1-5-1　平面上兩點(diǎn)間的距離(共17張PPT)

1、1.5平面上的距離1.5.1平面上兩點(diǎn)間的距離學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式.2.能運(yùn)用距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決一些簡單的問題.3.理解坐標(biāo)法的意義,并會(huì)用坐標(biāo)法研究問題. 1 |兩點(diǎn)間的距離1.公式平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離公式P1P2=.2.特殊情況當(dāng)直線P1P2垂直于y軸時(shí),P1P2=|x2-x1|;當(dāng)直線P1P2垂直于x軸時(shí),P1P2=|y2-y1|;當(dāng)點(diǎn)P1,P2中有一個(gè)是原點(diǎn)時(shí),P1P2= (或).2 |中點(diǎn)坐標(biāo)公式1.公式對(duì)于平面上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點(diǎn)是M(x0,y0),則.2.中點(diǎn)坐

2、標(biāo)公式的推導(dǎo)對(duì)于平面上的兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點(diǎn)是M(x0,y0).如圖,過點(diǎn)P1,M,P2向x軸作垂線,垂足分別為P1,M,P2,則P1,M,P2的橫坐標(biāo)分別為x1,x0,x2.因?yàn)镸是P1P2的中點(diǎn),所以P1M=MP2,又P1P1MMP2P2,可知P1M=MP2 ,則x0-x1=x2-x0,解得x0=.同理可得y0=.所以線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為. 判斷正誤,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.1.P1(0,a),P2(0,b)兩點(diǎn)間的距離為a-b.()提示:P1(0,a),P2(0,b)兩點(diǎn)間的距離應(yīng)該為|a-b|.2.已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)A(x1,y1),

3、B(x2,y2),直線AB的斜率為k,則直線上A,B兩點(diǎn)間的距離AB=|x1-x2|.()提示:AB=|x1-x2|,即AB=|x1-x2|.3.已知點(diǎn)A(-2,-1),B(a,3),且AB=5,則a的值為1.()提示: 由題意知AB=5,解得a=1或-5.4.已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(1,0)射出的光線被直線AB反射后,再射到直線OB上,最后經(jīng)OB反射后回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過的路程是.()提示:點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)是(-1,0),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB:x+y-4=0的對(duì)稱點(diǎn)為P(a,b),解得P(4,3),光線所經(jīng)過的路程PP=. 1 |常見的對(duì)稱問題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱求點(diǎn)P

4、1(x1,y1)關(guān)于點(diǎn)P2(x2,y2)的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 則有點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(1)如圖,已知點(diǎn)P(x,y),直線l:Ax+By+C=0,求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y)的步驟如下:第一步,直線PP和l垂直,故kPPkl=-1.第二步,PP的中點(diǎn)在直線l上,即點(diǎn)滿足直線方程Ax+By+C=0,得到A+B+C=0.第三步,聯(lián)立兩式可以解出x,y.(2)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的常用結(jié)論:點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P(x0,-y0);點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P(-x0,y0);點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P(y0,x0);點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線y=

5、-x的對(duì)稱點(diǎn)P(-y0,-x0);點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線x=m(m0)的對(duì)稱點(diǎn)P(2m-x0,y0);點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線y=n(n0)的對(duì)稱點(diǎn)P(x0,2n-y0).直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱.直線關(guān)于直線的對(duì)稱已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直線l1關(guān)于直線l2的對(duì)稱直線的方程.如果l1l2,則設(shè)所求直線的方程為A1x+B1y+m=0(mC1),然后在l1上找一點(diǎn)P,求出點(diǎn)P關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m.如果l1與l2相交,則先找出l1與l2的交點(diǎn)P,然后在

6、l1上確定一點(diǎn)M(不同于交點(diǎn)),找出這一點(diǎn)關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)M,由兩點(diǎn)即可確定所求直線的方程.已知直線l:x+2y-2=0,試求:(1)點(diǎn)P(-2,-1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線l1:y=x-2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2的方程;(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對(duì)稱的直線方程.解析(1)設(shè)點(diǎn)P(-2,-1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0,y0),則線段PP的中點(diǎn)M在直線l上,且PPl.所以有解得故P點(diǎn)的坐標(biāo)為.(2)解法一:由得直線l與l1的交點(diǎn)為N(2,0),在l1上任取一點(diǎn)B(0,-2),設(shè)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B(x1,y1),則解得即B,所以直線l2的斜率為kNB=7,所以l2的方程

7、為y=7(x-2),即7x-y-14=0.解法二:由于直線l1:y=x-2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線為l2,則l2上任一點(diǎn)P1(x,y)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P1(x,y)一定在直線l1上.由得把(x,y)代入方程y=x-2并整理得7x-y-14=0,故l2的方程為7x-y-14=0.(3)設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,1)對(duì)稱的直線為l,則直線l上任一點(diǎn)P2(x2,y2)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)P2(x2,y2)一定在直線l上.由得將(x2,y2)代入直線l的方程得x2+2y2-4=0,所以直線l的方程為x+2y-4=0.方法技巧關(guān)于對(duì)稱問題,要充分利用“垂直平分”這個(gè)基本條件,“垂直”是指兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的連線與已知直線垂直

8、,“平分”是指兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)連成的線段的中點(diǎn)在已知直線上,可通過這兩個(gè)條件列方程組求解.2 |對(duì)稱在求最值中的應(yīng)用在直線l上求一點(diǎn)P,使P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小的求法(1)當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)時(shí),如圖,連接AB,線段AB交直線l于點(diǎn)P,此時(shí)AB與l的交點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和最小,最小值為AB的長.在直線l上任取一點(diǎn)P,則PA+PBAB.(2)當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)時(shí),如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB交直線l于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A,B的距離之和最小.在直線l上求一點(diǎn)P,使P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大的求法(1)當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)時(shí)(A、B連線與l不平行),

9、連接BA并延長,交直線l于點(diǎn)P.此時(shí)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大,最大值為AB的長.如圖,在l上任意取一點(diǎn)P,則有|PB-PA|AB=|PB-PA|.(2)當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)時(shí),作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A,連接BA并延長,交l于點(diǎn)P.此時(shí)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大,最大值為|PB-PA|=|PB-PA|=AB.如圖,在l上任取一點(diǎn)P,則有|PB-PA|=|PB-PA|AB.已知直線l:x-2y+8=0和兩點(diǎn)A(2,0),B(-2,-4),且點(diǎn)P在直線l上.(1)當(dāng)PA+PB最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為;(2)當(dāng)|PB-PA|最大時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為.思路點(diǎn)撥(1)利用對(duì)稱性將直線同側(cè)兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短求最小值,進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè),根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,得出當(dāng)A,B,P三點(diǎn)共線時(shí),|PB-PA|取得最大值,進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).解析(1)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A(m,n),則解得故A(-2,8).因?yàn)镻為直線l上一點(diǎn),所以PA+PB=PA+PBAB,當(dāng)且僅當(dāng)B,P,A三點(diǎn)共線時(shí),PA+PB取得最小值,最小值為AB的長,此時(shí)點(diǎn)P為直線AB與直線l的交點(diǎn).又直線AB的方程為x=-2,所以由得故點(diǎn)P的坐