結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)例題復(fù)習(xí)題

1、 第十六章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)16-1 】不計(jì)桿件分布質(zhì)量和軸向變形，確定圖16-6 所示剛架的動(dòng)力自由度16-6【解】各剛架的自由度確定如圖中所示。這里要注意以下兩點(diǎn)：在確定剛架的自由度時(shí)，引用受彎直桿上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變的假定。根據(jù)這個(gè)假定并加入最少數(shù)量的鏈桿以限制剛架上所有質(zhì)量的位置，則剛架的自由度數(shù)目即等于所加鏈桿數(shù)目。集中質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)數(shù)并不一定等于體系的自由度數(shù)，而根據(jù)自由度的定義及問題的具 體情形確定?！纠?16-2 】 試用柔度法建立圖16-7a 所示單自由度體系，受均布動(dòng)荷載q(t) 作用的運(yùn)動(dòng)方程?！窘狻?本題特點(diǎn)是，動(dòng)荷載不是作用在質(zhì)量上的集中荷載。對(duì)于非質(zhì)量處的集中動(dòng)荷載的情

2、況，在建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，一般采用柔度法較為方便。設(shè)圖 a 質(zhì)量任一時(shí)刻沿自由度方向的位移為y(向下為正)。把慣性力I 、阻尼力R 及 TOC o 1-5 h z 動(dòng)荷載 P(t)， 均看作是一個(gè)靜荷載，則在其作用下體系在質(zhì)量處的位移y， 由疊加原理(見圖 b、 c、 d 及 e) ，則y P I D P (I R)543式中， Pq(t) ，。 將它們代入上式，并注意到Imy， R cy， HYPERLINK l bookmark1 o Current Document P 384EI48EI得54384EIq(t)48EI( my cy)圖 16-7經(jīng)整理后可得1式中， kmy cy kyPE

3、 (t)483EI ， PE(t)k P85 q(t)PE (t) 稱為等效動(dòng)荷載或等效干擾力。其含義為：PE (t)直接作用于質(zhì)量上所產(chǎn)生的位移和實(shí)際動(dòng)荷載引起的位移相等。圖a 的相當(dāng)體系如圖f 所示?！纠?16-3 】 圖 16-8a 為剛性外伸梁，C處為彈性支座, 其剛度系數(shù)為k ，梁端點(diǎn)A、 D處分別有m 和 m 質(zhì)量， 端點(diǎn)D處裝有阻尼器c， 同時(shí)梁BD段受有均布動(dòng)荷載q(t)作用， 試3建立剛性梁的運(yùn)動(dòng)方程。【解】 因?yàn)榱菏莿傂缘?，這個(gè)體系僅有一個(gè)自由度，故它的動(dòng)力響應(yīng)可由一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)表達(dá)，方程可以用直接平衡法來(lái)建立。這個(gè)單自由度體系可能產(chǎn)生的位移形式如圖b 所示，可以用鉸B 的

4、運(yùn)動(dòng)(t) 作為基本 量，而其它一切位移均可利用它來(lái)表示。16-83(t) 以順時(shí)針向?yàn)檎tA點(diǎn)有位移(t)和加速度(t) ； D點(diǎn)有位移(t) 和222333(t) 及速度 3(t)； C點(diǎn)約束反力為Rc k (t) 。22M B 0 ，有 TOC o 1-5 h z 3333I 1 I 2 R RCq(t) 012222 C 243 m 3333322m (t) 2 32m3(t)3232c (t)32k (t)32q(t) 34099m (t) c (t) k (t) q(t)48小結(jié)：例 16-2 及例 16-3 討論的是單自由度的一般情況下的運(yùn)動(dòng)方程的建立。建立方程的, 求 11和

5、k11 的難對(duì)于多自由度體系，若是靜定剛度法和柔度法。它們都是根據(jù)達(dá)朗貝爾原理和所采用的阻尼理論在體系上加慣性剛度法是考慮質(zhì)量自由度方向的平衡；柔度法是建立沿自由度方向位移的協(xié)調(diào)所謂結(jié)構(gòu)振動(dòng)自由度是指：確定體系全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立位移分量的個(gè)數(shù)。16-3 中我們選取(t) 為獨(dú)立位移分量，由此得兩質(zhì)點(diǎn)處的位移、加速度及慣性力的表體系的振動(dòng)自由度數(shù)目既和體系的質(zhì)點(diǎn)數(shù)目有關(guān)，又不完全取決于質(zhì)點(diǎn)數(shù)目，自由度還和體系的可能位移狀態(tài)有關(guān)（如例題16-3 ） ，因此要根據(jù)具體問題，按自由度定義分析確定。另一方面，自由度是確定質(zhì)點(diǎn)空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)（位移分量）個(gè)數(shù)，它和結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)或獨(dú)立位移個(gè)數(shù)沒有關(guān)系

6、。任何單自由度的振動(dòng)問題，本質(zhì)上都可抽象為質(zhì)點(diǎn)、彈簧、阻尼器體系。從實(shí)際結(jié)構(gòu)到抽象模型的關(guān)鍵是求m 和 k （或 ） ?！纠?16-4 】試 寫 出 圖 16-9a 質(zhì) 點(diǎn) m 的 運(yùn) 動(dòng) 微 分 方 程 ， 并 計(jì) 算 各 系16-9列位移方程, y 11( my) 1PP(t) 1QQ(t)(2)計(jì)算系數(shù)項(xiàng)（圖 b） ，11(3)計(jì)算自由項(xiàng)（圖c,d ）EI 212 4aa 2a a 23 3EI1P11Pa312EI1112113aPa 2a a 2 Pa 2a a/2EI223226a1Q11Qa312EI TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark17 o

7、Current Document 3334a11a11a（4） 將 系 數(shù) 代 入 位 移方 程 ， my y P(t) Q(t)3EI12EI12EI3EI1111或 my 3 y P(t) Q(t) 4a161616-5 】 試 按剛度法列出 圖 16-10a 所示 剛 架 在 給 定 荷 載 作 用 下 的動(dòng)力平衡方程。( 1 ) 考 慮 質(zhì) 點(diǎn) m 平 衡(圖b) 有S I , I my確 定 彈 性 力 恢 復(fù) 力 S ,彈 性 力 恢 復(fù) 力 S可 以 認(rèn) 為兩部分疊加而成第 一 部分為 使 m產(chǎn) 生位 移 施 加 的 力R11 ；第 二 部 分 為 m不 動(dòng) 在 荷 載 作 用

8、下產(chǎn) 生 的 反 力R1P , 即SR11R1P3EIR11k11 y2 ya2 l aR1Pql 3 sin t8a l a( 3 ) 代 回 動(dòng) 力 平 衡 方 程 得 ，my3EIa2 l a yql 3 sin t8a l a16-6】圖 16-11a所示梁不計(jì)自重，求 自 振 頻 率圖 16-11M 圖（圖 b） ，求得柔度 為： 5l 3 /192EI所以，1 g 1 9 2EIg /5Wl3m mg【例 16-7】 圖 16-12a 所示 單 跨 座 剛 度 為 k ，求 自 振 頻 率 。梁 不 計(jì)自重 ， 桿 無(wú) 彎 曲 變 形 ， 彈16-12W處 加 P 1,1/(2k)

9、, 11 1/(4k)m 11mg 114kg/W 。16- 8】16-13a 所示梁不計(jì)自重 ， W 200kN,EI 2 104 kN m2，振 圓頻 率 。解】由于對(duì)稱跨中無(wú)轉(zhuǎn)角求 剛 度 k 。k112EI 12EIl3233EI /2k 2k16 104 k N /m。kgmgkWg6 104kN /m154.2s 120016- 1316-9 】 試求圖 16-14a 所示結(jié)構(gòu)的自振頻率。略去桿件自重及阻尼影響。a 為一次超靜定結(jié)構(gòu)，用力矩分配法作出單位彎矩圖（圖16-14b） 。計(jì)算質(zhì)點(diǎn)處的柔度系數(shù)11（即位移計(jì)算）b（或圖c）與圖d（虛擬狀態(tài)），得111 l31ll 12lEI

10、48EI 2 4 2 32l3EI 48 5121536 EI23 l30.04219l3EI則，1536 EI23 l 3m16-10】作圖 16-15a 所示 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力 彎 矩 幅 值 圖 。已 知 質(zhì) 點(diǎn) 重 W =kN，擾 力 幅 值 P = 0.75 kN，擾 力 頻 率177s-1 ，梁的 抗 彎 剛 度 EI =24490kN m 。b列 幅 方 程2A 11m A1PP，A(111m 2) 1PP，因?yàn)?PP(111m 2 )122 1PP 1PP，112c 求柔度系數(shù)11 ，即 1134mm 0.000279m/kN ，3EId 求柔度系數(shù)1P ，即 1P11m30.000

11、408m/kN , 6EI2117856sm 111188.63s 1,2,31A 0.000408 0.750.000102m,3m 2A 1.37kNe 所示。16-11 】 圖 16-16a 所 示 體 系 中 ，電機(jī) 重 W 10kN 置 于 剛 性 橫機(jī)轉(zhuǎn)速n 500r / min ，水 平 方強(qiáng) 迫 力 為 P(t) 2kN sin( t)知柱頂側(cè)移剛 度 k 1.02 104kN/m1自 振 頻 率 100s 。 求 穩(wěn) 態(tài)將動(dòng)荷載P 和慣性力m 2 A加于結(jié)構(gòu)上，得動(dòng)力彎矩幅值圖如圖動(dòng)的振幅及最大動(dòng)力彎矩圖圖 16-16【解】只有水平振動(dòng)。干擾力頻率52.36s-1 ，動(dòng)力系數(shù)

12、1.378,P2kN靜位移ystP2kN1.9610 4mst k 1.02 104kN /m振 幅Ayst1.387 1.9610 4m 0.27mm動(dòng) 力 彎 矩 圖 （圖 c） M D PM 1.378 2 M 2.756M16-12 】 圖 16-17a 所示 體 系 各 柱 EI = 常 數(shù) ，柱 高 均 為 l ，(18EI /(ml 3 ) 。求 最 大 動(dòng) 力 彎 矩 。16-17b 可知，k 3 12lE3 I36EIl3頻率動(dòng)力系數(shù)2 ，最 大 動(dòng) 力 彎 矩M D (max) PM (見圖 c、 d) 。并作出振16-13】 求 圖 16-18a 所示 體 系 的 自 振

13、 頻 率 和 主 振 型型 圖 。已 知 ： m1 2m,m2m， EI = 常 數(shù) 。16-18【解】用柔度法作。1 為求柔度系數(shù)，首先繪出單位彎矩圖（圖 b 和 c）。由位移計(jì)算公式，111.3333 EI , 12210.5 EI ，220.5833 EI2 求頻率 將它們代入頻率方程，即11m11212m221m122m21展開上式并令121,211m122m2211m122m211 2212 21 m1m24兩個(gè)根為12.883m EI ，20.366m EI從而可得兩個(gè)自振頻率為10.5889 EI m ，111.653 EI m2零，所以兩個(gè)方程線性相關(guān)，只有一個(gè)是獨(dú)立的，可由其

14、中任何一式求得值，比如由第一式可得3 求主振型1 代入上式，由于系數(shù)行列式為(1)(1)A1 與 A 2 的比A2(1) 1(1)A11 211m11m20.58892EI2 1.3333mEI12m20.5m0.4338A22A1(2)(2)兩振型的規(guī)準(zhǔn)化矩陣表達(dá)式為EIA(1)11m111 m112m20.4338A(2)4.601211211m124.6101212m212m2如圖d、 e 所示。16-14】 求 圖 16-19a所 示 體 系 的 頻 率 方 程 。16-19【解】本題為兩個(gè)動(dòng)力自由度(圖b列 幅 值 方 程 ：b) 。另外注意的是，水平向的振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)是2m 。2211

15、2m x12m y x2221 2m x22m y yc、 d 求柔度系數(shù)，其結(jié)果如下。11l33EI1221l32EI16-15】求 圖16-20a所示22m 11 12m 2 2112m211m 1224l 33EI兩 個(gè) 自由度體系的自振頻率，12EIl3圖 16-20c、 d 計(jì)算柔度系數(shù)，其位移計(jì)算公式為ijMiMji j dxEI支座反力Rc，這里ck為彈支座處位移。11212l l l 2l l323l31 9l36EI 4k 48EI2k12EI 4k6EI 4k49l 348EI13l 348EI型及廣義質(zhì)量。M12 E 0 ，解得 TOC o 1-5 h z 10.9533

16、 ，23.0543 。ml3ml316-16】求 圖 16-21a所示 體 系 的 自 振 頻 率【解】由圖b 幅 值 方 程 為 ：m2l 3k A2A10m2 A1k A2A1kA10kA1 m 2 k A2m 2 2k A1 kA20令上的系數(shù)行列為零，得頻率方程，由該方程的兩頻率如下3 5k23 5k HYPERLINK l bookmark126 o Current Document 1,22m2m振 型 1：A15 1 ，振 型2：A1( 5 1) ，見圖 c。 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document A22A2251 m0 51廣 義

17、質(zhì) 量 為： M15 1 1 m1.38m ，20 m2151m051M 2123.62m0 m121127/2EA, 224/ EA, 128/3EA, ；1/ 2 m 14.197 3.303 T / EA, ；1 1/1 0.265 (EA/m),2 1/2 0.550 (EA/m),16-18】 試求圖 16-23a所示剛架的自振頻率和主振型。EI=常數(shù)。16-23【解】圖a 在不計(jì)軸向變形情況下，則與圖稱（圖c）和正對(duì)稱（圖d）的振動(dòng)。b 的振動(dòng)是相同的。因此圖a 可分成反對(duì)第一頻率由單自由度頻率計(jì)算公式k 可知，則為反對(duì)稱情況。由單跨梁的位 m移計(jì)算公式，得柔度系數(shù)為117l 37

18、68EI則第一頻率為1m 11768EIEI10.477ml3ml31192EIEI2 m 22 ml313.86 ml3振型：第一振為反對(duì)稱振動(dòng)，如圖e 所示；第二振為對(duì)稱振動(dòng)，如圖f 所示；16-24 16-24 例 16-19】 圖 16-24 所示梁的質(zhì)量重G 20kN ，振動(dòng)力最大值P 4.8kN ，干擾頻率 30 1 s， 已知梁的E 210GPa ， I 1.6 10 4m4。 試求兩質(zhì)點(diǎn)處的最大豎向位移。梁自重不計(jì)?！窘狻坑萌岫确ń狻Ｓ蓤Db、 c、 d 計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)如下：61122 EI ，1412 3EI ，1P51P8EI ，2P175P24EI30代入，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)位移幅

19、值方程12 E A12 P 并乘以 EI225.1009A1 9.514A20.034 09.514A1 25.1009A20.03889 02.268 10 3m ， A2 2.409 10 3m16-26 16-20】 圖 16-25a 所示剛架各橫梁剛度無(wú)窮大，試求各橫梁處的位移幅值和柱端 30kN ，每分鐘振動(dòng)240 次。16-25K 2M A P有K24EIl301，124EIl3524 5 105396 103kN /m。彎矩幅值。已知m 100t， EI 5 105kN.m2。 l 5m ；簡(jiǎn)諧荷載幅值P231.5 （單位t，即10 kg122408 ，264 2。 M 1006

20、0代入穩(wěn)態(tài)振動(dòng)位移幅值方程，有0300449.6691920y1103192193.25296y209632.835 y3解得y10.0756 10 3m， y20.1771 10 3m， y30.5178 10慣性力幅值為I o M 2 y ，即 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark240 o Current Document I 1o2000.0756 1039.55o23I 2o15064 20.1771 10316.78 kN HYPERLINK l bookmark244 o Current Document I3o1000.5178 10332.71

21、本題橫梁剛度為無(wú)窮大，每層只有兩根柱且截面及高度相等，故每根柱的彎矩為Qih Mi 4Qi 為該層的總剪力，等于該層以上水平外力(包括慣性力)的代數(shù)和；h 為該層柱高。于是各層柱端彎矩為32 71 5頂層： M 332.71 5 40.8875kN .m34中層：M2(32.7116.7830) 5 24.3625kN .m24第層：M1(32.7116.7830 9.55) 5 36.3kN.m 。如圖b 所示。對(duì)于橫梁的桿端4彎矩可由剛結(jié)點(diǎn)力矩平衡推求。16-21 】 用振型分解法重作例16-20。頻率為：19.401 s ，241.273 60.67 1s振型為：A(1)1 2.608 4.290T ， A(2)1 1.2261.584T，A(3)10.834 0.294T。202240M m 1.5， P Psin t ，86010得廣義質(zhì)量M1A(1) T M A(1)30.607mM2A(2) T M A(2)6.7637mM3A(3) T M A(3)3.1298m廣義荷載P1A(1) T P2.608Psin tP2A(2) T P1.226Psin tP3A(3) T P 0.834