工程數(shù)學(xué)第5講

1、工程數(shù)學(xué)第5講本文件可從網(wǎng)址http:/上下載(單擊ppt講義后選擇工程數(shù)學(xué)子目錄)1第四章 級(jí)數(shù)1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)21. 復(fù)數(shù)列的極限 設(shè)an(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)列, 其中an=an+ibn, 又設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù). 如果任意給定e0, 相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)N(e), 使|an-a|N時(shí)成立, 則a稱為復(fù)數(shù)列an當(dāng)n時(shí)的極限, 記作此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列an收斂于a.3定理一 復(fù)數(shù)列an(n=1,2,.)收斂于a的充要條件是證 如果 , 則對(duì)于任意給定的e0, 就能找到一個(gè)正數(shù)N, 當(dāng)nN時(shí),4反之, 如果52. 級(jí)數(shù)概念 設(shè)an=an+ibn(n=1,2,.)為一復(fù)數(shù)列, 表達(dá)式稱為無(wú)

2、窮級(jí)數(shù), 其最前面n項(xiàng)的和sn=a1+a2+.+an稱為級(jí)數(shù)的部分和. 如果部分和數(shù)列sn收斂, 6定理二 級(jí)數(shù) 收斂的充要條件是級(jí)數(shù) 和 都收斂證 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an, tn=b1+b2+.+bn分別為 和 的部分和, 由定理一, sn有極限存在的充要條件是sn和tn的極限存在, 即級(jí)數(shù) 和 都收斂.7定理二將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題.8定理三證91011122 冪級(jí)數(shù)131. 冪級(jí)數(shù)的概念 設(shè)fn(z)(n=1,2,.)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定

3、義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 最前面n項(xiàng)的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)稱為這級(jí)數(shù)的部分和.14存在, 則稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.2.1)在z0收斂, 而s(z0)稱為它的和. 如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂, 則它的和一定是z的一個(gè)函數(shù)s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.s(z)稱為級(jí)數(shù) 的和函數(shù)如果對(duì)于D內(nèi)的某一點(diǎn)z0, 極限15這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).如果令z-a=z, 則(4.2.2)成為 , 這是(4.2.3)的形式, 為了方便, 今后常就(4.2.3)討論當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時(shí), 就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的

4、特殊情形:16定理一(阿貝爾Abel定理)z0 xyO17證1819202. 收斂圓和收斂半徑 利用阿貝爾定理, 可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍, 對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō), 它的收斂情況不外乎三種:i) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的. 這時(shí), 根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.ii) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的. 這時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.iii) 既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù). 設(shè)z=a(正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)收斂, z=b(正實(shí)數(shù))時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散.21顯然ab, 將收斂域染成紅色, 發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.RCROabCaCbxy22當(dāng)a由小逐漸變大時(shí), Ca必

5、定逐漸接近一個(gè)以原點(diǎn)為中心, R為半徑的圓周CR. 在CR的內(nèi)部都是紅色, 外部都是藍(lán)色. 這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱為冪級(jí)數(shù)的收斂圓. 在收斂圓的外部, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 收斂圓的內(nèi)部, 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 收斂圓的半徑R稱為收斂半徑. 所以冪級(jí)數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域. 對(duì)冪級(jí)數(shù)(4.2.2)來(lái)說(shuō), 收斂范圍是以z=a為中心的圓域. 在收斂圓上是否收斂, 則不一定.23例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解 級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù), 部分和為24253.收斂半徑的求法264. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì) 象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣, 復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算. 設(shè)在以原點(diǎn)為中心, r1,r2中較

6、小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi), 這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加, 相減, 相乘, 所得到的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積. 2728更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算這個(gè)代換運(yùn)算, 在把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí), 有著廣泛的應(yīng)用.2930Oxyab當(dāng)|z-a|b-a|=R時(shí)級(jí)數(shù)收斂31323) f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 即333 泰勒級(jí)數(shù)34設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周, 它與它的內(nèi)部全含于D, 把它記作K, 又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).z0Kzrz35按柯西積分公式, 有其中K取正方向, 且有36代入(4.3.1)得由解析函數(shù)高階

7、導(dǎo)數(shù)公式(3.6.1),上式可寫成37在K內(nèi)成立, 即f(z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá)q與積分變量z無(wú)關(guān), 且0q1.38K含于D, f(z)在D內(nèi)解析, 在K上連續(xù), 在K上有界, 因此在K上存在正實(shí)數(shù)M使|f(z)|M.39因此, 下面的公式在K內(nèi)成立.稱為f(z)在z0的泰勒展開式, 它右端的級(jí)數(shù)稱為f(z)在z0處的泰勒級(jí)數(shù).圓周K的半徑可以任意增大, 只要K在D內(nèi). 所以, 如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d, 則(4.3.4)在圓域|z-z0|d內(nèi)成立. 但這時(shí)對(duì)f(z)在z0的泰勒級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō), 它的收斂半徑R至少等于d, 因?yàn)榉矟M足|z-z0|d的z必能使(4.3.4)成立. 即R

8、d.40定理(泰勒展開定理) 設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 則當(dāng)|z-z0|d時(shí), 41如果f(z)在z0解析, 則使f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離, 即R=|a-z0|. 這是因?yàn)閒(z)在收斂圓內(nèi)解析, 故奇點(diǎn)a不可能在收斂圓內(nèi). 又因?yàn)槠纥c(diǎn)a不可能在收斂圓外, 不然收斂半徑還可以擴(kuò)大, 因此奇點(diǎn)a只能在收斂圓周上.Oxyz0a42任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是就是泰勒級(jí)數(shù), 因而是唯一的.這是因?yàn)? 假設(shè)f(z)在z0用另外的方法展開為泰勒級(jí)數(shù): f(z)=a0+a1

9、(z-z0)+a2(z-z0)2+.+an(z-z0)n+.,則f(z0)=a0.而f (z)=a1+2a2(z-z0)+.于是f (z0)=a1.同理可得43利用泰勒展開式, 我們可以直接通過(guò)計(jì)算系數(shù):把f(z)在z0展開成冪級(jí)數(shù), 這被稱作直接展開法, 例如, 求ez在z=0處的泰勒展開式, 由于 (ez)(n)=ez, (ez)(n)|z=0=1, (n=0,1,2,.)故有因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析, 上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立, 收斂半徑為.44同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開式:因?yàn)閟in z與cos z在復(fù)平面上處處解析, 所以這些等式也在復(fù)平面內(nèi)處處成立.45除直接法外, 也可以借助一些已知函數(shù)的展開式, 利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)(定理四), 以唯一性為依據(jù)來(lái)得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開式, 此方法稱為間接展開法. 例如sin z在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:4647例2 求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開式.解 ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的, -1是它的奇點(diǎn), 所以可在|z