不定積分的概念與性質(zhì)2

1、例定義：一、原函數(shù)與不定積分1原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1) 原函數(shù)是否唯一？例（ 為任意常數(shù)）(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？2關(guān)于原函數(shù)之間的關(guān)系，我們有如下定理證 設(shè)G(x) 是f(x)的任意一個(gè)原函數(shù)，即對(duì)任一xI，有（ 為任意常數(shù)）定理5.1.2 若F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則在區(qū)間I上f(x)的所有原函數(shù)都可以表示成形如F(x)+C的函數(shù)，其中C為任意常數(shù).即3這個(gè)定理告訴我們：1 若f(x)在I上有原函數(shù)F(x) ，則f(x)有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)F(x)+C,且f(x)的所有原函數(shù)都在F(x)+C之中，也就是說(shuō)， f(x)的全體原函數(shù)所

2、組成的集合就是函數(shù)族2 要求f(x)的所有原函數(shù)，只要求出它的一個(gè)原函數(shù)F(x)就行了，因?yàn)槠渌瘮?shù)與F(x)只相差一個(gè)常數(shù)。因此，若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C就是所有原函數(shù)的一般表達(dá)式，我們把叫做f(x)的不定積分,即以下定義4任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)定義5.1.2：函數(shù)f(x)在區(qū)間I上所有原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為f(x)在I上的不定積分，記做 ,即被積表達(dá)式積分變量注意:求導(dǎo)或微分運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)函數(shù),不定積分的運(yùn)算的結(jié)果是一族函數(shù)而不是一個(gè)函數(shù)，更不是一個(gè)數(shù)值.5例1 求解解例2 求6因此，不定積分在幾何上表示f(x)的積分曲線族.在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處所有曲線的切線彼此

3、平行.不定積分的幾何意義7例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為8實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、 基本積分表9基本積分表是常數(shù));101112結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.三、 不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義，得下面有關(guān)性質(zhì)13證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）14例1 求積分解根據(jù)積分公式（2）求不定積分的方法1：直接法積分法15 應(yīng)用直接積分法,有時(shí)對(duì)被積函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?6例4 求積分解17例5 求積分解18例6 求積分解19例8 求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，代數(shù)運(yùn)算（將假分式化為多項(xiàng)式與真分式之和，將真分式拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單真分式之和）或三角恒等變換，才能使用基本積分表.20解所求曲線方程為21基本積分表(1)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、 小結(jié)22思考題符號(hào)函數(shù)在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？23思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假