病態(tài)線性方程組的求解

1、安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院病態(tài)線性方程組的求解專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)數(shù)*班學(xué)號(hào)*姓名*指導(dǎo)教師*二。一五年五月一、設(shè)計(jì)目的：為了更加透徹的熟悉數(shù)值分析課程，學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)軟件的使用，鍛煉自己 對(duì)知識(shí)的實(shí)際運(yùn)用能力。二、引言：用直接法求解AX=F線性方程組，對(duì)于系數(shù)矩陣A對(duì)角占優(yōu)是很有效的。方 程階數(shù)不高時(shí)，人們經(jīng)常使用；而當(dāng)方程組階數(shù)大時(shí)，由于積累誤差，導(dǎo)致結(jié)果 失真。為了克服誤差積累問(wèn)題，通常用迭代法。它具有可達(dá)到所要求的精度和 對(duì)計(jì)算內(nèi)存要求不大的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)求解大型線性方程組，迭代法計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)比直 接法少，所以在實(shí)際計(jì)算中，迭代法也被人們廣泛使用。然而迭代法要研究迭 代格式的收斂性，如Ja

2、cobi迭代對(duì)系數(shù)矩陣為病態(tài)矩陣不收斂，為此我們提供 一種修改的Jacobi迭代，并給出一些數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明有較好的效果。三、解線性方程組迭代法的描述設(shè)線性方程組AX=P這里A:a j ,X:x i,F:f i,1 i,j n,為了更廣泛 地應(yīng)用，對(duì)A只限制實(shí)的非奇異矩陣，那么，若給定初值x，我們熟知的有： Jacobi 迭代：xk 1)=(fajXj(k)/a ii j 二 i, 1 - i - n四、求解病態(tài)線性方程組的另一種迭代解法設(shè)線性方程BX=F,這里系數(shù)矩陣B是病態(tài)的，指的是矩陣條件數(shù)是較大的。 條件數(shù)越大，就越難求得準(zhǔn)確解，為此，我們將方程的兩端同加DX項(xiàng)，那 么 相應(yīng)的Jacob

3、i迭代有：X(k = (D A)TF (D - H)X(k)(1)這里，A為 B 的對(duì)角陣，即 A: b ii,H:b j j #i 14i,j n,記 M=(D + A)-1(D - H) , AX(k) = X(k4l) - X(k)，那么有：X(k) = M ：X (k,)=M k.：X(0)由此可見(jiàn)(1)式收斂，迭代矩陣M的譜半徑應(yīng)滿足p(M )1 ,譜半徑若用M的特征值判斷，則較為繁鎖；若 B不可約，根據(jù)線性代數(shù)對(duì)角占優(yōu)簡(jiǎn)單迭 代必收斂的性質(zhì)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們?nèi)為對(duì)角線陣，即D: d i,為保證收斂就得取di=Sign2 |bij |, bii ,符號(hào)Signa,b的含義是與b同號(hào)

4、，數(shù)值取a,這是充分條件，實(shí)際計(jì)算中有時(shí)可放寬處理，比如可取di=Sign Max|bij |, Di 或者 di =Sign Max|bij |, bii j # i ,因而相應(yīng) ijj的Jacobi迭代修改為：xi(k+1) =(f i-Z bijXj(k) +dixi(k)/(b ii +di)(2)j二i下面列舉普通Jacobi迭代不收斂，解不出正確結(jié)果，而用修改的Jacobi迭代可求出滿意結(jié)果的例子：例1 :2 -11-2A= 111 F= -3_11-2_ 0精確解為X=L1 -1 -1，普通Jacobi迭代不收斂，取di=Sign Max aij |, aii j # i ,1

5、J 3用(2)式迭代 40 步，X=L 1.000035 -1.000053 -1.000003例2 :方程系數(shù)為Hilbert陣H: hj =1/（i j 一1） F:fi 八 hj 1 i,j n精確解X=1 11T,普通Jacobi迭代發(fā)散，取dj=Sign | hj |,hii 用修改的（2）式迭代，n=1200時(shí)迭代10870步結(jié)果摘錄如下：系數(shù)為Hilbert陣1200階的結(jié)果x(i) iterate 10870 steps valuasion14910.9999691.0002780.9995930.9998561.000061.0001411.0001491.0001241.0

6、000861.0000491.0000021.0000021.0000021.0000021.0000021.0000021.0000021.0000021.0000021.0000018910.9999980.9999980.9999980.9999980.99999811910.9999980.9999980.9999980.9999980.9999981.0000041.0000041.0000041.0000041.0000041.0000041.0000041.0000041.0000041.000004iteration = 10870 max error = 4.07000000

7、0000462e-04五、結(jié)論與問(wèn)題以上數(shù)值試驗(yàn)表明該迭代算法對(duì)求解病態(tài)線性方程組是有效的，具優(yōu)點(diǎn) 是可達(dá)到預(yù)定的精度。求解病態(tài)方程組大條件數(shù)的系數(shù)矩陣，要獲得較正確的解是很困難的。 本文的算法迭代雖能保證收斂，但與精確解的誤差到底怎樣，還應(yīng)將解代入 原方程，衡量、檢驗(yàn)求得解的可信程度；另外，如何克服求解病態(tài)線性方程 組收斂緩慢的問(wèn)題，還有待于進(jìn)一步工作。附錄例1的matlab計(jì)算程序:clearm=40;n=3;A=2 -1 1;1 1 1;1 1 -2;F=-2 -3 0;x=zeros(n,m);for i=1:nx(i,1)=0;endfor i=1:nif i=1d(i)=max(a

8、bs(A(i,2:n)*A(i,i)/abs(A(i,i);elseif i=nd(i)=max(abs(A(i,1:n-1)*A(i,i)/abs(A(i,i);elsed(i)=max(max(abs(A(i,1:i-1),max(abs(A(i,i-1:n)*A(i ,i)/abs(A(i,i);endendfor k=2:mfor i=1:nx(i,k)=(F(i)-A(i,:)*x(:,k-1)+A(i,i)*x(i,k-1)+d(i)*x(i,k-1)/(A(i,i)+d(i);endendx(：,m)例2的matlab計(jì)算程序：clearn=1200;m=10870;for i=1:nfor j=1:nH(i,j)=1/(i+j-1);endendfor i=1:nf(i)=sum(H(i,:);endfor i=1:nd(i)=sum(abs(H(i,:)*H(i,i)/abs(