fā)生了質(zhì)的飛躍。由于X射線衍射的發(fā)現(xiàn)， X射線學(xué)在理論和實(shí)驗(yàn)方法上飛速發(fā)展，很快形成了一門(mén)內(nèi)容

54、極為豐富、應(yīng)用極為廣泛、影響極為深遠(yuǎn)的綜合學(xué)科。晶體結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)裝置X射線通過(guò)紅寶石晶體(a)和硅單晶體(b)所拍攝的布拉格公式1915年物理學(xué)獎(jiǎng)X射線晶體結(jié)構(gòu)分析亨利，授予英國(guó)倫敦大學(xué)的布拉格(SirWilliamHenryBragg,1862-1942)和他的兒子英國(guó)曼徹斯特維克托利亞大學(xué)的勞倫斯 布拉格(SirWilliamLawrenceBragg,1890-1971).解釋了的形成，但他的方法比較復(fù)雜。，英國(guó)物理學(xué)家布拉格父子提出一種比較簡(jiǎn)單的方法來(lái)說(shuō)明X射線的衍射。父子認(rèn)為當(dāng)X射線射到晶體各層面的原子時(shí)，原子中的電子將發(fā)生受迫振蕩，從而向周?chē)l(fā)射同頻率的電磁波，即產(chǎn)生了X射線的散射，

55、而每個(gè)原子則是一個(gè)次波源；結(jié)果。斑正是次波的疊加的1111、同一晶面的增強(qiáng)：l cos cos1 k同一晶面內(nèi)對(duì)于所有的l都要求滿足上式，于是：1 即只有按反射定律反射的射線的強(qiáng)度增強(qiáng)。2、不同晶面之間的增強(qiáng)對(duì)于以角掠射的單色平行的X光束投射到晶面間距為d的晶面上時(shí)，在各晶面所散射的射線中，只有按反射定律反射的射線的強(qiáng)度為最大，上、下兩晶面所發(fā)出的反射線的光為: BC CD 2d sin當(dāng)=2dsin = k時(shí)各層面上的反射光相干加強(qiáng)，形成亮點(diǎn)，稱為 k級(jí)主極大。該式稱為公式。布拉格公式說(shuō)明：1. 對(duì)于X-射線晶體衍射，晶體是三維光柵，有一系列不同取向的晶面，它們的晶面之間的距離不同，因此晶體

56、的X-射線衍射有一系列的布拉格公式。2. 對(duì)于晶體衍射，X-射線入射方向和晶體的位置確定后，則一系列的d和也就確定了，給定波長(zhǎng)的X-射線可能不滿足布拉格公式，因此有可能得不到X-射線的衍射圖樣。問(wèn)題：如何觀察到X-射線的衍射樣？圖觀察X-射線衍射的兩種方法：用連續(xù)X-射線照射單晶，此時(shí)一系列d和（1）給定，而X-射線的波長(zhǎng)是任意的，因此對(duì)于每一晶面族總能找到滿足布拉格公式的波長(zhǎng)，得到衍射圖樣。照相稱為的是一些亮斑，這些亮斑稱為斑，衍射圖，上的斑對(duì)應(yīng)著晶面，研究圖上的衍射點(diǎn)的分布可以推測(cè)出晶格中粒子的分布。（2）德拜法：用單色X-射線照射多晶或旋轉(zhuǎn)的單晶，此時(shí)X-射線的波長(zhǎng)給定，而對(duì)于多晶或旋轉(zhuǎn)

57、的單晶，d和 是任意的，因此總能找到滿足布拉格公式的d和，得到衍射圖樣。照相德拜圖。的是一些亮環(huán)，這些亮環(huán)組成的衍射圖稱為X射線相機(jī)和德拜相機(jī)晶體分析儀X光管管套（內(nèi)置X光管）及X射線出口和濾波片轉(zhuǎn)換盤(pán)相機(jī)單晶儀分析部分相機(jī)中的前衍射（透射法)和背衍射（背射法）裝置示意圖，對(duì)同一樣品，兩種方法獲得的衍射圖樣不相同，但反映的是同一樣品的結(jié)構(gòu)。1-圓筒相盒，2-樣品夾，3-X射線（入射光闌），4-熒光屏單色x射線輻照在粉末晶體樣品上產(chǎn)生的衍射條紋由膠片，膠德拜相機(jī)多晶分析儀部分片上的衍射條紋的位置和強(qiáng)度可用于粉末晶體結(jié)構(gòu)分析。第九節(jié)、光在不均介質(zhì)中的光在不均介質(zhì)中的1.基本方程的推導(dǎo)2.一級(jí)近似周

58、期勢(shì)產(chǎn)生的散射多重散射1.基本方程的推導(dǎo)入射波場(chǎng)不均勻介質(zhì)散射波場(chǎng)“散射”涉及波或離子同物質(zhì)的相互作用，內(nèi)容廣泛，本節(jié)的只限于光與線性的、各向同性的、非磁性的靜態(tài)介質(zhì)的作用，并且散射介質(zhì)中無(wú)場(chǎng)源。方程，e0=0,j0=0空間的 D 0 .B E E Btt B 0D ( A) ( A) H t E E t B22 A E E t B2對(duì)于各向同性線性介質(zhì)D 0EDtB H H 0非磁性介質(zhì) 1 E E H2E2000tt 20 E E 0 D 0 0E 0 E ln EE 即： E 2E2E00t 2 E ritE r ,e單色光入射 ln E r 0 k22E rE r0 c其中：k0如果隨

59、空間位置變化緩慢（），則方程簡(jiǎn)化為：2E k 2n2E 0 ln E 0，n 0E 每一分量的求解，便窺見(jiàn)全貌，故此可轉(zhuǎn)化成標(biāo)量方程：2U k 2n2U 002U k 2n2U 00改寫(xiě)成：F 2U k 2U 4r U0k n (r ) 1 ) 122F (r ,04F通常稱之為介質(zhì)的散射勢(shì)。將U表示成入射場(chǎng)和散射場(chǎng)之和：U U r U r isr入射波為均勻空間，全空間滿足亥姆方程：2U i k 2U i0于是散射波滿足： 0F 42U s2U skr U0引入亥姆算符的函數(shù)，將微分方程轉(zhuǎn)化成積分方程;2 k0r r 32 G r4r 2r r 32 sU (r )k0G r4r r k0r

60、 FU r 2 2sG rU4 U r r r G r Us22sr G rF r U 4U r r r 34sr G rr VRnOVSR散射體F r U U r s3r G rr d rVR 1 4r r r G r Us22s3Ur G rd rVR選擇函數(shù)為：r r eik0 G r r r r 它通常被稱為亥姆算符的輻射空間函數(shù)。這個(gè)選擇是合理的，因?yàn)榫嗌⑸潴w足夠遠(yuǎn)的地方，散射場(chǎng)的行為也將如同球面波輻射。 r r U r G rs22s3Ur G rd rVR sG rr Ur Gr r dssUr nnSR輻射條件，故此取R時(shí)：有限的散射體滿足 U r sG rr U r Gr r