函數(shù)概念的學與教

1、函數(shù)概念的學與教 作者：章建躍 來源：未知 發(fā)布時間：2005-09-29 20:20 點擊數(shù)： 89 函數(shù)是中學數(shù)學的核心內容。從常量數(shù)學到變量數(shù)學的轉變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學習開始的。函數(shù)知識的學習對學生思維能力的發(fā)展具有重要意義。從中學數(shù)學知識的組織結構看，函數(shù)是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)列、排列組合、極限和微積分等都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系。例如：代數(shù)式2a23a1，可以看成是函數(shù)y2x23x1在xa時的值；方程f(x)0的根可以看成是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交點的橫坐標；不等式f(x)0的解可以看成是函數(shù)yf(x)的圖像上位于x軸上方部分的點的橫坐標集合；等比數(shù)列1，2

2、，4，8，是函數(shù)y2x（x1，2，3，）的另一種表示；等等。函數(shù)性質在等式或不等式的求解、證明中往往是非常有力的工具，例如證明： ，只要令函數(shù)中的x1即可。又如：已知ab，那么， 成立的充要條件是（ ）。(A)ab0 (B)ba0 (C)a0b (D)0ba1。引進函數(shù) ，此函數(shù)在區(qū)間（，0）和（0，）上都是減函數(shù)。易知，當條件A、B或D之一成立時，均有 ，當且僅當C成立時，有 。所以選C。 另外，函數(shù)還是數(shù)學的后續(xù)發(fā)展的基礎，同時在物理、化學等自然科學中有著廣泛的應用，在解決生產(chǎn)生活中的實際問題時，也往往采用函數(shù)作為建模的基本工具。因此，函數(shù)的學習非常重要，應當給予充分的重視。一、函數(shù)概念學

3、習困難的原因分析 教學實踐表明，函數(shù)概念是中學生感到最難學的數(shù)學概念之一。盡管在實際教學中采取了適當滲透、螺旋上升的方法，分段而有循環(huán)地安排函數(shù)知識，但學生的函數(shù)概念水平仍然較低。造成困難的原因主要有兩個方面。1函數(shù)概念本身的原因。 數(shù)學發(fā)展史表明，函數(shù)概念從產(chǎn)生到完善，經(jīng)歷了漫長而曲折的過程。這不但因為函數(shù)概念系統(tǒng)復雜、涉及因素眾多，更重要的是伴隨著函數(shù)概念的不斷發(fā)展，數(shù)學思維方式也發(fā)生了重要轉折：思維從靜止走向了運動、從離散走向了連續(xù)、從運算轉向了關系，實現(xiàn)了數(shù)與形的有機結合，在符號語言與圖、表語言之間可以靈活轉換。在函數(shù)的研究中，思維超越了形式邏輯的界限，進入了辯證邏輯思維。與常量數(shù)學相

4、比，函數(shù)概念的抽象性更強、形式化程度更高。認知心理學認為，個體的心理發(fā)展過程是人類社會認識發(fā)展過程的簡約反映。因此，學生掌握函數(shù)概念的過程要簡約地重演數(shù)學科學發(fā)展中對函數(shù)的認識過程，普遍出現(xiàn)認識上的困難是比較自然的。另外，從函數(shù)概念本身看，以下特點會造成學生理解上的困難。（1）“變量”概念的復雜性和辯證性。函數(shù)涉及較多的子概念：映射、非空數(shù)集、變量（包括自變量、因變量）、定義域、值域、象、原象、對應、對應法則，等。其中，“變量”被當成不定義的原名而引入，是函數(shù)概念的本質屬性。有的教師將“變量”解釋為“變化的量”，顯然這是同義反復，于學生理解“變量”的意義并沒有幫助。實際上，“變量”的關鍵在于“

5、變”，而“變”在現(xiàn)實中與時、空相關，但數(shù)學中對時、空是沒有定義的。另外，數(shù)學中的“變量”與日常生活經(jīng)驗有差異。從日常經(jīng)驗看，“變量”不可能與“確定”聯(lián)系在一起，而且變量的形式表示之間沒有可替代性（例如，“牛吃草”中的變量“?！迸c“學生吃飯”中的變量“學生”是不可替代的）。但數(shù)學中的“變量”具有形式的可替代性，即yf(x)與xf(y)并沒有本質上的不同，而且它既有可變性又有確定性，它可以很好地反映靜止與變化、量變與質變、內容與形式等的辯證關系，因此，變量概念的形成是辯證法在數(shù)學中運用的典范。（2）函數(shù)概念表示方式的多樣性。函數(shù)概念表示的多樣性，一方面表現(xiàn)在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區(qū)

6、間、不等式等不同形式表示；另一方面表現(xiàn)在它可以用圖像、表格、對應、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨立地抽象出函數(shù)概念來。與其他數(shù)學概念相比，由于函數(shù)概念需要同時考慮幾種表示，并要協(xié)調各種表示之間的關系，常常需要在各種表示之間進行轉換，因此容易造成學習上的困難。能否正確地使用函數(shù)的不同表示形式，靈活地對不同的表示進行轉換，是考察函數(shù)概念形成水平的重要標準。（3）函數(shù)符號的抽象性。yf(x)表示了一種特殊的對應關系，其中每一個字母都有特定的含義。但這種含義僅從字面上是看不出的。我們不能通過“f”來想象對應法則的具體內容，也不能通過x（或y）來想象定義域（或值域）到底是什么。這種抽象性大大增

7、加了函數(shù)學習的難度。2學生思維發(fā)展水平方面的原因。 心理學認為，學生掌握概念的一般特點是：概念的識別優(yōu)于概念特征的說明，概念外延的掌握優(yōu)于概念內涵的掌握。對概念內涵的掌握，取決于概念本質特征的多少以及它們之間的關系。本質屬性越多、越鮮明，概念形成越容易；非本質屬性越多、越明顯，概念形成越難。對于所有概念，都是先掌握具體概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辯證概念。函數(shù)概念的學習中，要求學生進行數(shù)形結合的思維運算，進行符號語言與圖形語言的靈活轉換。但在學生的認知結構中，數(shù)與形基本上是割裂的。理解函數(shù)概念時，需要學生在頭腦中建構一個情景（解析式的、表格的或圖形的），使得函數(shù)的對應法則能夠得到形

8、象的、動態(tài)的反映；函數(shù)是對應法則、定義域、值域的統(tǒng)一體，學生應當領會它們之間的相互制約關系，對三者進行整體把握。像這種抽象地、動態(tài)地、相互聯(lián)系地、整體地認識研究對象，而且要在頭腦中把整個動態(tài)過程轉化為研究對象來研究，這就需要學生的思維在靜止與運動、離散與連續(xù)之間進行轉化。但是，學生的思維發(fā)展水平還處于辯證思維很不成熟的階段，他們看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，還不能夠完全勝任這種需要用辯證的思想、運動變化的觀點才能理解的學習任務。例如，學生常常認為，x“代表”一個單個的數(shù)（可能是未知的）；求函數(shù)值就是把數(shù)代入“公式”中的字母的運算；學生舉出的函數(shù)的例

9、子是形如“x22”之類的代數(shù)式。學生常常把函數(shù)概念與“公式”等同起來，因此函數(shù)的動態(tài)性、變化性在思維中不能得到充分反應?？傊?，學生的辯證邏輯思維處于發(fā)展的初級階段，與函數(shù)概念的運動、變化、聯(lián)系的特點非常不適應，這是構成函數(shù)概念學習困難的主要根源。不過，正因為函數(shù)概念所具有的這種特性，才使它在促進學生思維發(fā)展中起著別的數(shù)學內容所無法替代的作用，成為從形式邏輯思維向辯證邏輯思維轉化的轉折點。二、函數(shù)概念的教學 1.重視函數(shù)概念的形成過程。 函數(shù)概念產(chǎn)生于研究變量之間關系的需要，函數(shù)是描述數(shù)學和現(xiàn)實問題的有效工具。學生已有經(jīng)驗中存在許多可以用以說明函數(shù)產(chǎn)生過程的實例。例如：考察多邊形的邊數(shù)與內角和之

10、間的關系，可以用列表的方式來組織信息： 邊數(shù) 3 4 5 6 7 內角和 180 360 540 720 900 通過引導學生對表格進行觀察，有的學生會注意到，邊數(shù)每增加1，內角和增加180；通過歸納，有的學生會猜測到邊數(shù)與內角和之間存在下列關系：S-n180(n2)。這是一個一次函數(shù)。這個過程可以使學生建立起對變量之間變化關系的直觀感受，這對理解函數(shù)概念是很重要的。 為了使學生獲得關于猜想正確性的自信心，教師應該鼓勵學生采用不同方法來探索同一個問題。例如，上述問題還可以用畫圖的方法進行探索： 如圖1，從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內角和增加了180。另外，由圖還可以得到如下想法

11、：從n邊形的一個定點畫出所有對角線，恰好得到(n2)個三角形，于是內角和公式得到確證。 另外，循著“從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內角和增加了180”，還可以用遞推的方法：“后繼數(shù)前數(shù)180”。 之所以要鼓勵學生采用多種表示方式探索規(guī)律，目的是為了使學生由此體驗函數(shù)關系的產(chǎn)生過程，為后面的抽象概念學習打下基礎。實際上，在探索過程中，學生可以獲得變量之間相互依賴關系的切身感受，這種感受對于理解抽象的函數(shù)概念是非常重要的。因此，教學中，教師應當多采用學生熟悉的具體實例，引導學生認識其中的變量關系。另外，在上述過程中，學生所使用的主要是歸納的思維形式：通過歸納，探尋規(guī)律。歸納之重要性，

12、不僅在于由它可以猜想結論，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，而且還在于它采用了由具體到抽象、由特例到一般的形式，這就可以使推理建立在學生已有經(jīng)驗的基礎上，這是符合學生的認知規(guī)律的。2重視對變量概念的理解。 “變量”是函數(shù)概念的核心，但發(fā)展學生對變量概念的理解需要一個較長的過程。在學習函數(shù)概念之前，學生從代數(shù)式、方程等內容的學習中獲得了關于變量的一定理解。例如，他們已學會解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程組；能夠作形如的恒等變形；會使用公式Sr2求圓的面積；另外，通過解二元一次方程，他們體驗到對于方程y2x1，可以有無數(shù)多個有序數(shù)對（x，y）滿足它，等等。這些是學生學習“變量”概念的基礎。教師應當

13、以此為基礎，使學生認識“變量可以在某種約束條件下取不同的值”，以及在這個約束條件下變量之間的對應關系，從而發(fā)展學生的變量概念。3重視不同表示方式之間的轉換。 通常，在人們頭腦中，函數(shù)的表示主要使用解析式，但實際上各種表示（語言的、圖像的、表格的、符號的）之間的相互轉換，可以加深學生對函數(shù)概念的理解。例如，下面的例子要求從語言表示轉化為圖像表示：從上海浦東機場到北京機場的一次飛行中，在允許著陸前必須繞北京機場幾周。畫出從起飛到著陸這段時間飛機與浦東機場的距離的圖像。學生掌握的函數(shù)概念不夠清晰時，常常不看圖像中表示的變量，并把“與地面的距離”錯當成“與浦東機場的距離”，結果畫出了如圖2的圖像。教師

14、應當利用適當?shù)氖侄危ɡ缬媚M飛行的方法）引導學生認識到，飛機繞圈飛行時，“距離”不是一個圓圈，而是如圖3的“振動”。圖2圖3根據(jù)上述圖像，教師可以讓學生估計某一時刻飛機離浦東機場的距離，哪些時刻離機場距離最遠、列出3個與機場距離相等的時間，等。 4重視函數(shù)概念的實際應用。 抽象的函數(shù)概念必須經(jīng)過具體的應用才能得到深刻理解。在數(shù)學內部，可以通過用函數(shù)性質比較大小、求解方程、求解不等式、證明不等式等活動，深化對函數(shù)概念的理解。例如，判斷方程sinxlgx的實根個數(shù)。本題可以通過作函數(shù)ysinx和ylgx圖像（如圖4），看它們有幾個交點而做出判斷。 圖4又如，已知a，b，mR+，并且ab，求證：

15、則可以通過證明它在區(qū)間（0，）上為增函數(shù)，立即可以得出證明。還要注意用函數(shù)知識解決實際問題的訓練。實際上，函數(shù)是非常重要的“數(shù)學建?！惫ぞ?，現(xiàn)實中的許多問題都是通過建立函數(shù)模型而得到解決的。同時，在解決實際問題的過程中，學生對函數(shù)概念以及與它相關的變量、代數(shù)式、方程等知識都能夠加深理解。例如，教師可以給學生設計類似于這樣的問題：假設學校為了開闊學生的視野，培養(yǎng)學生適應社會生活的能力，要開展一次完全由學生自己操辦的商品銷售活動。你要負責某種商品的進貨和定價。從商業(yè)角度考慮，你要做出計劃，使得這個項目取得最大利益。這時你要考慮哪些問題呢？顯然，進貨量是要考慮的，否則，不夠賣或積壓很多都會造成損失。

16、還有，如果這種商品有不同檔次的產(chǎn)品，那么還要考慮不同檔次的產(chǎn)品如何搭配。這些都需要作市場調查。另外，如果商品的售價太高，那么愿意購買的人就會減少；如果售價太低，那么就會減少利潤。因此，合理定價是獲得最大利益的又一重要因素。為了解“市場需求”，你可以先作個“市場調查”： 關于某種檔次的商品需求情況調查關于某種檔次的商品需求情況調查單位（ 元）你班購買相應價格的商品總數(shù)每班購買的商品的平均數(shù)全校該商品的需求計劃數(shù)510152025做出了這個調查后，請解決下列問題： （1）求出需求函數(shù)f(x)，它預測當某種檔次的商品定價x元時可以售出的數(shù)量。（2）假如這一檔次的商品的進價為7元，求利潤函數(shù)s(x)，它預測這種商品定價x元時所能夠獲得的利潤。（3）求獲得最大利潤時的定價；求出此時該檔