向量法求空間角

1、向法求空間角(本小題滿分10分)在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD為正方形四邊形ADPQCD丄平面ADPQ.是直角梯形，AD丄DP,AB=AQ=DP.求證：P0丄平面DCQ；求平面BCQ與平面ADPQ所成的稅二面角的大小.(滿分13分)如圖所示.正四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的中心側(cè)棱PA與髓ABCD所成的角的正切值碑.求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；若E是PB的中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；冋在棱AD上是否存在一點F,使EF丄側(cè)面PEC,若存在，試確定點F的位置;若不存在說明理由.(本小題只理科做.滿分14分)如圖己知AB丄平面ACD.DE/AB.aACD

2、是正三角形,AD=DE=2AB且F是CD的中點.求證:AF/平面BCE;求證:平面BCE丄平面CDE;求平面BCE與平面ACD所成稅二面角的大小.(本小題滿分12分)如圖在四棱錐P-ABCD中，PD丄底面ABCD底面ABCD為正方形,AD=PD=2,EFG分別為PC.PD.CB的中點.求證:AP平面EFG;求平面GEF和平面尸的夾角.如圖.在直三棱柱ABC-AC,中，平面ABC丄側(cè)面且4人=人3=2求證：43丄BC；若直線AC與平面A.BC所成的角為求銳二面角6A-A.C-B的大小.如圖，四邊形ABCD是正方形，E4丄平面ABCD9EA/PD.AD=PD=2EA9F.G.H分別為EB,PC的中

3、點.求證：FG平面PED；求平面FGH與平面PBC所成銳二面角的大小.CAB點B的坐標為(。0衛(wèi))則QB=(0，a,a)QC=(a,a,a).參考答案(1)詳見解析；(2)4【解析】試題分析：(1)根據(jù)題中所給圖形的特征，不難想到建立空間直角坐標，由已知，DA,DP,DC兩兩垂直，可以為原點，DA.DP、QC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.表示出圖中各點的坐標：i&AB=a9則D(0.0.0)9C(O,Ov).0(a,a,0).P(0,2d,0),則可表示出DC=(0,0,a)9DQ=(a,a,0),PQ=(ay-a,0),根據(jù)數(shù)量積為零與垂直的充要條件逬行證明，由藥苑=0,

4、DQPQ=0,故頁丄甩，萬丄甩，即可證明；首先求出兩個平面的法向量,其中由于反丄平面ADPQ,所以可取平面ADPQ的一個法向量為丘=(0,0,1)；設平面的一個法向量為心=(x,y,z),則n2QB=0,n2-QC=0,故一+心0,即-cix-ay+az=0y+7=0c取y貝收=故兀=(o丄1)轉(zhuǎn)化-x-y+z=0.9為兩個法向量的夾角.設“訕夾角汰貝心=帚=存弓.即可求出平面BC0與平面ADP0所成的稅二面角的大小.試題解析：(1)由已知，DAtDP,DC兩兩垂直，可以D為原點，DA、DP、DC所在直線分別為兀軸、y軸、乙軸建立空間直角坐標系.S.AB=at則(0,0,0),C(0,0,o)

5、,Q(a,a90)tP(0,2o,0),故DC=(0,0,f/)t頁=,d,0),范=,d,0),因為藥范=0,DQPQ=0t故況丄甩，宛丄范即DC丄PQ,D0丄PQ,又DCHDQ=D所以，P0丄平面DCQ.因為反丄平面ADPQ,所以可取平面ADPQ的一個法向量為瓦=(oo1),F+心0,即-cix-ay+az=0.設平面的一個法向量為心=則n2QB=09n2QC=09_y+Z=0,取y=z=i.貝lx=0,-x-y+z=0.故心=(011).設小與斤的夾角為0,則COS0=A=羋.MilV22所以.平面與平面ADPQ所成的銳二面角的大小為4考點：1空間向量的應用；2.二面角的計算；3.直線與

6、平面的位置關系(1)60;(2)學；(3)F是AD的4等分點，靠近A點的位置.【解析】試題分析：(1)取AD中點連接MO.PM.由正四棱錐的性質(zhì)知ZPMO為所求二面角V6P-AD-O的平面角，ZPAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角AtanZPAO=2設AB返迪打=a.貝IJAO=2a,PO=2a,MO=2,tanZPMO=3,ZPMO=60;(2)依題意連結(jié)AE,OE,則OE/PD,故ZOEA為異面直線PD與AE所成的角，由正四棱錐的性質(zhì)易11,邏證OA丄平面POE，故為直角三角形，OE=2pD=27+=4aAtaiiAO2a/ToZAEO=EO=5.(3)延長MO交EC于N,取PN中點G,

7、連EG,EG,MG,易得EC丄平面PMN.故平面PMN丄平面PEC,而PMN為正三角形.易證MG丄平面PEC,B取MA的中點F,連EF，則四邊形MFEG為平行四邊形，從而MG試題解析：(1)取AD中點M,連接MO,PM,依條件可知AD丄MO,ADPO.則/PMO為所求二面角P-AD-O的平面角(2分)VPO丄面AECD.AZPAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角.tanZPAO=2V2設AB=a,AO=2a,PO=AO-taii.ZPOA=2a.TOC o 1-5 h zPOtanZPMO=MO=忑.ZPMO=60.（4分）（2）連接AE,OEtVOE/PDf/.ZOEA為異面直線PD與AE所

8、成的角.（6分）TAO丄ED.AO丄PO.AO丄平面PBD.又OEu平面PED.AOOE.VOE=丄PD=丄yPO2+DO2=a,224/.tanZAEO=.（8分）EO5（3）延長MO交EC于N.取PN中點G.連EG.EG,MG.TEC丄MN.BCPNt:.BC丄平面PMN平面PMN丄平面PBC.(10分)又PM=PN,ZPMN=60,PMN為正三角形.MG丄PN.又平面PMNA平面PBC=PN,/.MG丄平面PBC.(12分)F是AD的4等分點，靠近A點的位置(13分)考點：立體幾何的綜合冋題(1)見解析；(2)見解析；(3)45.【解析】試題分析：(1)取CE中點P,連接FP、BP,根據(jù)

9、中位線定理可知FP|DE,且且FP冷DE.,而AB|DEt且AB=-DE.5111ABPF為平行四邊形，則AF|BP,AF(Z平面ECE.EP?平面2BCE,滿足線面平行的判定定理，從而證得結(jié)論；根據(jù)AE丄平面ACD,DE|AB,則DE丄平面ACD,又AF?平面ACD,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知DE丄AF.又AF丄CD,CDADE=Dt滿足線面垂直的判定定理.證得AF丄平面CDE.又BP|AF,則BP丄平面CDE.BPu平面ECE.根據(jù)面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；由(2),以F為坐標原點，F(xiàn)A,FD,FP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系F-xyz設AC=2.根據(jù)線面垂直求出平面EC

10、E的法向量n.而m=(0.0.1)為平面ACD的法向量，設平面ECE與平面ACD所成銳二面角為a,根據(jù)cosa=“川.可|川求出所求.tz試題解析：(1)解:取CE中點R連結(jié)FP、ERF為CD的中點，呵DE,冷皿又AB|DE,且AB=|DE.AB|FP,且AB=FP,ABPF為平行四邊形，AF|EP又VAF(Z平面BCE.BPU平面BCE,AF|平面BCE(2)VAACD為正三角H/.AF丄CD.AB丄平面ACD.DE|AB.DE丄平面ACD,又AFU平面ACD,DE丄AF又AF丄CD,CDCIDE=DAF丄平面CDE又BP|AF,ABP1平面CDE.又TEPu平面BCE,平面BCE丄平面CD

11、E法一、由(2)，以F為坐標原點，F(xiàn)AJDFP所在的直線分別為xyz軸(如圖)，建立空間直角坐標系Fxy乙設AC=2,則c(0,1,0),B(V3,0,1),E,(0,1,2).設齊=(?！盳)為平面BCE的法向量，n.CS=0,n.CE=0y-rX+y+Z=,令11=1,則心（0,-1,1）2y+2z=0顯然,7=(0.0J)為平面ACD的法向量.設面BCE與面ACD所成稅二面角為久則cosa=1_V2.|7卜|川y/22a=45即平面BCE與平面ACD所成稅二面角為45法二、延長EE、DA,設EE、DA交于一點O,連結(jié)CO.則面EBCH面DAC=CO.由AB是EDO的中位線，則DO=2AD

12、在AOCD中-/OD=2AD=2AC,ZODC=60.OC丄CD,又OC丄DE:.OC丄面ECD而CEU面ECD,/.OC丄CE、ZECD為所求二而角的平面角在RtEDC中.ED=CD.ZECD=45即平面ECE與平面ACD所成銳二面角為45.考點：與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定.證明見解析【解析】試題分析：(1)利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算其中靈活建系是解題的關鍵.(2)證明線面平行，需證線線平行，只需要證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；(3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角

13、的余弦值；(4)空間向量將空間位置關系轉(zhuǎn)化為向量運算.應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當?shù)淖鴺讼?，實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.試題解析：如圖.以D為原點，以DA.DC.DP為方向向量建立空間直角坐標系D-JQZ,則P(0,0,2),C(0,2,0),G(l,2,0),E(0,l,l),F(0,0,l),4(2,0,0).AP=(2,0,2),喬=(0-l,0),EG=(lj-l).設平面EFG的法向量為n=(x,y,込)y=0.呼0,即嚴=0,hEG=0、x+y-z=0.AP=1x(-2)+Ox0

14、+1x2=0,.n丄AP.又APcz平面EFG,:.4P平面EFG(2)v底面ABCD是正方形，AD丄DC、又.PD丄平面ABCD.AD丄PD又PDCCD=D.AD丄平面PCD.向量麗是平面PCD的一個法向量麗=(2Q0)又由(1)知平面EFG的法向量.cosvSnN.=厶=邑DA-川2近2二面角G-EF-D的平面角為45.考點：(1)證明直線與平面平行；(2)利用空間向量解決二面角問題.(I)詳見解析；(II)p【解析】試題分析：(I)取A0的中點D,連接AD,由已知條件推導出AD丄平面BCt從而AD丄BC,由線面垂直得4&丄BC.由此能證明43丄BC.(II)方法一：連接CD,由已知條件得

15、ZACD即為直線4C與平面ABC所成的角.ZAED即為二面角A-A.C-B的一個平面角.由此能求出二面角A-A.C-B的大小.解法二(向量法)：由知丄BC且丄底面4BC,所以以點B為原點，以BC、BA.所在直線分別為X憶軸建立空間直角坐標系B-xyz,設BC=a,則4(0.2,0).5(0,0,0),%,0,0).A(0,2,2),BC=(a,0,0)t兩(0,2,2),AC=(a-2,0)9亦=(0,0,2).&專得沁才翳=點血2,求出平面BC的一個法向量q=(x,y,z),設直線4C與平面A.BC所成的角為0.則1解得a=2,即AC=(2-2.0),求出平面&AC的一個法向量為心=(1丄)

16、設稅二面角A-A.C-B的大小為a,則cosa=cos=PMPh經(jīng)2=扌，且aw(0,#),即可求出稅二面角A-A.C-B的大小.試題解析：解(1)證明：如圖,取AB的中點D.連接AD9因AA=ABt則AD丄由平面ABC丄側(cè)面A.ABB,且平面A.BCfl側(cè)面A.ABB,=A.B,得4D丄平面A0C,又BCu平面A.BC,所以4D丄BC.因為三棱柱ABCAC,是直三棱柱，則人人丄底面ABC,所以4人丄BC.又AAAAD=A,從而BC丄側(cè)面A.ABB,又側(cè)面A.ABB,故43丄BC.6分解法一：連接CD,由(1)可知4D丄平面40C.則CD是4C在平面A/C內(nèi)的射影Z4CD即為直線AC與平面40

17、C所成的角，則ZACD=在等腰直角中,6AAl=AB=2t且點D是AB中點，AD=-AlB=.且ZADC=-tZACD=-226AC=2忑過點A作4E丄AC于點E,連DE,由（1）知4丄平面40C,則4D丄C.且aehad=aZAED即為二面角A-A.C-B的一個平面角且直角AA/C中：4一型竺=仝攀=跡，又A,沁二.TOC o 1-5 h zAC2館32忑/3sinZAED=AE2V62T且二面角A-A.C-B為銳二面角ZAED=,即二面角A-A.C-B的大小為彳-12分解法二（向量法）：由（1）知43丄BC且丄底面4BC,所以以點B為原點，以BC、BA.所在直線分別為兀，憶軸建立空間直角坐

18、標系B-xyz,如圖所示，且設BC=a則4(0,2,0),5(0,0,0),C(a,0,0),人(0,2,2),貳=,0,0),兩=(0,2,2),AC=(a.2,0).0=（002）設平面40C的一個法向量q=（x,y,z）由3（丄厲34丄耳得:xa=0一2*=0令曰得Z27則。丄T設直線AC與平面人眈所成的角為0,則8=2ACAC得sm-=66I卜刀=寧解得。=2,即AC=(2,-2,0)j4+52又設平面A/C的一個法向量為耳，同理可得n2=（1丄0）,設銳二面角A-A.C-B的大小為則cos6Z=cos=.J,.=-,fiae(0.-)f得a=-M膽223銳二面角A-A.C-B的大小為

19、彳.考點：1用空間向量求平面間的夾角；2.空間中直線與直線之間的位置關系.(1)證明見解析；(2)45【解析】試題分析：(1)利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算其中靈活建系是解題的關鍵.(2)證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；(3)把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值；(4)空間向量將空間位置關系轉(zhuǎn)化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體倚征，建立恰當?shù)淖鴺讼?，實施幾何問題代數(shù)化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質(zhì)定理條件要完備.試題解析：(1)證明.F,G分別為

20、PF,FE的中點，F(xiàn)GHPE.又/FG(Z平面PED,PEu平面PQ,.FG平面PED.(2)解：.E4丄平面ABCD,EA/PD,:.PD丄平面ABCD.AD,CDu平面ABCD,PD丄A,PD丄CD.四邊形ABCD是正方形，.4D丄CQ.以D為原點，分別以直線DA、DC,DP為x軸，y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設EA=l.-.AD=PD=2EA,.D(0,0,0),P(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),$2,0,1),PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2).F,G,H分別為PB,EE,PC的中點，.-.F(l丄1),G(2,l,-),H(0,1,1),GF=(-1,0,G/=(-2,0,-).（解法一）設嚴（WZ