三角函數(shù)最值問題的幾種常見類型(一)解讀

1、必修4三角函數(shù)最值問題的探討主講人：吳南壽時(shí)間：2015.5.12三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，近幾年的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)。其出現(xiàn)的形式，或者是在小題中單純地考察三角 函數(shù)的值域問題；或者是隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知 識點(diǎn)之一；或者在解決某一問題時(shí)，應(yīng)用三角函數(shù)有界性會使問題更 易于解決(比如參數(shù)方程)。題目給出的三角關(guān)系式往往比較復(fù)雜， 進(jìn)行化簡后，再進(jìn)行歸納，主要有以下幾種類型。掌握這幾種類型后， 幾乎所有的三角函數(shù)最值問題都可以解決。y=asinx+bcosx 型的函數(shù)特點(diǎn)是含有正余弦函數(shù)，并且是一次式。解決此類問題的指導(dǎo)思想是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角

2、函數(shù)。應(yīng)用課本中現(xiàn)成的公式即可：y=Ja2 +b2 sin(x+ d ),其中 tan =b a2例 1 已知函數(shù) f (x)=2cosxsin( x+-) v3sin x+sin xcosx(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求f (x)的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的 x的值；(3)若當(dāng)x67；時(shí)，f(x)的反函數(shù)為一，求一(1)的值.2.解：(1) f (x)=2cosxsin( x+-) V3sin x+sin xcosx=2cosx(sin xcos；+cosxsin -1) J3sin 2x+sin xcosx=2sin xcosx+ 3 cos2x=2sin(2 x+-)f (x

3、)的最小正周期T=兀(2)當(dāng)2x+g=2k兀一_| ,即x=k兀一工(k6Z)時(shí)，f(x)取得最小 值2.(3)令 2sin(2 x+巴)=1 ,又 x 6 工 71 , 32, 22x+| 6 |, 3L , /. 2x+| 嘿，貝 Ux=：,故 f - 1(1)=:.y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函數(shù)。特點(diǎn)是含有sinx, cosx的二次式，處理方式是降哥，再化為型 1的形式來解。例2.求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x的最小值，并求出y取最小 值時(shí)的x的集合。解：y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=(sin 2x+cos2

4、x)+sin2x+2cos 2x=1+sin2x+1 +cos2x=2+、2sin(2x+ )4當(dāng)sin(2x+ ：)=-1時(shí)，y取最小值2-應(yīng)，此時(shí)x的集合x|x=k 兀-3 兀,k 6 Z.8y=asin 2x+bcosx+c 型的函數(shù)特點(diǎn)是含有sinx, cosx ,并且其中一個(gè)是二次，處理方式是應(yīng)用sin 2x+cos2x=1，使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應(yīng)用換元法，轉(zhuǎn) 化成二次函數(shù)來求解。例3是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=sin 2x+a - cosx+- a-在閉區(qū)間 820,上的最大值是1?若存在，求出對應(yīng)的a值；若不存在，試說明理由.3a 2 a2 51a =-（cosx ）

5、一-a -22482行25.斛：y =1 -cos x +acosx + 一8當(dāng)0 Wx E 2時(shí),0 cosx 1時(shí)，即a a2,則當(dāng) cosx = 1時(shí),ymax = a + 5a-3=1 max TOC o 1-5 h z 282=a =型2（舍去），5a=148213若0 a E1,即0a 2,則當(dāng) cosx = a時(shí)，ymax223 3a a =或a = T 0（舍去）.2若a 0,即a 0,則當(dāng) cosx = 0時(shí)，ymax = 5a1=1n a = a（舍去） 2825綜合上述知，存在a4符合題設(shè)4. y=asinx工型的函數(shù)bcosx d特點(diǎn)是一個(gè)分式，分子、分母分別會有正、余

6、弦的一次式。幾乎 所有的分式型都可以通過分子，分母的化簡，最后整理成這個(gè)形式， 它的處理方式有多種。例4.求函數(shù)y=2 一癡x的最大值和最小值。2 cosx解法 1:原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即 sin（x+ （|）= 222y ,1 y2 |sin（x+ 0）|W1,wi,解出 y 的范圍即可。i - y2解法2: 2 - sx裝示的是過點(diǎn)（2, 2）與點(diǎn)（cosx, sinx）的斜率， 2 c o s而點(diǎn)（cosx, sinx）是單位圓上的點(diǎn)，觀察圖形可以得出在直線與圓相 切時(shí)取極值。解法3：應(yīng)用萬能公式設(shè)t=tg（-）則y=M2!望，即3t2 1（2-3y）t 2-2

7、t+2-y=0根據(jù)A0解出y的最值即可。. y=sinxcos2x 型的函數(shù)。它的特點(diǎn)是關(guān)于sinx ,cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。 因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)不涉及三次函數(shù)的最值問題，故幾乎所有的三次式的最值問題（不只是在三角）都用均值不等式來解（沒有其它的方法）。 但需要注意是否符合應(yīng)用的條件（既然題目讓你求，多半是符合使用 條件的，但做題不能少這一步），及等號是否能取得。例6如右圖，在半徑為R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌 子邊緣一點(diǎn)處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角0的正弦成正比，角和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即I =k 駕， r其中k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的

8、常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的高 度h,才能使桌子邊緣處最亮？解：R=rcosO,由此得：1=20日3, TOC o 1-5 h z r R22sin 二 sin 二 cos 二 k2I =k -2- k k 2(sin ? cos 力rRR2_2 k 2 _222 k 22 32I2 =(帚)2 2sin2 1 (1 -sin2 u)(1 -sin2 1)三(百)2 (3)3由止匕得I,2J3,等號在sin日=三3時(shí)成立，止匕時(shí)h = RtanH=2RR2 932注：本題的角和函數(shù)很難統(tǒng)一，并且還會出現(xiàn)次數(shù)太高的問題。.含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式。其特點(diǎn)是含有或經(jīng)過化簡整理后出現(xiàn)

9、sinx+cosx與sinxcosx的式子，處理方式是應(yīng)用(sinx+cosx) 2=1+2sinxcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成二次函數(shù)的問題。例 6.求 y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。解：令 sinx+cosx=t,(-V2wtwV2),貝U 1+2sinxcosx=t 2,所以 2sinxcosx=t 2-1,所以 y=t 2-1+t=(t+ 1) 2- 5.24根據(jù)二次函數(shù)的圖象，解出y的最大值是1+V2。相信通過這一歸納整理，大家對有關(guān)三角函數(shù)最值的問題就不會陌生了。并且好多其它的求最值的問題可以通過代換轉(zhuǎn)化成三角求最值的問題。望同學(xué) 們在做有關(guān)的問題時(shí)結(jié)合上面的知識讀書的好處1、行萬里路，讀萬卷書。2、書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。3、讀書破萬卷，下筆如有神。4、我所學(xué)到的任何有價(jià)值的知識都是由自學(xué)中得來的。一一達(dá)爾文5、少壯不努力，老大徒悲傷。6、黑發(fā)不知勤學(xué)早，白首方悔讀書遲。一一顏真卿7、寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來。8、讀書要三到：心到、眼到、口到9、玉不琢、不成器，人不學(xué)、不知義。10、一日無書，百事荒廢。一一陳壽11、書是人類進(jìn)步的階梯。12、一日不讀口生，一日不寫手生。13、我撲在書上，就像饑餓的人撲在面包上。 高爾基14、書到用時(shí)方恨少、事非經(jīng)過不知難。陸游