筆記講義金融學(xué)概論第八課

1、No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter期 權(quán) 定 價(jià) 中 的 難 點(diǎn)第 八 課債 券 和 股 票 的 估 價(jià) ： 貼 現(xiàn) 現(xiàn) 金 流 期 權(quán) 的 估 價(jià) DCF 不 適 用 給 定 到 期 日 標(biāo) 的 資 產(chǎn) 價(jià) 格 的 分 布 ， 可 以 很 容 易 地 計(jì) 算 期 權(quán) 在 到 期 日 的 收 益難 于 估 計(jì) 折 現(xiàn) 率 期 權(quán) 定 價(jià) 模 型20022002項(xiàng) 式 期 權(quán) 定 價(jià) 模 型 單 期 項(xiàng) 式 模 1 年型概 率今日 要 對 期 權(quán) 進(jìn) 行 定 價(jià)我 們 需 要 知 道 標(biāo) 的 資 產(chǎn) 價(jià) 格 如 何

2、 變 動 簡 單 但常 有 力 的個(gè) 模 型 是 二 項(xiàng) 式 模 型 $14012$100在 每 個(gè) （ 很 短 ） 的 時(shí) 間 間 隔 期 末 股 票 價(jià) 格 只能有 兩個(gè) 可 能的 取值當(dāng)時(shí) 間 間 隔 足 夠 短這 是 很 好 的 近 似有 利 于 解 釋 期 權(quán) 定 價(jià) 模 型 背后 所 包 含 的 原 理 可 以 用 于 對 象 美 式 期 權(quán) 這 樣 的 衍 生 證 券 進(jìn) 行 定 價(jià) 12$80 收 益 率 被 定 義 為 價(jià) 格 的 相 對 數(shù) 期 望 收 益 率 = 1 1期 望 方 差 = 0.0920022002無套利 原 則與通過復(fù)制來給 期 權(quán) 定 價(jià) 對 衍 生 證

3、 券 的 定 價(jià)為了給 衍 生 證 券 定 價(jià) ， 可 以 構(gòu)造一 個(gè) 股 票 和 今日 到期日 無風(fēng)險(xiǎn)投資 的 日 的 收 益 組合來復(fù)制該衍 生 證 券 在 到 期 這 個(gè) 組合稱為 合成的 衍 生 證 券 要 使無套利 成立， 這 個(gè) 交易 的 衍 生 證 券 的 價(jià) 格 組合的 合成等同于 對 沖組合的 價(jià) 值必須等于20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is1交易 的 衍 生 證 券 的 價(jià) 值= 合成的 衍 生 證 券 （ 組合） 的 價(jià) 值合成的 衍 生 證 券 收益相 同交易 的 衍 生 證 券 No rma n Stro n g, T

4、 h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter組合(合成看漲期 權(quán) V0 S0 B0) = 股 票 + 無風(fēng)險(xiǎn)資 產(chǎn) 單 期 ： 給 歐式 看漲期 權(quán) 定 價(jià) 組合復(fù)制了該期 權(quán) 在 48 B 0 1.10 8 32 B0 1.10 0到 期 日 的 收 益T 1, S0 40, X 40, u 1.2, d 0.8歐式 看漲期 權(quán) ： 1 年S0u 48概率今日 pcu 81.10 = 今 天的 $1投資 在 1年 后 的 財(cái)富$40 0.5, B 14.55解 方 程組得到0S0d 32cd 01 pB 的 負(fù)號意味者借入020022002單 期 項(xiàng) 式 期

5、權(quán) 定 價(jià) 的 一 般化V0 0.5 40 14.55 5.45c V0 5.45無套利 要 含 義 ： 求1 年概率今日 pS 0u cup 的 值從未使用 過 期 望 收 益 率 無關(guān)緊要!S0c ?S0 d cd1 p20022002該組合復(fù)制了該看漲期 權(quán) 在 到 期 日 的 收 益 風(fēng)險(xiǎn)中 性定 價(jià) S0u B0erT cuS0d B0erT cd很 自然可 以 被 解 釋 為 是 股 票 價(jià) 格 上漲的 概率(風(fēng)險(xiǎn) 性概率 或等價(jià) 鞅測度)解 方 程組得到 ： cu cd cu 1 cd 可 以 被 解 釋 為 是 該看漲期 權(quán) 在 ucd dcu rTB0 e， 和 S u S

6、d到 期 日 的 收 益 u d00該期 權(quán) 的 價(jià) 值是 它在 到 期 日 的 期 望 收 益 成的 現(xiàn) 值按無風(fēng)險(xiǎn)利 率 折 無套利 要 求：erT d在 下, ES S erTc V0 ecu 1 cd , 其 rTT0u d20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is2No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es terDelta對 沖組合Black-Scholes期 權(quán) 定 價(jià) 模 型 c S0 B0B0 的 符號為 正S0 c B0意味著投資期 權(quán) 價(jià) 格 和 股 票 價(jià) 格 依

7、賴于 同一 種不 確定 性來源cu cdS0u S0d無風(fēng)險(xiǎn)的 對 沖組合可 以 用 股 票 和 期 權(quán) 來構(gòu)造 由股 股 票 和 個(gè) 看漲期 權(quán) 空頭構(gòu)成無風(fēng)險(xiǎn)組合必然獲得無風(fēng)險(xiǎn)利 率 這 導(dǎo)致了Black-Scholes偏微分 方 程 (PDE)的 組合等價(jià) 于 無風(fēng)險(xiǎn)投資 (delta) 被 稱為該組合經(jīng)常 被 稱為 無風(fēng)險(xiǎn)對 沖組合套頭比（ hedge ratio）20022002Black-Scholes模 型 的 假設(shè)股 票 價(jià) 格 的 動 態(tài)過程連續(xù)時(shí) 間 模 型 假設(shè)股 票 價(jià) 格 服從 何 布 朗運(yùn)動 （ GBM ）dS Sdt SdW其中 ： ： 期 望 收 益 率 ： 波

8、動 率 (假設(shè)為 常 數(shù) )dW ： 標(biāo) 準(zhǔn)Wiener過程完美 的 資 本市場， 沒有 套利 機(jī)會價(jià) 格 的 朗運(yùn)動瞬間 變 動 服從波動 率 為 常 數(shù) 的 幾何 布 短 期 利 率 已知 ， 并且不 隨時(shí) 間 發(fā)生 變 化在 期 權(quán) 的 有 效期 內(nèi)， 標(biāo) 的 股 票 不 發(fā)放股 利 20022002Wien er過程的 特征離散時(shí) 間 近 似S t t SZzT zt 的均值為 0為 Wien er過程， 則zT zt 的 方 差 為 z tTtzT zt 的 標(biāo) 準(zhǔn)差 為 zT zt n0, T t T t其 是 n(0,1)分 布 的 一 個(gè) 隨機(jī)實(shí)現(xiàn)任意互不 重疊的 兩期 的 z

9、 的 取值相 互獨(dú)立20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is3No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter股 票 收 益 率 的 特征股 票 收 益 率 的 分 布T t 2 T t 從時(shí) 間 t到 T收 益 率 的 均值為股 票 價(jià) 格 服從對 數(shù) 正態(tài)分 布 ， 即： 2從時(shí) 間 t到 T收 益 率 的 方 差 為 ln ST N ln S 0.2 , 2 T t準(zhǔn)差 為 T t從時(shí) 間 t到 T收 益 率 的 標(biāo) n, ， 其 T t收 益 率 的 分 布 ： 0020對

10、數(shù)態(tài)分 布20022002Black-Scholes 偏微分 方 的 導(dǎo)出S St Sz程組合的 價(jià) 值為 ： f f SS在 跨度為 t 的 短 期 內(nèi)， 它的 價(jià) 值的 變 動 為 ： f f2 f f f S SS22S 2 t SzS12t f f SS組合 ， 該組合的 構(gòu)成如 下：構(gòu)造一 個(gè) 2 f 1 2S 2f t 1 單 位衍 生 證 券 的 2空頭tS 2f股 股 票 S多頭20022002程不 包 括！ 投資 者的 偏好 不 該偏微分 方 作用 ！起因?yàn)?該組合的 收 益 率 沒有 不 必須等于 無風(fēng)險(xiǎn)利 率 。因此確定 性， 所 有 它fS任何 其價(jià) 格 依賴于 標(biāo) 的

11、 股 票 價(jià) 格 的 衍 生 證 券 rt f S rt都滿足 上述偏微分 方 程不 同的 衍 生 證 券 ， 其價(jià) 值取決于 上述微分 方 程的 邊界條件得到 Bla ck-Sch o les從上述兩個(gè) 方 程， 就可 以 偏微分 方 程：歐式 看漲期 權(quán) ， 邊界條件為 cT max0,ST X 對 于 2 f f f 對 歐式 期 權(quán) 解 上述偏微分 方 程， 就得到 Black-rS 2 2S rfS 212tSScholes期 權(quán) 定 價(jià) 模 型 20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is4No rma n Stro n g, T h e U

12、n iv ers ity o f M a n ch es terBlack-Scholes 模 型 在 風(fēng)險(xiǎn)中 性定 價(jià) 下的 導(dǎo)出Black-Scholes 公式c SN d XerN d 12p XerN d SN d利 用 收 益 風(fēng)險(xiǎn) 性概率 算 出期 權(quán) 在 到 期 日 的 期 望 21式，S / X r 用 無風(fēng)險(xiǎn)利 率 對 期 望 收 益 進(jìn) 行 折 現(xiàn)ln 2d1 2 d2 d1 N .是 標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài)分 布 的 累積概率 分 布 函數(shù)20022002期 權(quán) 價(jià) 格 的 決定因素歐式 看漲期 權(quán) 的 價(jià) 值由 式 給 出：c e r E c t T max S X ,0 g S

13、dS e r e rTTT0 S X g S dS ,TTTXgST 由 式 給 出1 lnS / S r 21TgST e2 2進(jìn) 行些簡 單 的 代數(shù) 運(yùn)算 就可 以 得到 Bla ck-Sch o les 公式20022002Black-Scholes公式 的 應(yīng)用那么N d1 0.8950, i.e. T t 0.25年, 20% paS 50 , X 45N d 0.87572c SN d1 Xe N d2 r 50 0.8950 45 e0.060.25 0.8757 5.93p c Xer S 5.93 45 e0.060.25 50 0.262002r 6%（ 按連續(xù)復(fù)利 計(jì)

14、息）r 2ln S / Xd1 2 50 / 45 ln0.06 0.250 22 1.253620.2 0.25以 及d d 1.1536212002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is5正的變 化看漲期 權(quán)看跌期 權(quán)股票價(jià)格 , S執(zhí)行價(jià)格 , X波動率 , 距離到 期 日 的 時(shí) 間 , 無風(fēng)險(xiǎn)利率 , r現(xiàn)金股利 , dNo rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es terDelta對 沖估 計(jì) 歷史波動 率 在 間 隔 為 年 的 期 間 S0 , S1, S2 , , SnDelta ()

15、： 期 權(quán) 價(jià) 格 對 標(biāo) 的 資 產(chǎn) 價(jià) 格 的 變 觀測到化比率計(jì) 算 連續(xù)復(fù)利 St 對 于 歐式 看漲期 權(quán) r lntS c N d t 10 1,估 計(jì) 波動 率 (標(biāo) 準(zhǔn)差 )1cS1nr r 2對 于 歐式 看跌期 權(quán) n 1t1tp 1 p 0 N d1 1 ,每 年 的 波動 率 ： S20022002隱含 波動 率 公司負(fù)債 與股 東權(quán) 益 期 權(quán) 的 隱含 波動 率 是 指讓根據(jù)公式 計(jì) 算 得到 的 期 權(quán) 價(jià) 格 與市場價(jià) 格 相 等的 波動 率即股 東權(quán) 益 相 當(dāng)于 擁有 一 個(gè) 以 D為 執(zhí)行 價(jià) 格 的 對 于 公司價(jià) 值V的 看漲期 權(quán) E f 1S, X

16、 , r, c impM期 權(quán) 價(jià) 格 與隱含 波動 率 之間 存在 著對 應(yīng)在臺市場（ OTC）交易 者和 經(jīng)紀(jì)商經(jīng)常 不 是 報(bào)貨幣價(jià) 格 而是 報(bào)隱含 的 收 益 率 隱含 波動 率 給 出了市場總體對 未來標(biāo) 的 股 票 在 期 權(quán) 有 效期 內(nèi)的 平價(jià) 波動 率 的致估 計(jì) （ 預(yù)期 ） 隱含 波動 率 是 前瞻性的2002VD2002公司負(fù)債 與股 東權(quán) 益 實(shí)物期 權(quán) 公司債 權(quán) 人相 當(dāng)于 擁有 一 個(gè) 面值為 D的 無風(fēng)險(xiǎn)投資 ： 有 權(quán) 選擇投資 時(shí) 機(jī) 獲得投資 回報(bào) 但 是 沒有 必須投資 的 義 務(wù) 初始投資 額就是 執(zhí)行 價(jià) 格 投資在 未來產(chǎn) 生 的 現(xiàn) 金 流

17、就是 資 產(chǎn) 價(jià) 格 與傳統(tǒng)NPV分 析的 關(guān)鍵區(qū)別：不 確定 性（ 風(fēng)險(xiǎn)） 是 有 價(jià) 值的 ！管 理 彈性（ Managerial flexibility ）同時(shí) 出售一 個(gè) 執(zhí)行 價(jià) 格 為 D的 看跌期 權(quán) 債 券 和 VD戰(zhàn)略工具但 是 大 多數(shù) 情況 難 以 準(zhǔn)確估 價(jià) VD20022002AF2072 In v es tmen tAn a ly s is6No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter實(shí)物期 權(quán) 的 主要 類型等待期 權(quán) (1)等待以 在 將來投資 （ 看漲期 權(quán) ） 傳統(tǒng)的 NPV： 要 么現(xiàn)

18、 在 投資 ， 要 么永不 投資放棄（ 看跌期 權(quán) ） 但 第 三種選擇是 等待以 在 將來投資彈性（ 看漲期 權(quán) ） 期 權(quán) 價(jià) 值后 續(xù)投資 （ 看漲期 權(quán) ） 內(nèi)在 價(jià) 值(IV) + 時(shí) 間 價(jià) 值 (TV)TV = 能夠 等待的 價(jià) 值20022002等待期 權(quán) (2)等待期 權(quán) (3)： 例子決策法則 傳統(tǒng)的 NPV接受項(xiàng) 目，如 果NPV 0 ， 即IV 0實(shí)物期權(quán) 接受項(xiàng) 目，如 果NPV 期權(quán)價(jià) 值風(fēng)險(xiǎn)更大的項(xiàng) 目期權(quán)價(jià) 值更高石油公司獲得某區(qū)塊的 5年 期 開采權(quán)NPV 期 權(quán) 價(jià) 值20022002AF2072 In v es tm en tAn a ly s is7No rma n Stro n g, T h e Un iv ers ity o f M a n ch es ter實(shí)物期 權(quán) 與金 融 期 權(quán) 后 續(xù)期 權(quán) 之間 的 對 應(yīng)實(shí)物