三角形重心性質(zhì)定理講義

1、三角形重心性質(zhì)定理1、配方法：所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其 中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次暮的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方 法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等 方面都經(jīng)常用到它。2、因式分解法：因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。 因式分解是恒等變形的根底，它作為數(shù)學(xué) 的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等的解題中起 著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分

2、組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、 求根分解、換元、待定系數(shù)等等。3、換元法：換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱 為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)?代替原式的一個(gè)局部或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。4、判別式法與韋達(dá)定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、cCR, aw 0） 根的判別式 =b2-4ac,不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法， 在代數(shù)式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至解析幾何、三角 函數(shù)運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；兩

3、個(gè)數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以 求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些 有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。5、待定系數(shù)法：在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，假設(shè)先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含 有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。 它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的重要方 法之一。6、構(gòu)造法：在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程 （組卜一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條

4、件和結(jié) 論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造 法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲 透，有利于問題的解決。7、反證法：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過 正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否認(rèn)相反的假設(shè)，到達(dá)肯定原命題正確的 一種方法。反證法可以分為歸謬反證法 （結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反 證法（結(jié)論的反面不只一種）。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3轉(zhuǎn)論。反設(shè)是反證法的根底，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否認(rèn)的表述形式是有必要的，例如:是/不是；存在/不

5、存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/ 不等于；大（?。┯?不大（小）于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有； 至少有n個(gè)/至多有（n 1）個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一 /至少有 兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否那么推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán) 謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型： 與條件矛盾；與的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。8、等（面或體）積法：平面（立體）幾何中講的面積（體積）公式以及由面積（體積）公式推出的與面積（體積） 計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積 （體積），而且用它來證明（計(jì) 算）幾何題

6、有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。 運(yùn)用面積（體積）關(guān)系來證明或計(jì) 算幾何題的方法，稱為等（面或體）積法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明幾何題，其困難在添置輔助線。等（面或體）積法的特點(diǎn)是把和未知各量用面積（體積方式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算到達(dá)求證 的結(jié)果。所以用等（面或體）積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù) 量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔 助線，也很容易考慮到。9、幾何變換法：在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。 有

7、一些看來很難甚至于無法下手的 習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。另一方面，也可將 變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。 將圖形從相等靜止條件下的研究和 運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括：平移；（2）旋車（3）對(duì)稱。10.客觀性題的解題方法：選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題 的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學(xué)生的根底知識(shí)和根 本技能，從而增大了試卷的容量和知識(shí)覆蓋面。填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的 重要題型之一，它同選擇題一樣具有考察目標(biāo)明確，知識(shí)復(fù)蓋面廣，評(píng) 卷準(zhǔn)確迅速，有利于考察學(xué)生的分析判斷能力和計(jì)算能力等優(yōu)點(diǎn)，不

8、同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。要想迅速、正 確地解選擇題、填空題，除了具有準(zhǔn)確的計(jì)算、嚴(yán)密的推理外，還要有 解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實(shí)例介紹常用方法。（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn) 展推理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這 種解法叫直接推演法。（2瀚證法：由題設(shè)找出適宜的驗(yàn)證條件，再通過驗(yàn)證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證，找 出正確答案，此法稱為驗(yàn)證法（也稱代入法）。當(dāng)遇到定量命題時(shí)，常用 此法。（3片寺殊元素法：用適宜的特殊元素（如數(shù)或圖形）代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲得解答

9、。這種方法叫特殊元素法。（4）排除、篩選法：對(duì)于正確答案有且只有一個(gè)的選擇題，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)或推理、 演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié) 論的解法叫排除、篩選法。 （5）圖解法：借助于符合題設(shè)條件的圖形 或圖象的性質(zhì)、特點(diǎn)來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解 選擇題常用方法之一。（6）分析法：直接通過對(duì)選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法。省市下陸中學(xué) 宋毓彬1.三角形重心性質(zhì)定理課本原題人教八年級(jí) 做學(xué)？下冊(cè)習(xí)題19.2第16題在 ABC中，BD、CE是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于 O。BO與OD的長(zhǎng) 度有什

10、么關(guān)系？ BC邊上的中線是否一定過點(diǎn) O?為什么？提示：作 BO中點(diǎn)M, CO的中點(diǎn)N。連接ED、EM、MN、ND 分析：三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心第十九章課題學(xué)習(xí)座心？。這道習(xí)題要證明的結(jié)論是三角形重心的一個(gè)重要數(shù)學(xué)性質(zhì)：三角形的重心將三角形的每條中線都分成1 ： 2兩局部，其中重心到三角形某一頂點(diǎn)的距離是到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。證法1:根據(jù)課本上的提示證明取 GA、GB 中點(diǎn) M、N,連接 MN、ND、DE、EM。如圖 1. MN GAB 的中位線，MN /AB, MN= 2 AB1又 ED 是 ACB 的中位線，DE / AB , DE= 2 ABDE / MN , DE=M

11、N ,四邊形 MNDE是平行四邊形GM=GD ,又 AM=MG ,那么 AG=2GD同理可證：CG=2GF , BG=2GE點(diǎn)評(píng)：證法1是利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，從而得到平行四邊形， 再利用平行四邊形性質(zhì)得到中線上三個(gè)線段之間的相等關(guān)系。證法2:延長(zhǎng)BE至F,使GF=GB ,連接FC。.G是BF的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)1GD 是 BFC 的中位線，GD / FC, GD= - FC由 GD / FC, AE=CE ,易證 AEGCEFAG=FC ,即 GD=之 AG點(diǎn)評(píng)：利用線段中點(diǎn)，還可以將與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長(zhǎng)，構(gòu)造全等，從而利用全等三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)證明結(jié)論。證法3:取E

12、C中點(diǎn)M,連DM ,利用平行線分線段成比例及 E是AC中點(diǎn)可證得一樣 的結(jié)論。證明過程略2.三角形重心性質(zhì)定理的應(yīng)用求線段長(zhǎng)例1 如圖3所示，在 RtA ABC中，/ A=30。，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，當(dāng) G是Rt ABC的重心，GELAC于點(diǎn)E,假設(shè) BC=6cm ,那么 GE=cm 。A 圖3 E解：RtAABC 中，/ A=30 , BC=6，AB=BC=12 ,1D是斜邊AB的中點(diǎn)，CD= A. AB=62G 是 RtAABC 的重心，CG= 3 CD=4由 CD=AD , / A=30 , / GCE=30 2RtAGCE 中，/ GCE=30 , CG=4 ,GE= 2 CG=2c

13、m求面積例2在4ABC中，中線AD、BE相交于點(diǎn) O,假設(shè) BOD的面積等于5,求 ABC的 面積。解：O是 ABC的重心，.AO : OD=2 ： 1S AOB : SABOD =2 ： 1 即 SAAOB =2 Sa BOD =10 Saabd = S aob + Sa bod =10+5=15又AD是 ABC的中線Saabc=2 S ABD =30。練習(xí)：1.如圖5, ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心，如果 AG=6 ,那么線段DG=。2.如圖6,在 ABC中，G是重心，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，假設(shè) ABC的面積為6cm2,那 CGD的面積為。倍角三角形中的一個(gè)結(jié)論省市下陸中學(xué)宋毓彬例

14、1天津市中考題在 ABC中，/ A、/ B、/ C所對(duì)應(yīng)的邊分別用 a、b、c表示。 如圖 1,在4ABC 中，/ A=2/B,且/ A=60 。求證：a2=bb+c如果一個(gè)三角形的一個(gè)角等于另一個(gè)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形。此題第一問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)于任意的倍角 ABC,如圖2, /A=2/B,關(guān)系式a2=bb+c是否仍然成立？并證明你的結(jié)論。分析：在 ABC 中，/ A=2 / B,且/ A=60 , ABC 為 RtA, / C=90走 1證法 1: RtAACB 中 a= 2 c, b= 2 c,3 3113 n所以 a2= 2 c2= 4, b

15、b+c= 2 c之 c+c= 4,所以 a2=b b+c。 對(duì)于任意的倍角 ABC, /A=2/B,關(guān)系式a2=bb+c仍然成立。 如圖2,延長(zhǎng)BA至D,使AD=AC=b，連CD。 那么/ CAB=2 ZD , ./ B=Z D, BC=CD=a ,AD _ CD b _ a I- 由adcscdb CD 30，即口 i + c o所以 a2=bb+c。由以上的證明，可以得到關(guān)于倍角三角形的一個(gè)結(jié)論：一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于另一個(gè)角的兩倍，2倍角所對(duì)邊的平方等于一倍角所對(duì)邊乘該邊與第三邊的和。例2中另外兩種證法同樣可證得a2=bb+c。例2（2021年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）在4ABC中，最大角/

16、A是最小角/ C的2倍，且AB=7 , AC=8。那么 BC=A7KB10CD7石分析：此題由例1中的結(jié)論，那么BC2=77+8=105,所以 BC=JW5以下還可以提供幾種解法供參考。解法一：分割法。如圖1,作/ CAB的平分線 AD交BC于D。2 B x + y ABCA DBA，y=工=157x+y= VW5。y - 105,解得15評(píng)析：解法一的思路是常規(guī)思路，平分倍角構(gòu)造相似三角形，通過相似比得到方程組 求出線段長(zhǎng)，進(jìn)而求出 BC的長(zhǎng)。但這種方法中，二元二次方程組的計(jì)算較為復(fù)雜。解法二：構(gòu)造法。如圖2,延長(zhǎng) CA至點(diǎn)D,使AD=AB 。那么/ D= Z ABD= 2 / CAB= ZC, CBDA DAB ,BD CDAB = BD ,BD2=AB - C