1質(zhì)點運動學習題詳解

1、第 1 頁共 9 頁習題一一、選擇題1 質(zhì)點沿軌道 AB 作曲線運動，速率逐漸減小，圖中哪一種情況正確地表示了質(zhì)點在 C處的加速度?aBBBBCaaCCCa(C)AAAA(A)(B)(D)：C解：加速度方向只能在運動軌跡內(nèi)側(cè)，只有B、C符合；又由于是度的切向分量與速度方向相反，故選（C）。運動，所以加速2 一質(zhì)點沿 x 軸運動的規(guī)律是 x t2 4t 5 （SI 制）。則前三秒內(nèi)它的 （A）位移和路程都是 3m；（B）位移和路程都是-3m；（C）位移是-3m，路程是 3m；（D）位移是-3m，路程是 5m。：D 2 5 3解：t3t0dx 2t 4 ，令 dx 0 ，得 t 2 。即t 2 時

2、 x 取極值而返回。所以：dtdtS S02 S23 t 2 |1 5 | | 2 1| 5t 3 一質(zhì)點的運動方程是 r R costi Rsintj ，R、 為正常數(shù)。從 t / 到 t= 2 / 時間內(nèi)（1）該質(zhì)點的位移是（A） -2R i ； （B）2R i ；（2）該質(zhì)點經(jīng)過的路程是（C）-2 j ； （D）0。（A）2R；（B） R ；：B；B。（C）0；（D） R 。解：（1） t , t 2 ， r r (t ) r (t ) 2Ri ；1221（2）t 內(nèi)質(zhì)點沿圓周運動了半周，故所走路程為R?；蛘撸?第 2 頁共 9 頁 dx ,dtv dy ， v v2 v2 R, S t

3、2 vdt Rvxyxydtt14 一細直桿 AB，豎直靠在墻壁上，B 端沿水平方向以速度 v 滑離墻壁，則當細桿運動到圖示位置時，細桿中點 C 的速度 A大小為 v /2 ，方向與 B 端運動方向相同；大小為 v /2 ，方向與 A 端運動方向相同；大小為 v /2 , 方向沿桿身方向；大小為 v /(2cos ) ，方向與水平方向成 角。：D解：對 C 點有位置： xC l sin,yC l cos ；CvB速度： v l cos d ,v l sin d ；所以， v l dvv2v2.CxCyCCxCydt2cosdtdtv 2l cos d v, dv（B 點： x 2l sin ,

4、）。BBdt2l cosdt5以 4km/h 的速率向東前進時，感覺風從正北吹來，如將速率增加一倍，則感覺風從東北方向吹來。實際風速與風向為(A) 4km/h，從北方吹來；(B)4km/h，從西北方吹來；(C) 4 2 km/h，從東北方吹來；42 km/h，從西北方吹來。(D)：Dv 解： v風地 v風人 v人地 v v v0v0v0v45v ， v 2vv000vv0cos， v v tansin 45 v 0v 2v 2v0 tan2vvv vv 2vv cos 4v2 2 0 .2v cos222 0 cos 000cos0v24v 4v 2v tan 0cos 222220002第

5、3 頁共 9 頁122sin2 1sin 45v0cosv 2v 4 2(km/h) （從西北方吹來）。0二、填空題1一物體作的斜拋運動，測得在軌道 P 點處速度大小為 v，其方向與水平方向y成 30角。則物體在 P 點的切向加速度a =，軌道的曲率半徑 =。v 30 xP2v23g1： g ；2。aaanja a sin g sin 30 1 g解： 2v2v2anv2v22an a cos g cos30 。又因 an ，所以g c os 30 g 3( j ，其中 , 分別以米r22t2 一質(zhì)點在 xy 平面內(nèi)運動，其運動學方程為和秒為速，則從 t = 1 秒到 t = 3 秒質(zhì)點的位移

6、為；t =2 秒時質(zhì)點的加度為；質(zhì)點的軌跡方程是 。x2： 2i 3 j ； 2 j ； y 2 。4d 2 xd 2 yr rr 2i 3 j， a i j 2 j解：(2)(1)dt2dt2y 2 。4x2x 2t, y 2 t ，消去時間 t 得23. 一質(zhì)點沿半徑為 R 的圓周運動，運動學方程為 s v t 1 bt 2 ，其中 , 都是常數(shù)，002t 時刻，質(zhì)點的加速度矢量 a ；加速度大小為 b 時，質(zhì)點沿圓周運行的圈數(shù)為。v2(v bt)2： 0 n b； 0 。4 RbR3第 4 頁共 9 頁2ds（1） v dt， a 2b解：dt(v bt)2a a n a 0 n bnR

7、(v bt)2 2vt 0b令 a b2 b ， 得 0 （2）Rv2v2sv1vs s(t) s(0) v 0 b( 0 )2 0， 得 n 002 R4 Rbb2b2b4火車時，側(cè)窗上雨滴軌跡向前傾斜0 角?；疖囈阅骋凰俣葎蛩偾斑M時，側(cè)窗上雨滴軌跡向后傾斜1 角，火車加快以另一速度前進時，側(cè)窗v1上雨滴軌跡向后傾斜 2 角，火車加速前后的速度之比為。v01v0： v1 cos0 tan1an1 tan0 an2 tan0sv2cos0 tan2sv2v解：設(shè)v0 為火車時觀察到的雨滴的速度，已知其傾角v為（0 這也是雨滴相對地面的速度和傾角）。設(shè)火車以 v1 行駛時，雨滴相對火車的速度為

8、v ，已知其傾角為1 ，根據(jù)2 00變換： vvv10同理， 火車以 v2 行駛時，雨滴相對火車的速度為 v， 已知其傾角為 2 ，所以vv v20vsinvvo sin0cos 1 cos(1)(2)；vsin2 v2 vo sin0vcos v cos(3)；(4)2 v1 v0 sin0聯(lián)立（1）（2）式得 tgv v (cos tg sin )，1v cos10010002 sin聯(lián)立（3）（4）式得 tg ，v v (cos tg inv cos220200所以，火車加速前后速度之比為v1 cos tgsin0v2cos tgsin05.一質(zhì)點沿半徑為 0.1m 的圓周運動，其用角坐

9、標表示的運動學方程為4t 3 ， 的第 5 頁共 9 頁為 rad，t 的為 s。問 t = 2s 時，質(zhì)點的切向加速度法向加速度； 等于rad 時，質(zhì)點的加速度和半徑的夾角為 45。： 24Rt ； 230.4m/s2 ； 2.67rad 。dd 2解：（1） 12t ， 24t ； an R 144Rt ， a R 24Rt 。224dt2dtt = 2s 時， a 230.4m/s2 ， a 4.8m/s2n（2）設(shè) t 時， a 和半徑夾角為 45，此時 a a ，即144Rt4 24Rt ，得t3 1/ 6n (t) 2 4t3 2.67rad所以三、計算題1一質(zhì)點由開始做直線運動，

10、初始加速度為 a0 ，以后加速度均勻增加，每經(jīng)過 秒增加 a0 ，求經(jīng)過 t 秒后質(zhì)點的速度和位移。aa1： v a t t ； x a t t 。0220320602a a a0 t由題意可知，角速度和時間的關(guān)系為0a dvdt根據(jù)直線運動加速度定義v v dvdt a0 t 2tad0t dtd02at 0 時刻， v 0v a t t20所以002又v dx ，所以dta2 a0 t3tdt vdtt2d26200 x 1 a t2 a0 t3t 0 時刻， x 0所以00622 一質(zhì)點以初速度 v0 作一維運動，所受阻力與其速率成正比， 試求當質(zhì)點速率為v0 n(n 1) 時，質(zhì)點經(jīng)過

11、的距離與質(zhì)點所能行經(jīng)的總距離之比。：1 1 。n解：質(zhì)點作一維運動。初始條件： t 0 時， x 0 ， v v0 。又由題意，質(zhì)點的加速度可表示為a kv5第 6 頁共 9 頁式中，k 為大于零的常數(shù)。解法一：由加速度的定義有a dv kvdtdv kdt v分離變量由初始條件 t 0 時v v0 ，有dvvvt kdtv00積分得v v ekt(1)0v dx v ekt所以0dt由初始條件 t 0 時 x 0 ，積分得tvx v ekt dt 0 (1 ekt )0k0 x x (1 ekt )(2)上式可寫為m其中， x v0 為質(zhì)點所能行經(jīng)的最大距離。mkx xm (v v)聯(lián)立式（

12、1）和式（2），得0v0 xxmv )v0 (1 故將v v0 代入上式，得nxxm 1 1n解法二：由加速度的定義，并作變量替換有a v dv kv dxdv kdx即由初始條件 x 0 時v v0 ，有vxdv kdxv00積分得v v0 kx(3)6第 7 頁共 9 頁由上式得 x v0 v 。故當v v0 時，knx v0 (1 1 )kn(4)又由v dx 及式（3），有dt由初始條件 t 0 時 x 0 ，積分得dx dtv0 kxln v0 kx ktv0 x v0 (1 ekt )k即 v0 k可見，質(zhì)點所能行經(jīng)的最大距離為xm故當v v0 時，由式（4）及上式得nxxm 1

13、1n3在離水面高度為 h 的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸邊 s 距離處，當人以速率yv0 勻速收繩時，試求船的速率和加速度大小。v0v0 h2 s2h2； ax 3 v0 。s2： vx 解：建立lsh的坐標系。dl -v o 根據(jù)題意x0 x dtx l2 h2由上圖h2 x2dxldll船的速率 vx (v0 ) (v0 )dtdtxl2 h2l2 h2h2h2dvx船的加速度大小 ax 3 (v0 ) x3 (v0 )22dt(l2 h2 )2h2v0 h2 s2x = s 時， ax 3 v0 ， vx s2當s4如圖，一超音速 擊機在高空 A 時的水平速率為 1940 km/h

14、，沿近似于圓弧的曲線俯7第 8 頁共 9 頁沖到點 B，其速率為 2192 km/h，所經(jīng)歷的時間為 3s，設(shè)圓弧 AB 的半徑約為 3.5km，且飛機從 A 到 B 的俯沖過程可視為勻變速率圓周運動，若不計重力加速度的影響，求：（飛機在點 B 的加速度；（2）飛機由點 A 到點 B 所經(jīng)歷的路程。：（1） a 109m s2 ，與法向成12.4 角；（2） s 1722m 。解：（1）因飛機作勻變速率運動，所以 at 和 為常量1）vAAvB dv t a dt v v at dvat dt，BtBAtv0ArovB已知v 1940km h1 ， v 2192km h1AB vB vA 23

15、.3m s2t 3s ， r 3.5km ，所以 attv2an B 106m s2在點 B 的法向加速度ra a2 a2 109m s2在點 B 的總加速度大小tn arctan at 12.4a 與法向之間夾角an（2）在時間 t 內(nèi)矢徑 r 所轉(zhuǎn)過的角度為 t 1 t2A2飛機經(jīng)過的路程為s rvA2 1722m5靠，一條寬度為 d 的小河，已知河水的流速隨著離開河岸的距離成正比地增加，邊河水的流速為零，而在河中心處流速最大，為 v0 。現(xiàn)有一人以不變的劃船速度u 沿垂直于水流方向從岸邊劃船渡河，試求小船到達河心之前的運動軌跡。v0： x y2 ，即運動軌跡為拋物線。udy解：以河岸為參照系，建立的直角坐標。根據(jù)題意，初始條件為 t 0 時，x0 y0 0 ，v0 x 0 ，v0 y u 。d又根據(jù)題意，當 y 時，水流速度可表示為2vw ky ，ox且當 y d 時， v v 。故k 2v0dw02 2v0d即vyw對小船有v dx v ，v dy uxwydtdt8v0ud第 9 頁共 9 頁利用前面各式及初始條件，對上兩式分別積分，得x uv0 t 2 ， y utd聯(lián)立消