幾何畫板的迭代功能(3講)

1、 幾何畫板新版中的迭代與帶參數(shù)的迭代應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：理解幾何畫板中的迭代(Iterate)與帶參數(shù)的迭代(IterateToDepth)功能；過程與方法：通過構(gòu)造分形圖形、構(gòu)造正多邊形；構(gòu)造ICME-7會徽、構(gòu)造動態(tài)勾股定理、構(gòu)造謝賓斯基三角形、定積分意義的動態(tài)演示、構(gòu)造正弦線等實(shí)例，充分理解【變換】菜單下的【迭代】(帶參數(shù)的迭代)功能。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)對幾何圖形的審美意識和不斷追求完美的精神，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)前沿知識的追求意識。二、教學(xué)過程：1構(gòu)造分形圖案自然界中有許多物體和現(xiàn)象常是它們自身的多次重復(fù)，局部與它的整體以某種方式相似。例如任意一棵大樹上的一棵小樹枝，它的形狀與大

2、樹本身相似，這稱為自相似性。還有如海岸線、浮云的邊界、波浪起伏的海面、流體的湍流、剛體內(nèi)的裂縫、山地輪廓等，被經(jīng)典幾何學(xué)稱為“病態(tài)”的被當(dāng)作個(gè)別特例的不規(guī)則集被普遍地稱為分形。但這些不光滑曲線或曲面有時(shí)比傳統(tǒng)幾何圖形能更好地描述許多自然現(xiàn)象。1975年，美國的曼德布羅特(B.Manedlbrot)創(chuàng)立了分形幾何學(xué)用以描述這類曲線，20世紀(jì)80年代中期分形幾何學(xué)得以迅速發(fā)展，而今已成為本世紀(jì)各個(gè)領(lǐng)域中專家學(xué)者所注目的前沿焦點(diǎn)學(xué)科之一。新版的幾何畫板中【變換】一迭代(或帶參數(shù)的迭代)可以制作一些簡單的分形圖案。下面就以幾何畫板4.04(或4.05)來輔于說明。例1制作Koch曲線(源文件)1廠畫線

3、段AB,以A為中心，縮放點(diǎn)B(固定比為3)，得到B，把它改為C，再以B為中心，縮放點(diǎn)A,得到A，把它改為D,隱藏線段AB；雙擊C點(diǎn)(標(biāo)記中心)，選擇點(diǎn)D,旋轉(zhuǎn)60，得到點(diǎn)E；(3)連接線段AC、CE、ED；【圖表】-新建參數(shù)t,把它的值該為2；依次選擇點(diǎn)A、B,t,按Shift鍵,，選擇【變換】帶參數(shù)的迭代,彈出對話框如圖1t=2.00F圖1XIsaflAnFBn0迭代趣：2-顯示d仃|結(jié)初區(qū))-|幫肪:Wir-B（6）依次選擇A、C,按Ctrl+A,增加一列（對應(yīng)點(diǎn)）依次選擇C、E,再按Ctrl+A,又增加一列（對應(yīng)點(diǎn)），依次選擇E、D,再按Ctrl+A,又增加一列（對應(yīng)點(diǎn)），依次選擇D、B

4、,選擇“顯示”中的最終迭代，如圖2所示，單擊“迭代”；-M_垢了贈儘匚）I（7）例2選擇參數(shù)t,按鍵盤上的畫一棵樹（源文件）圖2”、“+”可以得到不同迭代次數(shù)下的Koch曲線。1）畫一條線段AB；以A為旋轉(zhuǎn)中心，把點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)120得到B，再以2為縮放比縮放點(diǎn)B，得到B，把它改為C,再把點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120得到C，把它改為D,連接AC,AD,隱藏B。（2）【圖表】-新建參數(shù)t,把它的值該為2；（3）依次選擇點(diǎn)B、A,t,按Shift鍵，選擇【變換】帶參數(shù)的迭代,彈出迭代對話框，依次選擇點(diǎn)A、C,按Ctrl+A,增加一列（對應(yīng)點(diǎn)），依次選擇A、D,選擇“顯示”中的完整迭代，單擊“迭代”；隱藏點(diǎn)C、D,顯示

5、如圖3圖3前面使用的是帶參數(shù)迭代的方法來制作分形圖形,事實(shí)上,用【變換】迭代的方法也可以實(shí)現(xiàn)類似的效果。下面不妨以例2為例加以說明。（1）同例1的第一步；（2）依次選取點(diǎn)B、A,選擇【變換】迭代,顯示如圖4,選擇“顯示”中的完整迭代（對迭代次數(shù)可通過鍵盤上的“+”、“一”來調(diào)整）。依次選擇點(diǎn)A、C,按Ctrl+A,增加一列（對應(yīng)點(diǎn)），依次選擇A、D,單擊“迭代”；隱藏點(diǎn)C和點(diǎn)D；2dcA3迭代W：3n顯示CD)I皓構(gòu)T幫助血I舉程迭代|迭代原垂到竝B=AA=叵圖4選擇【圖表】f新建參數(shù)t,把它的值該為3,按Ctrl+A(全選)，按鍵盤上的+”、“一”即可顯示相應(yīng)的迭代效果。當(dāng)t=4時(shí)，在空白處

6、單擊，顯示如圖3所示。仿照例2的方法可以畫出另一棵樹,如圖5所示,圖5腳本文件如下：先決條件：1點(diǎn)2點(diǎn)厶八、3.度量結(jié)果操作步驟：1.堂制麗：作點(diǎn)氏和點(diǎn)B之間的裟段瑩制/V:以點(diǎn)日為中心點(diǎn)檢低CI.D度方向艇轉(zhuǎn)點(diǎn)此健藏卜瑩制A；由點(diǎn)陽揑50.0%以日為中心點(diǎn)縮放4雀制A:以點(diǎn)B齒中右點(diǎn)揀60.0度方向旋轉(zhuǎn)點(diǎn)A-5.総制丙：作點(diǎn)用和點(diǎn)日之間的線段i瑩制耐：作點(diǎn)A1和點(diǎn)B之間的裟段丁雀制A：作錢段麗的中點(diǎn)8.嘗制A:占點(diǎn)A按向量B-A平移盟我)-繪制A1-；由A以按50.0%UJLAj中心直鐮啟贋鍛)-D.繪制i：作直繆”和點(diǎn)A之間的線段.瑩制F：以點(diǎn)A為中性點(diǎn)按60.0度方向謹(jǐn)轉(zhuǎn)線段jB12.讓

7、迭代規(guī)貝I1按A和日到巳們?nèi)张蠛虯.A的3映射迭代石次12.翌制1:imageofABunder迭代規(guī)則1-14.益制2:imagecifABunder代規(guī)則1=1&魁制3:imageafABunder迭代規(guī)則1-1EL繪制4：imageof線段junder迭代規(guī)則11繪制5:imageafjunder代規(guī)則12構(gòu)造正多邊形例3.畫正多邊形(源文件)畫兩個(gè)點(diǎn)A,B；【圖表】f新建參數(shù)n，取值為3；360o計(jì)算，把它標(biāo)記角度，同時(shí)標(biāo)記A為中心，把B旋轉(zhuǎn)至B，計(jì)算n-1,連接nBB；選取點(diǎn)B和n=3,按住Shift鍵，選擇【變換】f帶參數(shù)的迭代,選擇“顯示”中的完整迭代，把B點(diǎn)對應(yīng)到B，具體見圖6

8、所示；隱藏點(diǎn)B，型，n-1，選擇n=3，按鍵盤上的“+”、“一”即可顯示相應(yīng)迭代n圖6圖73構(gòu)造ICME-7會徽例4.畫第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME-7)會徽的主體圖案(圖8)和演化前的圖形(圖9)圖8圖9演化前的圖形(源文件)畫點(diǎn)O和點(diǎn)A使得它們的長度等于1cm，選擇點(diǎn)A和線段OA,構(gòu)造垂線；【圖表】新建參數(shù)r=lcm,以A為圓心，r為半徑構(gòu)造圓，與直線相交與點(diǎn)A2；【圖表】-新建參數(shù)t=3，選取點(diǎn)O和點(diǎn)A1，選擇【變換】-帶參數(shù)的迭代,選擇“顯示”中的完整迭代，依次單擊點(diǎn)O和點(diǎn)A2，單擊迭代；選擇t=3,按鍵盤上的“+”、“一”即可顯示相應(yīng)迭代效果，圖8是t=6時(shí)的情況。主體圖案(源文

9、件)畫點(diǎn)O和點(diǎn)A1，使得它們的長度等于lcm，選擇點(diǎn)A1和線段OA1，構(gòu)造垂線；新建參數(shù)r=1cm，以A為圓心，r為半徑構(gòu)造圓，與直線相交與點(diǎn)A2；選取點(diǎn)O和點(diǎn)A2，構(gòu)造直線j,【圖表】-新建參數(shù)角度=4o,并把它標(biāo)記角度，標(biāo)記A2為旋轉(zhuǎn)中心，選取直線j,選擇【變換】旋轉(zhuǎn),按“標(biāo)記角度”旋轉(zhuǎn)得到直線k；在直線k上任取一點(diǎn)E為圓心，以O(shè)A2為半徑作圓，與直線k相交與F、G,隱藏直線k、j,點(diǎn)G,圓；依次選取點(diǎn)O和點(diǎn)A2和點(diǎn)A1，選擇【構(gòu)造】三角形內(nèi)部,度量OA1和OA2的長度，計(jì)算三角形oa2a1的面積S,選取“三角形內(nèi)部”和面積S,選擇【顯示】-顏色-參數(shù)，單擊確定；(構(gòu)造三角形面積和顏色的對

10、應(yīng)關(guān)系)選擇【圖表】新建參數(shù)迭代=7,依次選取點(diǎn)O和點(diǎn)A2，迭代=7,按住shift鍵，選擇【變換】-帶參數(shù)的迭代,選擇“顯示”中的完整迭代，依次單擊點(diǎn)F和點(diǎn)E,單擊迭代；隱藏表格，隱藏迭對象，如圖10所示，隱藏點(diǎn)F和點(diǎn)E,點(diǎn)O和點(diǎn)A2和點(diǎn)A1，即為圖9效果。選擇父對象雇性(QL.虛錢細(xì)線租線顫色心隱藏迭代象QP追蹤迭代象生成迭代象的動畫圖104構(gòu)造勾股定理例5.動態(tài)勾股定理(如圖11)(源文件)圖11畫線段AB,以點(diǎn)A為中心，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90o至C,以點(diǎn)B為中心，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。至D,畫線段BC，CD，DA,依次選擇點(diǎn)A，B，C，D,選擇【構(gòu)造】一四邊形內(nèi)部,度量周長，選擇【顯示】-顏色-參數(shù),單

11、擊確定；以CD為直徑畫圓，依次選取點(diǎn)C、點(diǎn)D和圓，選擇【構(gòu)造】-圓上的弧,得半圓，在半圓上構(gòu)造一點(diǎn)E,選取點(diǎn)E(不要連接線段EC、ED),選擇【編輯】操作類按鈕動畫,單擊確定，構(gòu)造點(diǎn)E在半圓上的動畫；選擇【圖表】新建參數(shù)t=3,依次選取點(diǎn)A和點(diǎn)B,t=3，按住shift鍵，選擇【變換】-帶參數(shù)的迭代,選擇“顯示”中的完整迭代，依次單擊點(diǎn)D和點(diǎn)E,按Ctrl+A,增加一列(對應(yīng)點(diǎn))，依次選擇C、E,單擊“迭代”；隱藏點(diǎn)A、B、C、D、E；隱藏迭對象;選擇t=3,可增加迭代次數(shù)；單擊按鈕【運(yùn)動點(diǎn)】可動態(tài)觀看圖形；圖11就是t=3時(shí)的一幅運(yùn)動畫面。Sierpinski三角形漩渦練習(xí)：試構(gòu)造Sierp

12、inski三角形、漩渦、玫瑰花、海螺背影、蜘蛛網(wǎng)、反雪花曲線等圖案來熟悉迭代命令。蜘蛛網(wǎng)反雪花曲線玫瑰花海螺背影【提示：構(gòu)造KOCH曲線的重要步驟新建參數(shù)n=2,畫線段AB,把點(diǎn)B縮放后得到兩個(gè)三等分點(diǎn)C,D,再把點(diǎn)D以點(diǎn)C為中心旋轉(zhuǎn)60o得到點(diǎn)E,按住shift鍵，依次選擇點(diǎn)A,B,n,進(jìn)行多映射迭代，具體選項(xiàng)如下圖所示，隱藏線段AB即可。這樣當(dāng)n=1時(shí)，會保留完整的依次迭代圖案。此法比例1方法優(yōu)越,還可建立工具,繪制出更復(fù)雜的反雪花曲線。r二2.00越代I)CtrH-A&.6S斷口刑整的錄I辺怛說百點(diǎn)的fl逼）-_迭代_-it;+減少謀代-一顯示時(shí)一左墊迭代IU：星疼送忙區(qū)根號線的另一制作

13、方法步驟：新建參數(shù)“r=1cm”，在畫板上任意畫一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，r為半徑畫圓eO，在1圓eO上任取一點(diǎn)A，連接線段OA，過點(diǎn)A作線段OA的垂線l,以點(diǎn)A為圓心，r為1半徑畫圓eO，圓eO與垂線l相交于點(diǎn)A(在線段OA上方的交點(diǎn))；隱藏eO和2211eO，直線l，連接線段OA，AA211新建參數(shù)“n=3”，選中點(diǎn)A1和參數(shù)“n=3”，同時(shí)按住“shift”鍵，選擇【變換】tA*4迭代顯示(Di送代【帶參數(shù)的迭代】，出現(xiàn)對話框，單擊點(diǎn)A，單擊迭代按鈕則可1r=1.00米n=3.00i頭代次渝：”幫助M5.n等分一條已知線段方法一：【度量】一【計(jì)算】命令分別計(jì)算(1)新建畫板，新建兩個(gè)參數(shù)n=6

14、,k=1，利用kk+1,nk】,一的值,nk(2)畫線段AB，雙擊點(diǎn)A，把點(diǎn)B以一為比值進(jìn)行縮放得到點(diǎn)B，把點(diǎn)B按極坐標(biāo)平n移方式向上平移0.2厘米得到點(diǎn)B，連接線段BB”，隱藏點(diǎn)B,B(3)依次選擇度量值k=1,nk1=4，按住Shift鍵，利用【變換】一【帶參數(shù)的迭代】命令，創(chuàng)建knk+1，迭代次數(shù)為nk1的迭代。4)選擇n，按鍵盤上的“+”、“一”改變的值n，觀察相應(yīng)圖形的變化。(如圖一)BB1.00BBAk0.17圖一n=6.00k+1=2.00n-k-1=4.00說明：(1)深度迭代中依次選取的最后一個(gè)對象一定要是度量值，一般都為參數(shù)(不帶單位)，也可為其它度量值(帶有單位)且要在按

15、住Shift鍵的情況下選擇“變換”菜單中的“帶有參數(shù)的迭代”，此時(shí)它是黑色可用的命令。(2)此法迭代的基本思路是：標(biāo)記線段AB的一個(gè)端點(diǎn)A為中心，把線段的另一個(gè)端點(diǎn)B12按一縮放，得到第一個(gè)n等分點(diǎn)，在把點(diǎn)B按一縮放得到第二個(gè)n等分點(diǎn)，依次類推，直nn到第n-1個(gè)等分點(diǎn)。此法主要用到幾何畫板的變量迭代以及圖形的對應(yīng)。方法二：新建參數(shù)n=3，計(jì)算丄，把線段AB的端點(diǎn)B按-縮放得到點(diǎn)B，把點(diǎn)B按極坐nn標(biāo)平移方式向上平移0.2厘米得到點(diǎn)B，連接線段BB，隱藏點(diǎn)B,B，計(jì)算n-1；依次選擇n二3,點(diǎn)A,n-1，按住按住Shift鍵，利用【變換】一【帶參數(shù)的迭代】命令，創(chuàng)建如圖三所示的迭代。選擇n，按

16、鍵盤上的“+”、“一”改變的值n，觀察相應(yīng)圖形的變化。圖二圖三說明：此法所用的基本思想是：標(biāo)記線段AB的一個(gè)端點(diǎn)A為中心，把線段的另一個(gè)端點(diǎn)B按1縮放，得到第一個(gè)n等分點(diǎn)，在通過構(gòu)造nnn-1，AnB的迭代，得到以點(diǎn)B為n11縮放中心，以(即入)為縮放比進(jìn)行縮放而得到的第二n等分點(diǎn)，依次類推。n-123.定積分的幾何意義新建畫板，繪制新函數(shù)f(x)二ex，在x軸上任取兩點(diǎn)A、B(一般點(diǎn)A在左側(cè))新建參數(shù)t=12，并計(jì)算t-1和1，把點(diǎn)B按比值1以點(diǎn)A為縮放中心縮放得到點(diǎn)B，tt選中點(diǎn)A、B，度量他們的橫坐標(biāo)，計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)這兩對坐標(biāo)畫出函數(shù)f(x)二ex上的兩點(diǎn)E,F，分別作線段AE,

17、BF，過點(diǎn)E作x軸的平行線交線段BF于點(diǎn)G,隱藏該直線，作線段EG，依次選擇點(diǎn)A、E、G、B，構(gòu)造四邊形內(nèi)部，度量AE、EG,AE-EG的長度，度量原點(diǎn)與單位1之間的距離d，計(jì)算xlcmx1cm，把它記為S，1Aa-.-o移動穆動B點(diǎn)至：0）|圖四4卞最丈值=50新建參數(shù)so-0，計(jì)算so%1cmx1cm，把值記為So，計(jì)算So+Si依次選中參數(shù)t二12，點(diǎn)A，so二0，t-1，按住阿鍵，利用【變換】一沖11.99-sQ-0.0000$1=0.1567厘米2Sn+Si=D.1667厘米茲-nt-i1智If務(wù)40Hu.oeocoO.i?1-160.1507區(qū)材D.10DT區(qū)護(hù)11QOJJ00.1

18、7DJS1.191.A0D1Diasaaa厘來丫2日0.10a.ssDD1廂1.M口空爼H護(hù)aS9D2厘護(hù)30.11a.coDJ71JW13D274：肛來2aaros厘栄470.18a.mrD531.052.803246BJM211956H25a0.1a.ssmn2SOS.720M36蘭215701I!#a目0.171DO1.17an3.210刪區(qū)撐2JM2I區(qū)捧74001171.332i27QDJ033Z產(chǎn)押630251.5B斗紀(jì)J5323Sjtt13.1QQ5區(qū)來上i2口朋1to1.8?4書.7-4UC附上3.0-413$QtJK1ia1OjQO1.671J935296.35St*!1481QQOt*!1in0uao1.E32JJDBZ5T.誨1042寸駆:5ST14JK2數(shù)的迭代】命令，創(chuàng)建tnt+1,snS+S,AnB的迭代，完成相應(yīng)迭代過程。001說明：有時(shí)可以通過拖動點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)參數(shù)改變，具體操作如下：j拖我畫線段KJ,在其上任取一點(diǎn)“拖我”，度量比值“”，新建