高二數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)突破：專題12 拋物線方程及其簡單幾何性質(zhì)中檔題突破（解析版）

1、 16/16專題12 拋物線方程及其簡單幾何性質(zhì)性質(zhì)題型一 求軌跡方程1已知點(diǎn)到的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)的軌跡方程【解答】解：設(shè)點(diǎn)為，則根據(jù)題意故答案為：2已知圓的方程為，求與軸相切且與圓外切的動(dòng)圓圓心軌跡方程【解答】解：若動(dòng)圓在軸右側(cè)，則動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，其軌跡是拋物線，方程為，若動(dòng)圓在軸左側(cè)，則動(dòng)圓圓心軌跡是負(fù)半軸，方程為，綜上，動(dòng)圓圓心軌跡方程是或，3點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是【解答】解：設(shè)，依題意得點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，由兩點(diǎn)間的距離公式，得，根據(jù)平面幾何原理，得，原方程化為兩邊平方，得，整理得即點(diǎn)的軌跡方程是故答案為：4點(diǎn)到

2、點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)的軌跡方程是【解答】解：點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1，點(diǎn)到直線的距離和它到點(diǎn)的距離相等根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為5平面上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【解答】解：設(shè)，由到定點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，當(dāng)時(shí)，的軌跡為；當(dāng)時(shí)，又動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大1，列出等式：化簡得，為焦點(diǎn)為的拋物線則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：或6設(shè)動(dòng)圓與軸相切且與圓相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為或【解答】解：設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為，則動(dòng)圓與軸相切且與圓相外切，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故答案為：或7已知?jiǎng)訄A與定圓相外切

3、，又與定直線相切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程【解答】解：令點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)圓得半徑為，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，在直線的左側(cè)，故到定直線的距離是，所以，即，化簡得：8已知是拋物線的頂點(diǎn)，、是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（1）試判斷直線是否經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn)？若是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由；（2）設(shè)點(diǎn)是的外接圓圓心，求點(diǎn)的軌跡方程【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，故，因?yàn)?，則，因?yàn)椤⑹巧系膬蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)，則有，故，整理可得，解得，由，消去可得，則有，所以，解得，故直線的方程為，所以直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線的斜

4、率為，所以線段的垂直平分線的方程為，同理，線段的垂直平分線的方程為，由解得，設(shè)點(diǎn)，則有，消去，得到，所以點(diǎn)的軌跡方程為題型二 拋物線的幾何性質(zhì)9已知拋物線的焦點(diǎn)為，在上有一點(diǎn)，則的中點(diǎn)到軸的距離為A4B5CD6【解答】解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，由拋物線的定義可知，故的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，故的中點(diǎn)到軸的距離為4故選：10設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，與相交于點(diǎn)若，且的面積為，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是ABCD【解答】解：如圖所示：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，過拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，可得，又由且，所以，所以，解得，代入拋物線的方程，可得，

5、又由且，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，所以的面積為，解得，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選：11已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：設(shè)，直線方程為聯(lián)立，消去，得，所以所以，因?yàn)椤⒅悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，故，又，所以的取值范圍，故選：12已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的延長線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)若，則A2B3C6D8【解答】解：設(shè)、在準(zhǔn)線上的射影分別為、，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的延長線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，由，可得：，因?yàn)?，可得，故選：13以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓

6、交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，已知，則A2B4C6D8【解答】解：設(shè)拋物線為，如圖，丨丨丨丨丨丨丨丨，解得，故選：14已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過的直線交拋物線于，、，過點(diǎn)、作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是ABCD【解答】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，成立，不成立；，成立；，不成立當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，可設(shè)，聯(lián)立，得得，故成立；而，故不成立；，故，成立；而，故不成立故選：15已知拋物線，焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線拋物線相交于，兩點(diǎn)，則下列說法一定正確的是A的最小值為2B線段為直徑的圓與直線相切C為定值D若，則【解答】解：拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以的最小值為

7、，故不正確，如圖：設(shè)線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線的定義可得，所以，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故正確；設(shè)直線所在的直線方程為，由，消去可得，所以，所以，故正確；所以，故正確故選：題型三 最值問題16已知拋物線方程為，直線的方程為，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到軸的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為【解答】解：由題意，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，從而到軸的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離減1過焦點(diǎn)作直線的垂線，此時(shí)最小，則，則的最小值為故答案為：17設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線的斜率的最大值為【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)，則由，得，當(dāng)且

8、僅當(dāng)時(shí)取等號，直線的斜率的最大值為故答案為：18已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與該拋物線相交于，兩點(diǎn)，則線段的最小值為A1B2C3D4【解答】解：由，可得，則，即，易知直線過該拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)檫^焦點(diǎn)的弦中通徑最短，所以線段的最小值為，故選：19拋物線的焦點(diǎn)為，的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)則的最小值為A1BCD【解答】解：由題意可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)作準(zhǔn)線，所以，因?yàn)?，所以，求的最小值等價(jià)于求的最大值，設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，最小值為，所以最小值為故選：20已知為曲線上一點(diǎn)，則的最小值為A6BC5D【解答】解：由題意可得，曲線是拋物線的右半部分且是焦點(diǎn)，為曲線上一點(diǎn)，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，則，要使其最小，則

9、即為到準(zhǔn)線的距離，的最小值為故選：21已知過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為A5B6C7D8【解答】解：由題意，得，故直線的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，則，故，過作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可得：，故選：22已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為ABC2D1【解答】解：設(shè)，由拋物線定義，得，在梯形中，由余弦定理得，配方得，又，得到（當(dāng)時(shí)取等號）則的最小值為1故選：23已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則的最小值為ABCD6【解答】解：作軸于點(diǎn)，軸于設(shè)，由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線的方程為，作于

10、，于，由拋物線的定義可得，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，所以，綜上，的最小值為，故選：24已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的周長的最小值為A3B1CD【解答】解由題意可得在拋物線的內(nèi)部，過向拋物線的準(zhǔn)線作垂線交準(zhǔn)線于交拋物線于，中，三角形的周長為：，由拋物線的性質(zhì)，可得，由拋物線的方程可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，所以三角形的周長的最小值為：故選：25拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是A3BCD【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，故選：26已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最小值為A2B4C5D6【解答】解：如圖，解：分別