北京大學(xué)高等數(shù)學(xué)

1、13 序列的極限一、序列極限的定義序列的極限用定義證明極限舉例序列定義、序列舉例、序列的幾何意義極限的定義、極限的幾何意義極限的唯一性、收斂序列的有界性收斂序列與其子序列間的關(guān)系二、夾逼定理三、收斂序列的性質(zhì)極限的保序性四、極限的四則運(yùn)算五、一個(gè)重要的極限11. 序列的概念 如可用漸近的方法求圓的面積？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積： 1r四邊形a2r八邊形a3r十六邊形 一個(gè)實(shí)際問題2序列： 如果按照某一法則，使得對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n 有一個(gè)確定的數(shù)xn ，則得到一列有次序的數(shù) x1，x2，x3， ，xn ，這一列有次序的數(shù)就叫做序列，記為xn，其中第n 項(xiàng)xn 叫做數(shù)列的通項(xiàng)序列舉例：

2、3序列舉例： 2，4，8， ，2n ， ， 通項(xiàng)為2n通項(xiàng)為 1 2n 1，-1，1， ，(-1)n+1， ； 通項(xiàng)為(-1)n+1通項(xiàng)為通項(xiàng)為4序列的幾何意義： 序列xn可以看作自變量為正整數(shù) n 的函數(shù)： xn=f (n)，它的定義域是全體正整數(shù)x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx序列與函數(shù)：x1=f(1)x2=f(2)x3=f(3)x4=f(4)x5=f(5)x6=f(6).xn=f(n) 序列xn可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn) x1，x2，x3， ，xn ，52. 序列的極限 例如如果序列沒有極限，就說序列是發(fā)散的xn = a而序列2n， (-1)n+1，是發(fā)散的序列

3、的極限的通俗定義： 對(duì)于序列xn，如果當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí)，序列的一般項(xiàng)xn無(wú)限地接近于某一確定的數(shù)值a ，則稱常數(shù)a 是序列xn的極限，或稱序列xn收斂a 記為 6對(duì)無(wú)限接近的刻劃： “當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近于a” 等價(jià)于：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，| xn-a |無(wú)限接近于0；或者說，要| xn-a |有多小，只要n足夠大， | xn-a |就能有多小 7極限的精確定義： 定義 如果序列xn與常數(shù)a 有下列關(guān)系：對(duì)于任意給定的正數(shù)e(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N ，使得對(duì)于n N 時(shí)的一切xn，不等式 |xn-a |N時(shí)的一切xn，不等式 |xn-a |N 時(shí)，所有的點(diǎn)xn都落在區(qū)間(a- e

4、, a+e)內(nèi)，而只有有限(至多只有N個(gè))在區(qū)間(a e , a+e)以外. xOaaea+e()x 1x NxN + 1xN + 2xN + 3xN + 5xN + 4x 29對(duì)于任意給定的正數(shù)e0，3. 用定義證明極限舉例 分析：10 證明：因?yàn)閷?duì)于任意給定的e0， 存在N=1/e， 使當(dāng)nN時(shí)，有 所以3. 用定義證明極限舉例也可寫成:所以11對(duì)于任意給定的e 0，要使只需故取 分析：12所以， 證明：因?yàn)閷?duì)任意給定的正數(shù)e0， 存在使當(dāng)nN時(shí)， 有也可寫成:所以13 例 3 設(shè)|q |0，分析：要使14 例 3 設(shè)|q |N時(shí)，有 |qn-1-0| = |q|n-1e ，也可寫成: |

5、qn-1-0| = |q|n-11是給定的實(shí)數(shù),求證分析: 對(duì)兩邊取對(duì)數(shù),得證 對(duì)令則當(dāng)n N 時(shí),即有于是證畢.小結(jié):證明序列an極限是l的一般步驟: 求差 對(duì)任給的由不等式的解確定N,使得當(dāng)nN時(shí), 最后完成證明.16二、夾逼定理定理證 即也即此即證畢.17解 也即顯然由定理1,即得18例 設(shè)k為大于1的正整數(shù),證明證明 由夾逼定理即得19例 由夾逼定理,即得類似可證,對(duì)任意k 1,20三、收斂序列的性質(zhì)定理1(極限的唯一性) 序列xn不能收斂于兩個(gè)不同的極限存在正整數(shù)N2 ，這是不可能的這矛盾證明了本定理的斷言21序列的有界性的定義： 對(duì)于序列xn，如果存在著正數(shù)M，使得對(duì)一切xn都滿足

6、不等式 |xn|M，則稱序列xn是有界的；如果這樣的正數(shù)M不存在，就說序列xn是無(wú)界的序列xn=2n(n=1，2， )是無(wú)界的 定理2(收斂序列的有界性) 如果序列xn收斂，那么序列xn一定有界22 證明：設(shè)序列xn收斂，且收斂于a根據(jù)序列極限的定義，對(duì)于，存在正整數(shù)N，使對(duì)于nN時(shí)的一切xn， 不等式 | xn- a |N時(shí)， | xn |=| ( xn- a ) + a | | xn- a |+| a |N,就有 證 證畢.推論 設(shè)序列 有極限 l 0,則存在自然數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí),證 在上面的定理中,取24定理4 證 用反證法.若則由上一定理,可推出:存在一個(gè)自然數(shù)N, 當(dāng)n N時(shí),這和

7、假定矛盾.故必有注: 在定理結(jié)論中的等號(hào)不能去掉,既使是 嚴(yán)格大于仍然只能得出 的結(jié)論.這里等號(hào)是可能發(fā)生的.如此定理可簡(jiǎn)稱為”極限的保序性”25定理5 (收斂序列與其子序列間的關(guān)系) 如果序列xn收斂于a ，那么它的任一子序列 也收斂，且極限也是a 子序列： 在序列xn中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原序列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)序列稱為原序列xn的子序列 例如，序列 xn ： 1，-1，1，-1， (-1)n+1， 的一子序列為x2n：-1，-1，-1，(-1)2n+1， 26 證明：設(shè)序列 是序列xn的任一子序列定理5(收斂序列與其子序列間的關(guān)系) 如果序列xn收斂于a ,那么它的任

8、一子序列 也收斂，且極限也是a 注： 子序列的足標(biāo)不是n ,也不是nk ,而是k .且不難看出27 2如果序列xn收斂，那么序列xn一定有界發(fā)散的數(shù)列是否一定無(wú)界? 有界的序列是否收斂? 3序列的子序列如果發(fā)散， 原序列是否發(fā)散? 序列的兩個(gè)子序列收斂，但其極限不同， 原序列的收斂性如何? 發(fā)散的序列的子序列都發(fā)散嗎？ 4如何判斷序列 1，-1，1，-1， ，(-1)n+1， 是發(fā)散的？討論：28四、極限的四則運(yùn)算證明從略。例 求極限29例 求極限于是作業(yè) 習(xí)題1.3 4(1)(3)(5),5,630五、一個(gè)重要極限極限存在的一個(gè)準(zhǔn)則:單調(diào)有界序列必有極限.單調(diào)增加有上界(或單調(diào)減少有下界)的序列必有極限.更確切地:注 本例中構(gòu)成xn的每一項(xiàng)都趨于零,由于和式中的項(xiàng)數(shù)隨著n增大而無(wú)限增多,因此 不能用極限的加法性質(zhì).注:本定理只說明極限存在,而不具體指出極限是什么.31現(xiàn)在我們介紹一個(gè)重要的極限定理證 先證序列 有界.事實(shí)上,由牛頓二項(xiàng)式定理,32再證此序列