1981年-2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題分類匯編(2)函數(shù)與方程

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)1981年2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題分類匯編函數(shù)與方程部分2019A1、已知正實(shí)數(shù)滿足，則的值為 答案： 解析：由條件知，故，所以。2019A二、（本題滿分 40 分）設(shè)整數(shù)滿足 記，求的最小值并確定使成立的數(shù)組的個(gè)數(shù)解析：由條件知 由于及（）均為非負(fù)整數(shù)，故有且于是 10 分由、得，結(jié)合及，可知 20 分 另一方面，令，（），此時(shí)驗(yàn)證知上述所有不等式均取到等號(hào)，從而的最小值30 分 以下考慮的取等條件此時(shí)，且中的不等式均取等， 即，（）。因此，且對(duì)每個(gè)（），中至少

2、有兩項(xiàng)等于易驗(yàn)證知這也是取等的充分條件 對(duì)每個(gè)（），設(shè)中等于 的項(xiàng)數(shù)為，則為正整數(shù)，且，即 ，該方程的正整數(shù)解的組數(shù)為，且每組解唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)使取等的數(shù)組，故使成立的數(shù)組有個(gè)40 分2019B 10. （本題滿分20分）設(shè)均大于，滿足，求的最大值。解析：設(shè)，由，可知。由條件及換底公式得，即，由此令（），則，得。所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，相應(yīng)的，所以的最大值為。2018A 5、設(shè)是定義在上的以為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，且滿足，則不等式組的解集為 答案：解析：由為偶函數(shù)及在區(qū)間上嚴(yán)格遞減知，在上遞增，結(jié)合周期性知，在上遞增，又，所以不等式等價(jià)于，又所以，即不等式的解集為2018A，B 9

3、、（本題滿分16分）已知定義在上的函數(shù)為，設(shè)是三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，滿足，求的取值范圍。解析：不妨設(shè)，由于在上遞減，在上遞增，在上遞減，且，結(jié)合圖像知：，且。由得，即，此時(shí)，又，由得，所以。2018B 7、設(shè)是定義在上的以為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，且滿足，則不等式組的解集為 答案：解析：由為偶函數(shù)及在區(qū)間上嚴(yán)格遞減知，在上遞增，結(jié)合周期性知，在上遞增，又，所以不等式等價(jià)于，又，即不等式的解集為.2017A1、設(shè)是定義在上函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有，又當(dāng)時(shí)，則的值為 答案： 解析：由條件知，即，故，即函數(shù)的周期為，所以2017B 3、設(shè)是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則的值為 答案：解析

4、：由條件知，兩式相加消去，可知：，即.2016A 3、正實(shí)數(shù)，均不等于，若，則的值為 答案：解析：令，則，條件化為，由此可得，因此2016A 10、（本題滿分20分）已知是上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，均有。求的值。解析：設(shè)=1，2，3，），則在中取，注意到，及為奇函數(shù)可知5分即，從而10分因此20分2015A1、設(shè)、為兩不相等的實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)滿足，則的值為 答案：解析：由己知條件及二次函數(shù)圖像的軸對(duì)稱性，可得，即，所以2015A 9、（本題滿分16分）若實(shí)數(shù)滿足，求的最小值。解析：將分別記為，則由條件知，故8分因此，結(jié)合平均值不等式可得，12分當(dāng)，即時(shí)，的最小值為（此時(shí)相應(yīng)的值為，符合要求） 由于

5、，故的最小值16分2016B 4、已知,均為定義在上的函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且，則的值為 答案：解析：由條件知 由圖像的對(duì)稱性，可得結(jié)合知， 由、解得從而另解：因?yàn)椋?所以 因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以 又因?yàn)榈膱D像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，從而 將、代入，再移項(xiàng)，得 在式中令，得 由、解得于是2014A1、若正數(shù)、滿足，則的值為 答案：解析：設(shè)，則，從而。2015B1、已知函數(shù)，其中為常數(shù)，如果，則的取值范圍為 答案： 解析：，所以，解得：2015B 2、已知為偶函數(shù)，且，則的值為 答案： 解析：由己知得，即=20152014A 3、若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)

6、數(shù)的取值范圍為 答案： 解析：在上，單調(diào)遞增，等價(jià)于，即。在上，單調(diào)遞增，等價(jià)于，即，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是2014B1、若函數(shù)的圖像是由依次連接點(diǎn)，的折線，則 答案： 解析：可求得直線與函數(shù)圖像的交點(diǎn)為，即，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)知。2014B 8、設(shè)，是定義在區(qū)間上的函數(shù)，則函數(shù)的圖像與軸所圍成圖形的面積為 答案： 解析：顯然的圖像與軸圍成一個(gè)半圓，我們用表示與軸圍成的圖形。直線是半圓的對(duì)稱軸，它將分成左右兩個(gè)部分。我們知道：（），這個(gè)式子的幾何意義如下圖所示：根據(jù)祖暅原理的二維形式，的左半部分與右半部分的面積之和恰好是四分之一圓的面積。即我們要求的面積是。2014B二、（本題滿分40分）在同一直

7、角坐標(biāo)系中，函數(shù)（）與其反函數(shù)的圖像恰有三個(gè)不同的交點(diǎn). 求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明你的結(jié)論。解析：由題意可得其反函數(shù)，記與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，兩式子相減得，得或，若，顯然兩個(gè)函數(shù)的圖像都在第一象限，所以，聯(lián)立和，得到一個(gè)交點(diǎn)（另一個(gè)是負(fù)數(shù)），與題目要求三個(gè)交點(diǎn)不相符，故當(dāng)時(shí)，聯(lián)立和，得交點(diǎn)；聯(lián)立和，得交點(diǎn)或，考慮這兩個(gè)交點(diǎn)不重合，且坐標(biāo)非負(fù)，故解得，即所求的范圍為。2013A 5、設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，則的最大值為 答案：解析：由題意得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，故所求最大值為。2013A 7、若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 答案：解析：令，顯然，且，即為，亦為（，），以為坐標(biāo)作

8、圖如圖示，在平面內(nèi)，的軌跡為如圖所示的實(shí)線部分含原點(diǎn)，因此，即。2013A 11、（本題滿分20分）設(shè)函數(shù)，求所有的正實(shí)數(shù)對(duì)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有。解析：已知即可變?yōu)椋合葘ふ宜鶟M足的必要條件。式中，令，的對(duì)任意的都有，由于，故可以取到任意大的正值，因此必有，即。式中，令，得，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，有記，即 要恒成立，則，即，下面證明對(duì)滿足的任意實(shí)數(shù)對(duì)及任意實(shí)數(shù)，總有成立，令恒成立，事實(shí)上，在成立時(shí)，有，又，可得綜上所述，滿足條件的為。2013B 2、設(shè)為虛數(shù)單位，則 答案：解析：因?yàn)?013B 5、在區(qū)間中，方程的解的個(gè)數(shù)為 答案：解析：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，做出及的圖像即可得到。2013B 6、

9、定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù)的最小值是 答案：解析：因?yàn)?，知，又?dāng)時(shí)，所以所求最小值為。2013B 7、設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足：對(duì)任意，則的最大值為 答案：解析：由題意得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，故所求最大值為。2012A 3、設(shè)，則的最大值為 答案：解析：不妨設(shè)則因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)同時(shí)成立.故2012A 6、設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 答案：解析：由題設(shè)知,則因此,原不等式等價(jià)于因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以即又所以當(dāng)時(shí),取得最大值因此,解得故的取值范圍是2012A 9、（本題滿分16分）已知函數(shù)，.若對(duì)任意,都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若，且存在,使得，求

10、實(shí)數(shù)的取值范圍；解析：令，則，函數(shù)即為，由即對(duì)任意恒成立，即，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為因?yàn)椋缘膶?duì)稱軸，有在上遞增，所以的最小值為，即的最小值為，由，解得，又，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為2012B 4、若關(guān)于的不等式組，（）的整數(shù)解有且只有一個(gè)，則的取值范圍為 答案：解析：由解得或，所以不等式組的唯一整數(shù)解只可能為或。記函數(shù)，由于對(duì)稱軸，所以整數(shù)解只能是，因此有，解得，故所求范圍為。2012B 7、設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 答案：解析：由題設(shè)知,則因此,原不等式等價(jià)于因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以即又所以當(dāng)時(shí),取得最大值因此,解得故的取值范圍是

11、2012B 9、（本題滿分16分）已知函數(shù)，.若對(duì)任意,都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若，且存在,使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解析：令，則，函數(shù)即為，由即對(duì)任意恒成立，即，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為因?yàn)?，所以的?duì)稱軸，有在上遞增，所以的最小值為，即的最小值為，由，解得，又，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為2011A 2、函數(shù)的值域?yàn)?答案： 解析：提示：設(shè)，且，則設(shè)，則，且，所以 2011A 3、設(shè)為正實(shí)數(shù)，則 答案： 解析：由，得又 ，即 于是 再由不等式 = 1 * GB3 中等號(hào)成立的條件，得與 = 2 * GB3 聯(lián)立解得或，故2011A 9、（本題滿分16分）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)（）滿足，.求實(shí)數(shù)的值。解析

12、：因?yàn)?，所以，所以或，又因?yàn)?，所以，所以又由有意義知，從而，于是所以從而又，所以，故 解得或（舍去）把代入解得 所以 ， 2011B 3、若正實(shí)數(shù)滿足，則 .答案： 解析：由，得又 ，即 于是 再由不等式 = 1 * GB3 中等號(hào)成立的條件，得與 = 2 * GB3 聯(lián)立解得或，故2011B 9、（本題滿分16分）已知實(shí)數(shù)滿足：，.求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：令，由得，代入得由方程有實(shí)根，得，解得。由方程及可得，又，所以，即，解得，綜上可得，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。2011B三、（本題滿分50分）設(shè)實(shí)數(shù)，且滿足，求的最大值.解析：由已知等式可得，令，則，則式等價(jià)于易知.令，則。設(shè)，則。當(dāng)時(shí)，由

13、平均不等式得所以，從而，整理得，即，所以。式中等號(hào)成立的條件是，即，代入得，因此，的最大值即的最大值為。2010AB1、函數(shù)的值域?yàn)?答案： 解析：易知的定義域是，且在上是增函數(shù)，從而可知的值域?yàn)?2010AB 2、已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 答案：解析：令，則原函數(shù)化為，即.由， 及 知 即 . （1）當(dāng)時(shí)（1）總成立；對(duì)；對(duì).從而可知 2010AB 5、函數(shù)（，且）在區(qū)間上的最大值為，則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值為 答案：解析：令則原函數(shù)化為,在上是遞增的.當(dāng)時(shí)，,，所以 ；當(dāng)時(shí)，所以 .綜上在上的最小值為.2010AB 9、（本題滿分16分）已知函數(shù)，（），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的最大值。

14、解析：解法一： 由 得. 所以 ，所以. 又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為. 解法二：. 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，. 設(shè) ，則.容易知道當(dāng)時(shí)，. 從而當(dāng)時(shí)， ， 即，從而 ,，由 知. 又易知當(dāng)（為常數(shù)）滿足題設(shè)條件，所以最大值為. 2010A 11、（本題滿分20分）證明：方程恰有一個(gè)實(shí)根，且存在唯一嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列，使得。證明：令，則，所以是嚴(yán)格遞增的.又，故有唯一實(shí)數(shù)根. 所以，即.故數(shù)列是滿足題設(shè)要求的數(shù)列. 若存在兩個(gè)不同的正整數(shù)數(shù)列和滿足，去掉上面等式兩邊相同的項(xiàng)，有，這里，所有的與都是不同的. 不妨設(shè)，則，矛盾.故滿足題設(shè)的數(shù)列是唯一的. 2009*1、函數(shù)，且，則 答案：解

15、析：由題意得，.故 .2009*6、若關(guān)于的方程僅有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 答案：或解析：由題意，方程等價(jià)于，當(dāng)且僅當(dāng)（1）；（2）； （3）對(duì)（3）由求根公式得 （4）又或當(dāng)時(shí)，由（3）得，所以同為負(fù)根。又由（4）知，所以原方程有一個(gè)解。當(dāng)時(shí)，原方程有一個(gè)解當(dāng)時(shí)，由（3）得，所以同為正根，且，不合題意。 綜上可得或?yàn)樗蟆?009*11、（本題滿分15分）求函數(shù)的最大和最小值。解析：函數(shù)的定義域?yàn)?。因?yàn)?當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。故的最小值為又由柯西不等式得所以10分由柯西不等式等號(hào)成立的條件，得解得.故當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。因此的最大值為11. 15分2008AB1、函數(shù)在上的最小值為（ ） A. B.

16、 C. D. 答案：C解析：當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)而此方程有解，因此在上的最小值為22008A 7、設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，若，則 答案：解析：由題意知，由得，因此，2008B 7、設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，若，則 答案： 解析：由題意知，由得，因此，因此2008AB 8、設(shè)的最小值為，則實(shí)數(shù) 答案： 解析：，(1) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值；(2) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值1；(3) 時(shí)，當(dāng)時(shí)取最小值又或時(shí)，的c不能為，故，解得，(舍去)2008A 11、設(shè)是定義在上的函數(shù)，若，且對(duì)任意，滿足，則 答案： 解析：方法一：由題設(shè)條件知 ，因此有，故 方法二： 令，則 ，即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以2008B 11

17、、設(shè)是定義在上的函數(shù)，若，且對(duì)任意，滿足，則 答案： 解析：解法一 由題設(shè)條件知 ，因此有，故 解法二 令，則 ，即，故，得是周期為2的周期函數(shù)，所以2008A B14、解不等式解析：方法一：由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于即 分組分解得 ， 所以，即。解得故原不等式解集為 方法二： 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于即，令，則不等式為， 顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價(jià)于 ，即，解得，故原不等式解集為 2008A二、（本題滿分50分）設(shè)是周期函數(shù)，和是的周期且，證明：若為有理數(shù)，則存在素?cái)?shù)，使是的周期；若為無理數(shù)，則存在各項(xiàng)均為無理數(shù)的數(shù)列滿足，（）,且每個(gè)（）都是的周期。證明：（

18、1）若是有理數(shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 于是是的周期又因，從而設(shè)是的素因子，則，從而 是的周期 （2）若是無理數(shù)，令 ，則，且是無理數(shù)，令 ， ， 由數(shù)學(xué)歸納法易知均為無理數(shù)且又，故，即因此是遞減數(shù)列最后證：每個(gè)是的周期事實(shí)上，因1和是的周期，故亦是的周期假設(shè)是的周期，則也是的周期由數(shù)學(xué)歸納法，已證得均是的周期 2006*2、設(shè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 A. B. ，且 C. D.答案：B解析：因?yàn)?，解?. 由 ,解得 ；或 解得 ，所以的取值范圍為 .2006*5、設(shè)函數(shù)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，是的 A. 充分必要條件 B. 充分而不必要條件 C. 必要而不充分條件 D. 既不充分也

19、不必要條件答案：A解析：顯然為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增。于是若，則，有，即，從而有.反之，若，則,推出 ，即 。 2006*15、（本題滿分20分）設(shè).記，集合對(duì)所有正整數(shù)，。證明：證明：（）如果，則，。 （）如果，由題意 ，,. 則 當(dāng) 時(shí)，（）. 事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，, 設(shè)時(shí)成立（為某整數(shù)），則對(duì)， . 當(dāng) 時(shí)，（）.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，, 設(shè)時(shí)成立（為某整數(shù)），則對(duì)，有.注意到 當(dāng)時(shí),總有，即 . 從而有.由歸納法，推出 。（3）當(dāng)時(shí)，記，則對(duì)于任意，且。對(duì)于任意，, 則。 所以，。當(dāng)時(shí)，即。因此。綜合（）（）（），我們有。2005*8、已知是定義在上的減函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 答案：解析：不等

20、式等價(jià)為，解得或。2005*二、（本題滿分50分） 設(shè)正數(shù)滿足，求函數(shù)的最小值。解析：由條件得，即2，即，同理，由于均為正數(shù)，由上式知，故以為邊長(zhǎng)可以構(gòu)造一個(gè)銳角三角形，其中。則問題等價(jià)于：銳角三角形中，求函數(shù)=的最小值.令則且同理，+（取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，綜上可知2004*1、設(shè)銳角使關(guān)于的方程有重根，則的弧度數(shù)為 A. B. 或 C. 或 D. 答案：B解析：由方程有重根，故，得，得或2004*2、已知，若對(duì)所有的，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 答案：A解析：點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，得2004*3、不等式的解集為 A. B. C. D. 答案：C解析：令，則不等式轉(zhuǎn)化為，

21、得2004*8、設(shè)函數(shù)，滿足，且對(duì)任意，都有，則 答案：解析：令，得；令得交換位置后，令，得比較、得，2004*15、（本題滿分20分）已知是方程（）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)椤Ｇ?；證明：對(duì)于（），若，則。解析： 由題意得，故當(dāng)時(shí)，由于，知時(shí)，于是，即在上單調(diào)遞增。所以，把，代入得注意到所以，因?yàn)?，所以又等?hào)不可能同時(shí)成立，故2003*5、已知都在區(qū)間內(nèi)，且，則函數(shù)的最小值是 A. B. C. D. 答案：D解析：由，知，將代入函數(shù)解析式整理得因?yàn)?，所以，知?dāng)即時(shí)，取得最小值為，故選D2003*10、已知均為正整數(shù)，且,，若, 則 答案：解析：由題意得，設(shè)，則，即因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，則也是整數(shù)

22、，所以，解得，所以. 2002*1、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 A. B. C. D. 答案：A解析：由解得或，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得選A2002*3、函數(shù) A.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)C.既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)D.既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)答案：A解析：計(jì)算出的表達(dá)式整理到最簡(jiǎn)后對(duì)比即可發(fā)現(xiàn)，2002*10、已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意都有，。若，則 答案：解析：由得，已知不等式即為，又 所以，即的周期為，所以2002*11、若，則的最小值是 答案：解析：由已知方程等價(jià)于，即由對(duì)稱性只考慮，因?yàn)?，所以只須求的最小值。令代入中有，由?所以，解得 當(dāng)，時(shí)，故的最小值是2002*15

23、、（本題滿分20分）設(shè)二次函數(shù) (，)滿足條件：（1） 當(dāng)時(shí),且;（2） 當(dāng)時(shí)，;（3） 在上的最小值為.求最大的()，使得存在，只要，就有。解析：因?yàn)?，知函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 即解得；由知當(dāng)時(shí),，即；由得，由得，所以，即聯(lián)立以上三個(gè)式子解得，所以。假設(shè)存在，只要，就有。取時(shí)，有，即解得，下面對(duì)固定的，取，有，即，即，解得，注意到當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒有所以的最大值為。2001*11、函數(shù)的值域?yàn)?答案：解析：，則兩邊平方得，從而且由， 或任取，令，易知，于是且任取，同樣令，易知，于是且因此，所求函數(shù)的值域?yàn)?000*14、（本題滿分20分）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，求解析： 若，則的最大

24、值為最小值為即是方程的兩個(gè)根，而此方程兩根異號(hào)故不可能 若，當(dāng)時(shí)，取最大值，故，得當(dāng)或時(shí)取最小值，時(shí)，但，故取此時(shí)，從而是最小值，顯然與矛盾故舍 此時(shí)，最大值為，最小值為兩式相減得解得 符合條件的有或1999*3、若，則( )A. B. C. D. 答案：B解析：記，則在上單調(diào)遞增，則原不等式等價(jià)于，即，即。1998*1、若且，則的值( )A.等于 B.等于 C.等于 D.不是與無關(guān)的常數(shù)答案：C解析：由已知得，即，由，故。1998*7、若是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則,由小到大的排列是_.答案：解析：因?yàn)椋?知在上遞增，且，于是。1998*14、（本題滿分20分）設(shè)函數(shù)()，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)，有

25、一個(gè)最大的正數(shù)，使得在整個(gè)區(qū)間上，不等式都成立。問：為何值時(shí)最大？求出這個(gè)最大的，證明你的結(jié)論。解析：(1)當(dāng)，即時(shí)，是方程的較小根，故(2)當(dāng)，即時(shí)，是方程的較大根，故綜合以上，當(dāng)時(shí)，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以時(shí)，取得最大值1997*7、設(shè)為實(shí)數(shù)，且滿足，則 .答案：解析：原方程組即，令，則這是一個(gè)奇函數(shù)，且增函數(shù)，即，即，所以1996*5、如果在區(qū)間上, 函數(shù)與在同一點(diǎn)取相同的最小值,那么在該區(qū)間上的最大值是_.A. B. C. D.以上答案都不對(duì)答案：B解析：由于當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值，解得，由于故在上的最大值為故選B1995*4、 若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍

26、是( )A. B. C. D.以上都不是答案：B解析：由，故，若，可知在所給區(qū)間上只有解故 由圖象可得，時(shí)，即故選B 又解：與線段 ()有兩個(gè)公共點(diǎn)即方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根故且，且，且解得1995*9、 用表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)， 方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是_答案：解析：令，則得作出及的圖象可知交點(diǎn)落在及內(nèi)當(dāng)時(shí)，代入解得故得：，即共有3個(gè)實(shí)根1995*二、（本題滿分25分）求一切實(shí)數(shù)，使得三次方程的三個(gè)根均為正整數(shù)。解析：顯然是方程的一個(gè)根于是只要考慮二次方程的兩個(gè)根為正整數(shù)即可設(shè)此方程的兩個(gè)正整數(shù)根為則由韋達(dá)定理知， 消去，得同乘以5： 由于均為整數(shù)，故、為整數(shù)即或或或其中使為正整數(shù)的，只有這一組值

27、此時(shí)1994*8、已知，且，則_ _答案：解析：，令，知在上單調(diào)增 即1993*2、已知 (為實(shí)數(shù))，則的值是（ ）A. B. C. D.隨取不同值而取不同值答案：C解析：設(shè)，則，則，即所以選C1993*8、實(shí)數(shù)滿足，設(shè)，則_ _答案：解析：令，則且1993*10、整數(shù)的末兩位數(shù)是_答案：解析：令，則得由于，故所求末兩位數(shù)字為1992*6、設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系， ，則是（ ）A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)答案：C解析： 是周期函數(shù)； 是奇函數(shù)選C1992*12、函數(shù)的最大值是_答案：解析：，表示點(diǎn)與點(diǎn)

28、的距離及距離差的最大值由于此二點(diǎn)在拋物線兩側(cè)，故過此二點(diǎn)的直線必與拋物線交于兩點(diǎn)對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)，到此二點(diǎn)距離之差大于即所求最小值為1992*15、 (本題滿分20分)設(shè)是自然數(shù)，（），令。1求證：，（）2用數(shù)學(xué)歸納法證明：解析： 由故證 ，故命題對(duì)成立設(shè)對(duì)于(，為正整數(shù))，命題成立，現(xiàn)證命題對(duì)于成立1 若為偶數(shù)，則為奇數(shù)由歸納假設(shè)知，對(duì)于及，有即命題對(duì)成立2若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，由歸納假設(shè)知，對(duì)于及，有 用乘減去，同上合并，并注意最后一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)為于是得到，即仍有對(duì)于，命題成立綜上所述，知對(duì)于一切正整數(shù)，命題成立1991*2設(shè)均為非零復(fù)數(shù)，且，則的值為( )A B C D答案：C解析：令，則

29、由得且故選C1991*4設(shè)函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)滿足且方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)實(shí)根的和為( )A B C D答案：A解析：該函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱故個(gè)根的和為選A1991*6方程的圖象為( ) 答案：D解析：，故此方程等價(jià)于，整理可得。故選D1990*2、設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的周期為的函數(shù)，且是偶函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，的解析式是（ ）A. B. C. D. 答案：C解析：設(shè),則,于是，所以，又設(shè)，則,故，由.綜上可得：故選C1989*3.對(duì)任意函數(shù)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像恒（ ）A. 關(guān)于軸對(duì)稱 B. 關(guān)于對(duì)稱 C. 關(guān)于對(duì)稱 D. 關(guān)于軸對(duì)稱答案：B解析：令，則，即關(guān)于對(duì)稱，即此二圖象

30、關(guān)于對(duì)稱選B1989*9設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是 .答案：解析：圖1是函數(shù)的圖形，把此圖形向下平行移動(dòng)1個(gè)單位就得到函數(shù)的圖形，作該圖形的在軸下方的部分關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得出圖2，其中在軸上方的部分即是的圖象，再把該圖象向下平行移動(dòng)2個(gè)單位得到的圖象，作該圖象在軸下方的部分關(guān)于軸的對(duì)稱圖形得到圖3，其中軸上方的部分即是的圖象。易得所求面積為7。1988*1設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是，它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象與第二個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，那么，第三個(gè)函數(shù)是( )A B C D答案：B解析：第二個(gè)函數(shù)是第三個(gè)函數(shù)是，即選B1986*3、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么，的取值范圍是（ ）A. B. C. D.答案：D解析：第一式3+第二式：，得，進(jìn)而，所以選D1986*8、已知，那么方程的解的個(gè)數(shù)是 答案：解析：，同樣的圖象為8條線段，其斜率分別為，夾在與，之內(nèi)它們各與線段 ()有1