投資學(xué)理論投資分析：Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

1、投資學(xué)理論 投資分析（4）：Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)模型概 述Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價(jià)公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)模型基本假設(shè)8個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率已知，且為一個(gè)常數(shù)，不隨時(shí)間變化。標(biāo)的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán)2無(wú)交易費(fèi)用：股票市場(chǎng)、期權(quán)市場(chǎng)、資金借貸市場(chǎng)投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率股票交易無(wú)限細(xì)分，投資者可以購(gòu)買(mǎi)任意數(shù)量的標(biāo)的股票對(duì)賣(mài)空沒(méi)有任何限制標(biāo)的資產(chǎn)為股票，其價(jià)格S的變化為幾何布朗運(yùn)動(dòng)3B-S模型證明思路4ITO引理ITO過(guò)程B-S微分方程B-S買(mǎi)權(quán)定價(jià)公式13.1 維納過(guò)程根

2、據(jù)有效市場(chǎng)理論，股價(jià)、利率和匯率具有隨機(jī)游走性，這種特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一種。對(duì)于隨機(jī)變量w是Wiener process，必須具有兩個(gè)條件：在某一小段時(shí)間t內(nèi)，它的變動(dòng)w與時(shí)段滿足t5（）2. 在兩個(gè)不重疊的時(shí)段t和s, wt和ws是獨(dú)立的，這個(gè)條件也是Markov過(guò)程的條件，即增量獨(dú)立！（）有效市場(chǎng)滿足上述兩個(gè)條件的隨機(jī)過(guò)程，稱為維納過(guò)程，其性質(zhì)有7當(dāng)時(shí)段的長(zhǎng)度放大到T時(shí)（從現(xiàn)在的0時(shí)刻到未來(lái)的T時(shí)刻）隨機(jī)變量wt的滿足證明：在連續(xù)時(shí)間下，由（）和（）得到9（）（）所以， 概率分布的性質(zhì)以上得到的隨機(jī)過(guò)程，稱為維

3、納過(guò)程。13.2 ITO定理一般維納過(guò)程(Generalized Wiener process)可表示為10（）顯然，一般維納過(guò)程的性質(zhì)為一般維納過(guò)程仍不足以代表隨機(jī)變量復(fù)雜的變動(dòng)特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)11若把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，擴(kuò)展后得到的即為ITO過(guò)程B-S 期權(quán)定價(jià)模型是根據(jù)ITO過(guò)程的特例幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)代表股價(jià)的波動(dòng)12省略下標(biāo)t，變換后得到幾何布朗運(yùn)動(dòng)方程（）證券的預(yù)期回報(bào)與其價(jià)格無(wú)關(guān)。ITO定理：假設(shè)某隨機(jī)變量x的變動(dòng)過(guò)程可由ITO過(guò)程表示為（省略下標(biāo)t）13令f(x,t)為隨機(jī)變量x以及時(shí)間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標(biāo)的資產(chǎn)x的

4、衍生證券的價(jià)格，則f(x,t)的價(jià)格變動(dòng)過(guò)程可以表示為（）證明：將（）離散化由（）知利用泰勒展開(kāi)，忽略高階段項(xiàng)，f(x,t)可以展開(kāi)為（）在連續(xù)時(shí)間下，即因此，（）可以改寫(xiě)為（）從而即x2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)！（）由（）可得（）由（）得到（） 由于x2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)，所以，其期望值就收斂為真實(shí)值，即當(dāng)t0時(shí)，由（）可得13.3 B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)過(guò)程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價(jià)格，令f(s,t)代表衍生證券的價(jià)格，則f(x,t)的價(jià)格變動(dòng)過(guò)程可由ITO引理近似為20假設(shè)某投資者以份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭和1個(gè)單位的衍生證券空頭來(lái)構(gòu)造一個(gè)組合，且滿足則該組合的收益為下面將證明該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合

5、，在t時(shí)間區(qū)間內(nèi)收益為21注意到此時(shí)不含有隨機(jī)項(xiàng)w，這意味著該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為r，且由于t較小（不采用連續(xù)復(fù)利），則整理得到B-S微分方程的意義衍生證券的價(jià)格f，只與當(dāng)前的市價(jià)S，時(shí)間t，證券價(jià)格波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無(wú)論投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，可以采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，即所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。只要標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，都可以采用B-S微分方程求出價(jià)格f。13.4 幾何布朗運(yùn)動(dòng)與對(duì)數(shù)正態(tài)分布24若股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，則T時(shí)刻股票價(jià)格滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即25令則這樣由伊藤

6、引理得到即26由（）27則稱ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其期望值為所以13.5 B-S買(mǎi)權(quán)定價(jià)公式28 對(duì)于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)（買(mǎi)權(quán)）的在定價(jià)日t的定價(jià)公式為（1）設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，到期時(shí)刻T，若股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，若已經(jīng)當(dāng)前時(shí)刻t的股票價(jià)格為St,則T時(shí)刻的股票價(jià)格的期望值為B-S買(mǎi)權(quán)定價(jià)公式推導(dǎo)29（）30（）由（）和（）得到（）根據(jù)B-S微分方程可知，定價(jià)是在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，則資產(chǎn)的期望回報(bào)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)，則這表明：在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，任何可交易的金融資產(chǎn)的回報(bào)率均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。31（2）在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，故買(mǎi)權(quán)期望值的現(xiàn)值為（）由于ST服

7、從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其pdf為32（）第1項(xiàng)第2項(xiàng)將由(13.16)得到（3）化簡(jiǎn)（）中的第1、2項(xiàng)，先化簡(jiǎn)第1項(xiàng)33（）當(dāng)前時(shí)刻價(jià)格，不是變量34（） 將（）與（）內(nèi)的第2個(gè)指數(shù)項(xiàng)合并，即35（）將（）代入（）36下面，將利用變量代換來(lái)簡(jiǎn)化（），不妨令（）3738y的積分下限為y的積分上限為將dy與y代入（），即有39這樣就完成了第1項(xiàng)的證明。（）40下面證明B-S公式中的第2項(xiàng)，首先進(jìn)行變量代換，令則z的積分下限41z的積分上限將z和dz代入42（）43則由（）和（）得到其中44pr0dN(d)例如:當(dāng)d時(shí),N(d)913.5%B-S買(mǎi)權(quán)公式的意義N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，

8、或者說(shuō)式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。 e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 45其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。假設(shè)兩個(gè)N(d)均為1，看漲期權(quán)價(jià)值為St-Xe-rT，則沒(méi)有不確定性。如果確實(shí)執(zhí)行了，我們就獲得了以St為現(xiàn)價(jià)的股票的所有權(quán)，而承擔(dān)了現(xiàn)值Xe-rT的債務(wù)。期權(quán)的價(jià)值關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格及其方差，以及到期時(shí)間等5個(gè)變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函數(shù)，具有如下性質(zhì)46FactorEff

9、ect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: CallsSo = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)d1 = ln(100/95) + (0.10+(05 2/2) / (050.251/2) d2 = 0.43

10、 + (050.251/2)， N (0.18) =0 .5714Call Option Example48Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co P = Xe-rT 1-N(d2) - S0 1-N(d1)Call Option Value4913.6 看跌期權(quán)的定價(jià)利用金融工程的原理來(lái)看待期權(quán)平價(jià)關(guān)系考慮如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一份有效期和協(xié)議價(jià)格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)50組合A到期時(shí)刻T的收益51組合B到期時(shí)刻T的收益兩個(gè)組合具有相同的價(jià)格，且由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，則在t時(shí)刻兩個(gè)組合價(jià)值相等，否則就有套利，即此為看漲看跌期權(quán)平價(jià)公式。52從幾何圖性上看，二者對(duì)影響期權(quán)的關(guān)鍵指標(biāo)都進(jìn)行了負(fù)向變換，是關(guān)于縱向?qū)ΨQ的。53標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格期權(quán)價(jià)值13.7 有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用（StI）代替B-S公式中的