2022年上海市高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié) 1. 對于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 確定性、互異性、無序性” ；如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y ylgx,A、B、C中元素各表示什么？2. 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí),不要遺忘集合本身和空集 留意借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題；的特別情形；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集； 3. 如：集合A2 x x2 x30,Bx ax12n；如BA,就實(shí)數(shù) 的值構(gòu)成的集合為（答：1, ,01）3留意以下性質(zhì)：（ ）集合a 1,a2, ,an的全部子集的個(gè)數(shù)是（ ）如ABABA,ABB；（3）德摩根定律： 4. C UABC UAC

2、UB,CUABC UAC UB,求實(shí)數(shù)a你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）如：已知關(guān)于x的不等式ax50 的解集為M,如3M且5M2 xa的取值范疇；（3M,a350a1,59,25）2 3a5M,a55032 5a5. 可以判定真假的語句叫做命題,規(guī)律連接詞有“ 或”,“ 且” 和“ 非”.如pq 為真,當(dāng)且僅當(dāng)p、 均為真如pq 為真,當(dāng)且僅當(dāng)p、 至少有一個(gè)為真如p 為真,當(dāng)且僅當(dāng)p 為假 6. 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題；）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假； 7. 對映射的概念明白嗎？映射f ：AB,是否留意到A 中元素

3、的任意性和 B 中與之對應(yīng)元素的唯獨(dú)性,哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對一,多對一,答應(yīng)B 中有元素?zé)o原象；） 8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法就、值域） 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？Fxf x fx的定例：函數(shù)yx4x2的定義域是 10. lgx3（答：0,22,33,4）如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？如：函數(shù)f x 的定義域是a,b,ba0,就函數(shù)義域是 _；（答：a,a） 11. 求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí),注明函數(shù)的定義 域了嗎？ 12. 如：fx1exx,求f x .令tx1,就t0 xt21 f t et21t21f x ex21x21

4、x0反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應(yīng)函數(shù)）求反函數(shù)的步驟把握了嗎？（反解 x；互換 x、y；注明定義域） 13. 如：求函數(shù)f x 1xxx0的反函數(shù)2x0（答：f1 x1xxx10）反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx 對稱；儲存了原先函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性； 14. 設(shè)yfx的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）如何判定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？（yf u ,u ,就yff 為增函數(shù),否就f 為減函數(shù)；）（外層）（內(nèi)層） 當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)如：求ylog 1x22x

5、的單調(diào)區(qū)間2（設(shè)uux22x,由u20 就0 x2且log 1,x1u1,如圖：2u O 1 2 x 當(dāng)x0,1 時(shí),u,又log1u,y2當(dāng)x 1,2時(shí),u,又log1u,y2 ） 15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性？在區(qū)間 a,b 內(nèi),如總有 f x 0 就 f x 為增函數(shù)；（在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于零,不影響函數(shù)的單調(diào)性）,反之也對,如 f x 0 呢？3如：已知 a 0,函數(shù) f x x ax 在 1,上是單調(diào)增函數(shù),就 a 的最大值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f 3 x 2 a 3 x ax a03 3就 x a 或 x a3 3由已知 f x 在 1, 上為

6、增函數(shù),就 a1,即 a 33a 的最大值為 3） 16. 函數(shù) fx 具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（fx 定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）如fxf x 總成立f x 為奇函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱如函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱fxf x 總成立f x 為偶函數(shù)留意如下結(jié)論：（1）在公共定義域內(nèi)： 兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)；（ ）如fx是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn),就f00；42x1,如：如f x a2xa2為奇函數(shù),就實(shí)數(shù)a2x11 時(shí),f x （f x 為奇函數(shù),xR,又0R,f 0即a20a20,a1）021又如：f x 為定義在1,1 上的奇

7、函數(shù),當(dāng)x0,x求f x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 為奇函數(shù),f x 42x112xx4x2xx1,0又f 0,f x 44x11x01）xx0,f x ,就f x 為周期2x 17. 你熟識周期函數(shù)的定義嗎？（如存在實(shí)數(shù)T（T0）,在定義域內(nèi)總有f xT函數(shù), T 是一個(gè)周期；）如：如f xaf x ,就（答：f x 是周期函數(shù),T 2 a 為 f x 的一個(gè)周期）又如：如 f x 圖象有兩條對稱軸 x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x 就 f x 是周期函數(shù),2 a b 為一個(gè)周期如： 18. 你把握常用的圖象變換了

8、嗎？f x 與fx的圖象關(guān)于y軸 對稱a a f x 與f x 的圖象關(guān)于x軸 對稱f x 與fx的圖象關(guān)于 原點(diǎn) 對稱f x 與f1 的圖象關(guān)于 直線yx對稱f x 與f2ax的圖象關(guān)于直線xa對稱f x 與f 2 ax的圖象關(guān)于 點(diǎn) a,0 對稱將yf x 圖象左移a a0 個(gè)單位yf x右移yf xa a0 個(gè)單位上移b b0 個(gè)單位yf xa b下移b b0 個(gè)單位yf xa b留意如下“ 翻折” 變換：f x f x f x f | |如： f x log 2x1ylog2x1的圖象作出ylog2x1及y y=log 2x O 1 x 19. 你嫻熟把握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？k0

9、 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函數(shù)：ykxkb k00ybxkak0是中心O a,b （ ）反比例函數(shù)：yk推廣為x的雙曲線；（ ）二次函數(shù)y2 axbxc a0a xb24acb2圖象為拋物線2 a4 a頂點(diǎn)坐標(biāo)為b,4 acab2,對稱軸xb2 a42 a開口方向：a0,向上,函數(shù)ymin4acb2b24 aa0,向下,ymax4 aca4應(yīng)用：“ 三個(gè)二次” （二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程ax2bxc0,0時(shí),兩根x1、x2為二次函數(shù)yax2bxc 的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),也是二次不等式ax2bxc00解集的端點(diǎn)值；求閉區(qū)間 m,n上的最值；求區(qū)間定（動(dòng)）

10、,對稱軸動(dòng)（定）的最值問題；一元二次方程根的分布問題；0如：二次方程ax2bxc0的兩根都大于kbk2af k 0y a0 O k x 1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0（ ）指數(shù)函數(shù)：yaxa0,a1（ ）對數(shù)函數(shù)ylogax a0,a1由圖象記性質(zhì)！0a1 （ ）“ 對勾函數(shù)”yxk x k0利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)分是什么？y k 20. O kx 你在基本運(yùn)算上常顯現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？ 21. 指數(shù)運(yùn)算：a01a0 ,ap1a0 0,Nb0p aamnama0 ,amn1 a0 nnNMm a對數(shù)運(yùn)算：logaMNlogaMlogalogaMlogaMlogaN,

11、loganM1logaMNn對數(shù)恒等式：alogaxxmbnnloga對數(shù)換底公式：logablogcblogalogcam如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）如：（1）x R,f x 滿意 f x y f x f y ,證明 f x 為奇函數(shù)；（先令 x y 0 f 0 再令 y x, ）（ ）x R,f x 滿意 f xy f x f y ,證明 f x 是偶函數(shù)；（先令 x y t f t t f tt f t f t f t f t f t f t ）（ ）證明單調(diào)性：f x 2 f x 2 x 1 x 2 22. 把握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？（二次函數(shù)法（配方法）,反函數(shù)法,

12、換元法,均值定理法,判別式法,利用函數(shù)單調(diào)性法,導(dǎo)數(shù)法等；）如求以下函數(shù)的最值： 23. （ ）y2x3134xR的弧長公（ ）y2x4x3（ ）x3,y2x2x3（ ）yx49x2設(shè)x3cos,0,（ ）y4 x9,x 0,1 x你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為 ,半徑為式和扇形面積公式嗎？（lR,S 扇1lR1R2）22R 1 弧度O R 24. 熟記三角函數(shù)的定義,單位圓中三角函數(shù)線的定義sinMP,cosOM,tanATy B S T P 如：如80,就sin,cos,O M A x tan的大小次序是又如：求函數(shù)y12cos2x的定義域和值域；（12cos2x）12sinx0sin

13、 x2,如圖：4kZ,0y1222 k5x2 k4 25. 你能快速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出 單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、對稱軸嗎？sinx1,cosxy1tgxy x 2O 20,kZ對稱點(diǎn)為k2,ysin 的增區(qū)間為2k2,2k2kZAcosx減區(qū)間為2k2,2k3kZ2圖象的對稱點(diǎn)為k,0,對稱軸為xk2kZycos 的增區(qū)間為2k,2kkZ減區(qū)間為2k,2k2kZ圖象的對稱點(diǎn)為k2,0,對稱軸為xkkZytan 的增區(qū)間為k2,k2kZ26. 正弦型函數(shù)y = Asinx +的圖象和性質(zhì)要熟記；或y（ ）振幅|A|,周期T2,求出 與 ,依點(diǎn)| |如f x0A,就xx0為對

14、稱軸；如f x00,就x0,0為對稱點(diǎn),反之也對；（ ）五點(diǎn)作圖：令x依次為0,2, ,3,22（x,y）作圖象；（ ）依據(jù)圖象求解析式；（求A、值）x 10如圖列出x22 27. 解條件組求、值正切型函數(shù)yAtanx,T| |在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要留意兩個(gè)方面先求出某一個(gè)三角函數(shù)值,再判定角的范疇； 28. 如：cos x62,x,3,求 值；22（x3,7x65,x65,x13）263412在解含有正、余弦函數(shù)的問題時(shí),你留意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？ 29. 如：函數(shù)ysinxsin| |的值域是0,y2,2）（x0 時(shí),y2sinx2,2,x0時(shí),y嫻熟把握三角函數(shù)圖象變換了嗎？（

15、平移變換、伸縮變換）平移公式：（ ）點(diǎn) （ , ）2ah,kP （x,y）,就xxhyk0平移至yyk（ ）曲線f x,y 0 沿向量ah,k平移后的方程為f xh,如：函數(shù)y2sinx41的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)sinx的圖象？（y 2 sin 2 x 1 橫坐標(biāo)伸長到原先的 2 倍 y 2 sin 2 1 x 14 2 4左平移 個(gè)單位2 sin x 1 4 y 2 sin x 1 上平移 1 個(gè)單位y 2 sin x4縱坐標(biāo)縮短到原先的 1 倍2 y sin x） 30. 嫻熟把握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？如：1 sin 2cos 2sec 2tan 2tancot coss

16、ec tan4sin cos 0 稱為 的代換；2“k” 化為 的三角函數(shù)“ 奇變,偶不變,符號看象限” ,2“ 奇” 、“ 偶” 指 k 取奇、偶數(shù)；如： cos 9 tan 7 sin 214 6又如：函數(shù) y sin tan,就 的值為cos cot A. 正值或負(fù)值 B. 負(fù)值 C. 非負(fù)值 D. 正值（ycos sincos sincos sincos 22 cossin 11 0,0）sin 31. 嫻熟把握兩角和、差、倍、降冪公式 及其逆向應(yīng)用了嗎？懂得公式之間的聯(lián)系：sinsincoscossin令sin22sincoscoscoscossinsin令tancos212 cos

17、sin2tantantan,22 cos112sin21tantancos22 costan22tan211tan2sin2cos 22asinbcosa2b2sinbasincos2sin4sin3cos2sin3應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡；（化簡要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù) 種類最少,分母中不含三角函數(shù),能求值,盡可能求值；）詳細(xì)方法：（ ）角的變換：如,222 （2）名的變換：化弦或化切（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式,留意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算； 32. 如：已知sincos1,tan2,求tan2的值；1cos 23（由已知得：sincoscos1,tan12sin22si

18、n2又 tan2 3tan2tan1tantan12111）3 22tantan832正、余弦定理的各種表達(dá)形式你仍記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化,而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bccosAcos Ab2c2a22bc（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角；） 33. 正弦定理：aAbBcC2Ra2RsinAb2RsinBsinsinsinc2RsinCS1absinC2ABC,ABCsinABsinC,sinA2BcosC2如ABC中,22 sinA2Bcos 2 C1（ ）求角C；（ ）如a2b2c2,求cos2Acos2B的值；2（1）由已知式得：1cosAB22 cosC1

19、1又ABC,22 cosCcosC10cos C1或cos C1（舍）2又0C,C3（ ）由正弦定理及2 a2b21c2得：22sin2A22 sinB3sinCsin2341cos 2 A1cos 2B334cos 2 Acos 2 B）4用反三角函數(shù)表示角時(shí)要留意角的范疇；反正弦：arcsin x2,2,x1,1 34. 反余弦：arccosx0,x1,1a 或xa反正切：arctan x2,2,xR不等式的性質(zhì)有哪些？（ ）ab,c0acbcc0acbc（ ）ab,cdacbd（ ）ab0,cd0acbd（ ）ab011,ab011abab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a

20、0axa,| |ax如：如110,就以下結(jié)論不正確選項(xiàng)（）abA a2b2B abb2C a . | | | | |ab |D a bb2a答案： C 35. 利用均值不等式：abab2求最值時(shí),你是否注a2b22 ab a,bR；ab2ab；2意到“a,bR” 且“ 等號成立” 時(shí)的條件,積ab或和ab其中之一為定值？（一正、二定、三相等）留意如下結(jié)論：a2b2aa2bab2 aba,bR2ab當(dāng)且僅當(dāng)b 時(shí)等號成立；a2b2Rc2abbcca a,b 36. 當(dāng)且僅當(dāng)abc 時(shí)取等號；243）ab0,m0,n0,就bbm1anaaambnb如：如x0,23 x4的最大值為x（設(shè) y23 x

21、422 1224 3x當(dāng)且僅當(dāng)3 x4,又x0,x2 3時(shí),y maxx3又如：x2y1,就2x4y的最小值為）（2x22y2 2x2y1 2 2,最小值為2 2不等式證明的基本方法都把握了嗎？（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）并留意簡潔放縮法的應(yīng)用；37如：證明111121,穿軸法解得結(jié)2 22 32 n（111 11112213 n11n2232n211111 n111223n212）n.解分式不等式f x a a0的一般步驟是什么？g x （移項(xiàng)通分, 分子分母因式分解,x 的系數(shù)變?yōu)楣唬?38. 用“ 穿軸法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切” ,從最大根的 右上方開頭 39. 4

22、0. 如： x1x12x230解含有參數(shù)的不等式要留意對字母參數(shù)的爭論如：對數(shù)或指數(shù)的底分a1 或0a1 爭論對含有兩個(gè)肯定值的不等式如何去解？（找零點(diǎn),分段爭論,去掉肯定值符號,最終取各段的并集；）41.例如：解不等式|x3 |x11（解集為x x|1）2會(huì)用不等式| | | | |ab| | | | |證明較簡潔的不等問題如：設(shè)f x x2x13,實(shí)數(shù)a 滿意|xa |1求證： f x f a 2| |1 證明： | f a | |x2x13 a2a13 |xa xa1 | |xa |1 |xa xa1 | |xa1 | | | |1又| | | | |xa |1,| | | |1 f x

23、 f a 2 | |22| |1（按不等號方向放縮） 42. 不等式恒成立問題,常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題,或“ ” 問題）如：af x 恒成立af x 的最小值af x 恒成立af x 的最大值 43. af x 能成立af x 的最小值例如：對于一切實(shí)數(shù)x,如x3x2a 恒成立,就a 的取值范疇是（設(shè)ux3x2,它表示數(shù)軸上到兩定點(diǎn)2和 距離之和umin325,5a,即a5或者：x3x2x3x25,a5）等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：an1and d為常數(shù),ana1n1d等差中項(xiàng)：x,A, 成等差數(shù)列2Axy前 項(xiàng)和Sna1annna1n n1d22性質(zhì)：a n是等差數(shù)列（ ）如

24、mnpq,就a manapa q；（ ）數(shù)列a2n1,a2n,kanb仍為等差數(shù)列；Sn,S2nSn,S 3nS 2n 仍為等差數(shù)列；（ ）如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為ad, ,ad；（ ）如an,bn是等差數(shù)列Sn,Tn為前n項(xiàng)和,就amS2m1；mm1bT 2（ ）an為等差數(shù)列Snan2bn（ , 為常數(shù),是關(guān)于 a bn的常數(shù)項(xiàng)為0 的二次函數(shù)）Sn的最值可求二次函數(shù)Snan2bn的最值；或者求出an中的正、負(fù)分界項(xiàng),即：當(dāng)a 10,d0,解不等式組a na n10可得 0Sn達(dá)到最大值時(shí)的n 值；當(dāng)a 10,d0,由an10可得 0Sn達(dá)到最小值時(shí)的n 值；an如：等差數(shù)列an,Sn1

25、8,anan1an23,S 31,就n（由anan1an233 an13,an11又S 3a 12a333 a21,a213Sna1anna2an1n11n183222xyn27） 44. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義：ann1q（ 為常數(shù),qq0）,ana qn1a等比中項(xiàng)：x、 、 成等比數(shù)列G2xy,或Gna 1q1 前 項(xiàng)和：S na 11qnq1 （要留意 ）1q性質(zhì)：a n是等比數(shù)列（ ）如mnpq,就amanapaq（ ）Sn,S2nSn,S3 nS2n 仍為等比數(shù)列45.由Sn求an時(shí)應(yīng)留意什么？（n1 時(shí),a1S 1,n2時(shí),anSnS n1） 46. 你熟識求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用

26、方法嗎？例如：（ 1）求差（商）法如：a n滿意1a11a 2 1a n2n15512222n5,14解： n1 時(shí),1a121a 12n12時(shí),1a 1 12 a21 得：n 22 1an12 n222n12an2 an2n11n1 a n142nn2 練習(xí)數(shù)列a n滿意S nS n15an1,a 14,求an3（留意到an1Sn1Sn代入得：Sn14Sn又S 14,Sn是等比數(shù)列,Sn4nn2時(shí),anSnSn1 34n1（2）疊乘法例如：數(shù)列a n中,a 113,an1nn1,求anan1an解：a a2a3 an12 nn1,1a2ana 123n又a 13,a n3n（3）等差型遞推公

27、式由anan1f n ,a1a0,求an,用迭加法n2 時(shí),a 2a 1f a 3a2f 兩邊相加,得：ana anan1f n a1f f f n na0f f f n 練習(xí)數(shù)列an,a 111,an3n1an1n2,求an（an13n）2（4）等比型遞推公式ancan 1d c、 為常數(shù),c0,c1,d0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設(shè)anxc an 1xancan 1c1x1, 為公比的等比數(shù)列 c令 c1 xd,xcd1ancd1是首項(xiàng)為a1cdancd1a1cd1cn1 ana1cd1cn1cd1練習(xí)數(shù)列an滿意a19,3 an1an4,求an（an84n11）3（5）倒數(shù)法例如：a11,an1

28、2an2,求an1an由已知得：a11ann211n2 a2ana1111nan21,公差為1為等差數(shù)列,1ana 1211n111n1an22a nn21 47. 你熟識求數(shù)列前n 項(xiàng)和的常用方法嗎？例如： （1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和,使之顯現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)；如：a n是公差為d 的等差數(shù)列,求n11d01a11k1a a k解： 由ak1k1ak1d111aa kda kak1kn111kn11111a a kda ka k11 111da1a 2a 2a 3a nn111da 1an1練習(xí)求和：11121S n3 11231 n12（a n ,2n1）（2）錯(cuò)位相減法

29、：如an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,求數(shù)列1a b nn（差比數(shù)列）前n項(xiàng)和,可由SnqSn求Sn,其中q為bn的公比；如：Sn12 x3x24x3 nxn1xSnx2x23 x34x4 n11xn1nxn212：1x Sn1xx2 xnnxnx1 時(shí),S n1xn2nxn1x1x nn n1x1 時(shí),Sn1232（3）倒序相加法： 把數(shù)列的各項(xiàng)次序倒寫,再與原先次序的數(shù)列 相加；Snna11a2 an11an相加a 1an Snanan1 a2a 12Saana2an 練習(xí) 48. 已知f x 1x22,就f f f1xf 1f1ff f1x23412122f111（由 f x f11x22

30、1x12xxxx2x1f 原式f f f1f 23411113 1 2）2你知道儲蓄、貸款問題嗎？ 零存整取儲蓄（單利）本利和運(yùn)算模型：如每期存入本金rp 元,每期利率為r ,n 期后,本利和為：S np1rp12 p1nrp nn n1r 等差問題2 如按復(fù)利,如貸款問題按揭貸款的每期仍款運(yùn)算模型（按 揭貸款分期等額歸仍本息的借款種類）如貸款（向銀行借款）p 元,采納分期等額仍款方式,從借款日算起,一期（如一年）后為第一次仍款日,如此下去,第 n 次仍清；假如每期利率為 r （按復(fù)利）,那么每期應(yīng)仍 x 元,滿意p 1 r n x 1 r n 1x 1 r n 2 x 1 r x p 49.

31、 x11rnx1rrn111r xpr1rn1rn1貸款數(shù), r 利率, n仍款期數(shù) 解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加,分步相乘,有序排列,無序組合；（ ）分類計(jì)數(shù)原理：Nm1m2 m n（m i為各類方法中的方法數(shù)） m n分步計(jì)數(shù)原理：Nm1m2（mi為各步驟中的方法數(shù)）（2）排列：從 n 個(gè)不同元素中,任取m（mn）個(gè)元素,依據(jù)一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列,全部排列的個(gè)數(shù)記為A n m .m1nn.mnAmn n1n2 nnm規(guī)定： 0.1（3）組合： 從 n 個(gè)不同元素中任取m（mn）個(gè)元素并組成一組,叫做從 n 個(gè)不 同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合

32、,全部組合個(gè)數(shù)記為Cn m .CmAmn n1 nm1n.nnAmm .m nm.m規(guī)定： C n1（ ）組合數(shù)性質(zhì)： 50. CmCnm,CmCm1Cm1,C0C1 Cn2nnnnnnnnn解排列與組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采納隔板法,數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果；xi如：學(xué)號為1,2,3,4 的四名同學(xué)的考試成果x4,89,90,91,92,93,i1, , ,4且滿意x1x2x3就這四位同學(xué)考試成果的全部可能情形是（） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成兩類：（ ）中間兩個(gè)

33、分?jǐn)?shù)不相等,有C 55（種）（2）中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等x1x2x3x490,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來,分別有3,相同兩數(shù)分別取4,3 種,有 10 種；共有 51015（種）情形 51. 二項(xiàng)式定理nrrC a rnnrbrC b nnnab nC a 0nnC a 1nn1bC a 2nn2b2二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式：Tr1C a rnbr0, 1nC n r 為二項(xiàng)式系數(shù)（區(qū)分于該項(xiàng)的系數(shù)）性質(zhì)：（ ）對稱性：CrCnrr0, , , ,nnn（ ）系數(shù)和：C0C1 nCn2n2n1nnC1C3C5C0 nC2 nC4nnnn（3）最值： n 為偶數(shù)時(shí), n1 為奇數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系

34、數(shù)最大且為第nn1 項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)為 C n 2； 為奇數(shù)時(shí), n 1 為偶數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式2n 1 n 1系數(shù)最大即第 n 1 項(xiàng)及第 n 11 項(xiàng),其二項(xiàng)式系數(shù)為 C n 2 C n 22 211如：在二項(xiàng)式 x 1 的綻開式中,系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)為（用數(shù)字表示）（n11共有 12 項(xiàng),中間兩項(xiàng)系數(shù)的肯定值最大,且為第 12 6 或第 項(xiàng)2由 C x 11 r 11 r 1 r,取 r 5 即第 6 項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值為最?。篊 11 6 C 11 5426又如：1 2 x 2022a 0 a x a x 2 a 2022 x 2022x R,就a 0 a 1 a 0 a 2 a 0 a 3

35、a 0 a 2022（用數(shù)字作答）（令 x 0,得：a 0 1令 x 1,得：a 0 a 2 a 2022 1原式 2022 a 0 a 0 a 1 a 2022 2022 1 1 2022） 52. 你對隨機(jī)大事之間的關(guān)系熟識嗎？（ ）必定大事,P 1,不行能大事,P 0（ ）包含關(guān)系：A B,“A 發(fā)生必導(dǎo)致 B 發(fā)生” 稱 B 包含 A；（ ）大事的和（并）：AB或AA A與BB A與BB“至少有一個(gè)發(fā)生” 叫做的和（并）；（ ）大事的積（交）：AB或AB“A與B同時(shí)發(fā)生” 叫做A與B的積；（5）互斥大事（互不相容大事）：“A、B 互斥；AB（6）對立大事（互逆大事）：A 與 B 不能同

36、時(shí)發(fā)生” 叫做“A不發(fā)生” 叫做A發(fā)生的對立（逆）大事,AAA,AA（7）獨(dú)立大事： A 發(fā)生與否對 個(gè)大事叫做相互獨(dú)立大事；B 發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩 53. A與B獨(dú)立,A與B,A與B,A與B也相互獨(dú)立；對某一大事概率的求法：分清所求的是： （1）等可能大事的概率 （常采納排列組合的方法,即P AA包含的等可能結(jié)果mp,那么在 n 次獨(dú)立重復(fù)一次試驗(yàn)的等可能結(jié)果的總數(shù)n（ ）如A、B互斥,就P ABP AP B（ ）如A、 相互獨(dú)立,就P ABP AP B（ ）P A1P A（5）假如在一次試驗(yàn)中A 發(fā)生的概率是試驗(yàn)中 A 恰好發(fā)生k次的概率： P n k C pk1pnk如：設(shè) 1

37、0 件產(chǎn)品中有4 件次品, 6 件正品,求以下大事的概率；（1）從中任取2 件都是次品；5 件恰有 2 件次品；P 1C2 422 C 1015（2）從中任取P 22 C C31065 C 1021（3）從中有放回地任取3 件至少有 2 件次品；解析： 有放回地抽取3 次（每次抽3 1 件）, n10而至少有 2 件次品為“ 恰有mC 32 4 61434344P 3C242631031252 次品” 和“ 三件都是次品”（4）從中依次取 5 件恰有 2 件次品；解析： 一件一件抽?。ㄓ写涡颍﹏A5,mC A A 24 5 233）是可重復(fù)排列問題,（4）106P 42 2C A A3106A

38、5 1021分清（ 1）、（ 2）是組合問題,（是無重復(fù)排列問題； 54. 抽樣方法主要有：簡潔隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）經(jīng)常 用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí),它的特點(diǎn)是從總體中逐個(gè)抽??；系統(tǒng)抽樣,常 用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí),它的主要特點(diǎn)是均衡成如干部分,每部分只取 一個(gè)；分層抽樣,主要特點(diǎn)是分層按比例抽樣,主要用于總體中有明 顯差異,它們的共同特點(diǎn)是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,表達(dá)了抽樣 的客觀性和公平性； 55. 對總體分布的估量用樣本的頻率作為總體的概率,用樣本 的期望（平均值）和方差去估量總體的期望和方差；要熟識樣本頻率直方圖的作法：（ ）算數(shù)據(jù)極差xmaxxmin；（2）打算組距和組數(shù)；（3）打算

39、分點(diǎn)；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率直方圖；其中,頻率小長方形的面積組距頻率組距樣本平均值：x1x1x2 x nn樣本方差：S 21x1x2x2x2 xnx2n如：從 10 名女生與 5 名男生中選 分層隨機(jī)抽樣,就組成此參賽隊(duì)的概率為 56. （4 C C2）56 C 15你對向量的有關(guān)概念清晰嗎？6 名同學(xué)參與競賽, 假如按性別 _；（1）向量既有大小又有方向的量；（ ）向量的模有向線段的長度,| |a（ ）單位向量|a0|1,a0a| |（ ）零向量0,| |0ab（ ）相等的向量長度相等方向相同在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不轉(zhuǎn)變；（6）并線向量（平行向量）方向相同或相

40、反的向量；規(guī)定零向量與任意向量平行；ba b0 存在唯獨(dú)實(shí)數(shù),使ba（7）向量的加、減法如圖：OAOBOCOAOBBA（8）平面對量基本定理（向量的分解定理）e1,e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,a為該平面任一向量,就存在唯獨(dú)實(shí)數(shù)對1、2,使得a1e 12e 2,e 1、e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底；（9）向量的坐標(biāo)表示i,j是一對相互垂直的單位向量,就有且只有一對實(shí)數(shù)x, ,使得ax iy j,稱x,y為向量a的坐標(biāo),記作：ax,y,即為向量的坐標(biāo)表示； 57. 設(shè)ax1,y1,bx2,y2y1,x2y2就abx1,y1y1,y2x1ax1,y1x1,y1B兩點(diǎn)間距離公式如A x1

41、,y 1,B x2,y2就ABx2x1,y2y1|AB|x2x12y2y12 ,A、平面對量的數(shù)量積a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）；（ ）ab| | |cos叫做向量為向量a與b的夾角,0,B O bD aA 數(shù)量積的幾何意義：ab等于| |與b在a的方向上的射影| |cos的乘積；（2）數(shù)量積的運(yùn)算法就abbacab cacbcabx1,y1x2,y2x x 12y y 12留意：數(shù)量積不滿意結(jié)合律abcab（ ）重要性質(zhì)：設(shè)ax1,y1,bx2,y2abab0 x1x2y1y20abab| | |或ab| | |ab（b0, 惟一確定）x y 12x y 210a2| |2x2y2,|ab| |

42、 | |11cosabx2x x2y y2y2| | |y2 1x2 212練習(xí)|ab（ ）已知正方形ABCD,邊長為 ,ABa,BCb,ACc,就c|答案： 2 2（ ）如向量ax,1,b4,x,當(dāng)x時(shí)a與b共線且方向相同答案： 2 o（ ）已知 a、b 均為單位向量,它們的夾角為 60,那么 | a 3 b |答案：13 58. 線段的定比分點(diǎn)設(shè) P x 1 1,y 1,P x 2 2,y 2,分點(diǎn) P x,y,設(shè) P 1、P 2 是直線 l 上兩點(diǎn),P 點(diǎn)在l 上且不同于 P 1、P 2,如存在一實(shí)數(shù),使 P P PP 2,就 叫做 P 分有向線段P P 2 所成的比（0, 在線段 P

43、P 2 內(nèi),0, 在 P P 2 外）,且x 1 x 2 x 1 x 2x x1, 為 P P P 2 中點(diǎn)時(shí),2y 1 y 2 y 1 y 2y y1 2如：ABC,A x 1,y 1,B x 2,y 2,C x 3,y 3就 ABC 重心 G 的坐標(biāo)是 x 1 x 2 x 3,y 1 y 2 y 33 3 . 你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？ 59. 立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清晰嗎？平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：判定線 線線 面面 面性質(zhì)線線線面面面線 線線面面 面線面平行的判定：ab,b面,aa 面a b 線面平行的性質(zhì)： 面,面 ,bab三垂線定理（

44、及逆定理）：PA面,AO為PO 在內(nèi)射影,a面,就aOAaPO； POaAOP O a 線面垂直：a , , ,c,bcOaa O b c 面面垂直：a面,a面l, laa,a面面,l 60. a面, 面aba b 面 ,面a三類角的定義及求法（1）異面直線所成的角 ,（2）直線與平面所成的角 ,0o時(shí),b或b0 900 90（ ）二面角：二面角l的平面角,0o180oB,作 BO棱于 O,連（三垂線定理法：A 作或證AB 于AO,就 AO棱 l , AOB為所求；）三類角的求法：找出或作出有關(guān)的角；證明其符合定義,并指出所求作的角；運(yùn)算大小（解直角三角形,或用余弦定理）；練習(xí)（1）如圖, O

45、A 為 的斜線OB為其在 內(nèi)射影,OC為 內(nèi)過O點(diǎn)任始終線；證明：coscoscosA O CB D （ 為線面成角,AOC =,BOC =）（2）如圖,正四棱柱 B1BCC 1所成的為 30 ；ABCDA1B1C1D1中對角線 BD18,BD1 與側(cè)面求 BD1 和底面 ABCD所成的角；求異面直線 BD1 和 AD所成的角；求二面角 C1BD1B1的大?。籇1 C1A 1 B1 H G （arcsin3；60o；A D B C arcsin6 3）4（3）如圖 ABCD為菱形, DAB60 ,PD面 ABCD,且 PDAD,求面 PAB與面 PCD所成的銳二面角的大小；P C F D A

46、E B （ AB DC,P 為面 PAB 與面 PCD的公共點(diǎn),作 PF AB,就 PF 為面 PCD與面 PAB的交線 ） 61. 空間有幾種距離？如何求距離？點(diǎn)與點(diǎn),點(diǎn)與線,點(diǎn)與面,線與線,線與面,面與面間距離；將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離,構(gòu)造三角形,解三角形求線段的長（如：三垂線定理法,或者用等積轉(zhuǎn)化法）；如：正方形ABCDA1B1C1D1中,棱長為a,就：（1）點(diǎn) C到面 AB1C1的距離為 _；（2）點(diǎn) B 到面 ACB1的距離為 _；（3）直線 A1D1到面 AB1C1的距離為 _；（4）面 AB1C與面 A1DC1 的距離為 _；（5）點(diǎn) B 到直線 A1C1的距離為 _；A D BC D1C1A 1 B1 62. 你是否精確懂得正棱柱、正棱錐的定義并把握它們的性質(zhì)？正棱柱底面為正多邊形的直棱柱 正棱錐底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；正棱錐的運(yùn)算集中在四個(gè)直角三角形中：Rt SOB,Rt SOE,Rt BOE和Rt SBE它們各包含哪些元素？ 63. S 正棱錐側(cè)1Ch （ 底面周長,h 為斜高）為此, 要2V錐1底面積 高3球有哪些性質(zhì)？（ ）球心和截面圓心的連線垂直于截面rR2d2（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長；找球心角！（3）如圖, 為