數(shù)學(xué)方差分析

1、方差分析analysis of variance 一方差分析的意義1.意義H0:1=2=3可靠度成為 (1-0.05)3=0.857H0:1=2=3=4四均數(shù)比較作6次 (1-0.05)6=0.735五均數(shù)比較作10次 (1-0.05)10=0.599六均數(shù)比較作15次 (1-0.05)15=0.463鑒于以上的原因，對多組均數(shù)的比較問題我們采用方差分析（analysis of variance），簡稱ANOVA。方差分析采用F檢驗統(tǒng)計量，也稱F檢驗。2優(yōu)點 不受比較的組數(shù)限制。 可同時分析多個因素的作用。 可分析因素間的交互作用。3應(yīng)用條件 各樣本是相互獨立的隨機樣本 各樣本來自正態(tài)總體 各

2、組總體方差相等，即方差齊二成組設(shè)計的多個樣本均數(shù)比較1基本思想先講述幾個記號：xij表示第i組第j個樣本觀察值， 表示第i組的均數(shù)(= )， 表示總平均(= )例1 某克山病區(qū)測得11例克山病患者與13名健康人的血磷值（mmol/L）如下，問該地急性克山病患者與健康人的血磷值是否不同？患者x1：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11健康人x2：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.8724名患者與健康人的血磷值大小不等，稱這種變異為總變異。

3、可以用總離均差平方和 SST= 及N來反映，總自由度 T=N-1。2個組各組內(nèi)部血磷值也不等，這種變異稱為組內(nèi)變異，其大小可用2組組內(nèi)離均差平方和及各組例數(shù)ni來反映，自由度E=N-k（k是組數(shù)），它反映了隨機誤差。2組樣本均數(shù)也不等，這種變異稱為組間變異，反映了克山病對血磷值的影響和隨機誤差2三者關(guān)系SST=SSA+SSET=A+E3直觀意義檢驗統(tǒng)計量 F統(tǒng)計量具2個自由度: 1, 2如果兩組樣本來自同一總體，即克山病患者與健康人血磷值相同，則理論上F應(yīng)等于1，因為兩種變異都只反映隨機誤差。由于抽樣誤差的影響，F(xiàn)值未必是1，但應(yīng)在1附近。若F較小，我們斷定2組均數(shù)相同，或者說來自同一總體，F(xiàn)

4、較大，推斷不是來自同一總體。例2 某社區(qū)隨機抽取了30名糖尿病患者、IGT異常和正常人進(jìn)行載脂蛋白(mg/dL)測定，結(jié)果如下，問三種人的載脂蛋白有無差別？85.796.0144.0105.2124.5117.0109.5105.1110.096.076.4109.0115.295.3103.95.3110.0123.0110.095.2127.0100.099.0121.0125.6120.0159.0111.0115.0合計xij1160921.512283309.5(x)ni1191030(N)均數(shù)105.45102.39122.80110.32()糖尿病IGT正常人xij106.5xi

5、j2123509.5296045.35153420372974.87(x2)85.796.0144.0105.2124.5117.0109.5105.1110.096.076.4109.0115.295.3103.95.3110.0123.0110.095.2127.0100.099.0121.0125.6120.0159.0111.0115.0合計xij1160921.512283309.5(x)ni1191030(N)均數(shù)105.45102.39122.80110.32()糖尿病IGT正常人xij106.5xij2123509.5296045.35153420372974.87(x2)所有

6、人的載脂蛋白的變異可分解為兩部分：組內(nèi)變異，反映載脂蛋白測定值的隨機誤差和個體差異; 組間變異，反映隨機誤差和不同的生理病理狀態(tài)對載脂蛋白的影響。（1） 建立假設(shè)和確定檢驗水平H0: 三種人載脂蛋白的總體均數(shù)相等, 1=2=3H1: 三組總體均數(shù)不相等=0.05（2）計算C=(x) 2/N=(3309.5) 2/30=365093SST=x2-C=372974.87-365093=7881.87SSE=SST-SSA=7881.87-2384.026=5497.84T=N-1=29 A=k-1=2 E=N-k=30-3=27 MSA=SSA/A =1192.01 MSE=SSE/E =203.

7、62F=MSA/MSE=5.8540得到方差分析表，查表確定P值：（3） 作出推斷結(jié)論按=0.05水平拒絕H0，接受H1，認(rèn)為三種人載脂蛋白的總體均數(shù)不同。三隨機區(qū)組設(shè)計的方差分析隨機區(qū)組設(shè)計又稱配伍組設(shè)計(Random Block Design)。起源：農(nóng)業(yè)在醫(yī)學(xué)研究中，也存在區(qū)組因素，比如動物試驗中動物的窩別、年齡、性別、地區(qū)的差異等。例3 對小白鼠喂以A、B、C三種不同的營養(yǎng)素，目的是了解不同營養(yǎng)素增重的效果，采用隨機區(qū)組設(shè)計方法，以窩別作為劃分區(qū)組的特征，以消除遺傳因素對體重增長的影響。現(xiàn)將同品系同體重的24只小白鼠分為8個區(qū)組，每個區(qū)組3只小白鼠。三周后體重增量結(jié)果（克）如下，問小白

8、鼠經(jīng)三種不同營養(yǎng)素喂養(yǎng)后所增體重有無差別？本例的總變異中除了不同營養(yǎng)素的變異（處理差異）、隨機誤差外，還存在著區(qū)組之間的變異，是由小白鼠的遺傳特征不同所致。xij表示第i個處理組第j個區(qū)組樣本觀察值， 表示第i個處理組的均數(shù)(= )， 表示第j個區(qū)組的均數(shù)(= )， 表示總平均=SS總=SS處理+SS區(qū)組+SS誤差 =總=處理+區(qū)組+誤差 (T=A+B+E) 總=N-1=bk-1 處理=k-1 區(qū)組=b-1 誤差=(k-1)(b-1)(1) 建立假設(shè)和確定檢驗水準(zhǔn)H0: 1=2=3H1: 三組總體均數(shù)不相等=0.05(2) 計算檢驗統(tǒng)計量C=(x)2/N=(1335.9)2/24=74359.

9、53SST=xij 2-C=2681.84 T=23（3）查表確定p值和作出推斷結(jié)論按=0.05水平不拒絕H0，認(rèn)為小白鼠經(jīng)三種不同營養(yǎng)素喂養(yǎng)后所增體重?zé)o差別。注：作方差分析時同樣可以檢驗區(qū)組效應(yīng)，本例區(qū)組效應(yīng)顯著，即不同窩別的小白鼠的增重不全相等。要區(qū)別完全隨機化設(shè)計和隨機區(qū)組設(shè)計例 某湖水不同季節(jié)的氯化物含量測定值如下,問在不同季節(jié)該湖水中氯化物含量有無差別？某湖水中不同季節(jié)氯化物含量測定值(mg/L)春夏秋冬22.619.118.919.022.822.813.616.921.024.517.217.616.918.015.114.820.015.216.613.121.918.414.

10、216.921.520.116.716.221.221.219.614.8某湖水中不同季節(jié)氯化物含量測定值(mg/L)采樣點春夏秋冬122.619.118.919.0222.822.813.616.9321.024.517.217.6416.918.015.114.8520.015.216.613.1621.918.414.216.9721.520.116.716.2821.221.219.614.8方法不當(dāng)會影響統(tǒng)計結(jié)果例 某醫(yī)師為研究脾切除手術(shù)過程中門靜脈壓力kPa的變化，測得以下數(shù)據(jù)，試作分析。脾切除手術(shù)中不同時期的門靜脈壓力kPa病例號切脾后賁門周圍斷流后胃底斷流后13.923.533

11、.5321.861.671.7733.923.924.2145.295.495.6853.533.243.9263.923.924.3173.534.214.3183.533.924.21結(jié)論:Analysis of Variance Procedure Sum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr FGROUP 2 0.4281 0.2141 3.99 0.0425block 7 21.6556 3.0937 57.68 0.0001Error 14 0.7509 0.0536Corrected Total 23 22.8346Analysis

12、 of Variance Procedure Sum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr FGROUP 2 0.4281 0.2141 0.20 0.8198Error 21 22.4065 1.0670Corrected Total 23 22.8346四.多個樣本均數(shù)間的兩兩比較（又稱多重比較）1多個樣本均數(shù)間每兩個均數(shù)的比較適用于：在研究設(shè)計階段未預(yù)先考慮或未預(yù)料到，經(jīng)數(shù)據(jù)結(jié)果的提示后，才決定的多個均數(shù)間的兩兩比較，常見于探索性研究。常用方法是q檢驗（又稱Student-Newman-Keuls法，簡稱SNK法）檢驗統(tǒng)計量 q檢驗界值表見

13、表4，它有兩個自由度，一個是=E，另一個是a，a指將方差分析中的幾組樣本均數(shù)按從小到大順序排列后要比較的A、B兩組所包含的組數(shù)(包含A、B兩組本身)。例（續(xù)例3）對三個人群的載脂蛋白作兩兩比較。H0: 任2個人群的載脂蛋白的總體均數(shù)相等，即A=BH1: AB將3組樣本均數(shù)從小到大（或從大到小）順序排列，并編上組次組次 1 2 3均數(shù) 102.39 105.45 122.80組別 IGT異常 糖尿病患者 正常人 三組均數(shù)比較的q檢驗從p值一欄中可以推斷出結(jié)論，即IGT異常與正常人的載脂蛋白有差別, 糖尿病患者與正常人的載脂蛋白有差別。2多個實驗組與一個對照組均數(shù)間的兩兩比較有是并不要將幾組均數(shù)都

14、一一作比較，而只須將對照組與幾個實驗組作比較。常用的方法有：(1)最小顯著差數(shù)法（LSD法），側(cè)重于減少第二類錯誤，此法精度較差，易把不該判斷為顯著的差異錯判為顯著。例（續(xù)例2） IGT異常與糖尿病患者的比較H0:1=2 H1: 12 =0.05p0.05, 認(rèn)為二者無差別 IGT異常與正常人的比較H0:2=3 H1: 23 =0.05 =270.002p0.005, 認(rèn)為二者有差別（3）Dunnett-t檢驗Dunnett-t檢驗界值表見表5除了以上介紹的三種方法以外，還有：Duncan法、Scheffe法等等。五多個方差的齊性檢驗方差分析中要求各總體的方差相等，所以在作方差分析前，應(yīng)作多個

15、方差的齊性檢驗，通常用Bartlett法，檢驗統(tǒng)計量為：ni為各組樣本例數(shù)，k為組數(shù) N=ni si2 為各組方差， sc2為合并方差?；舅枷耄杭僭O(shè)各總體方差相等，均等于合并方差（各組方差的加權(quán)平均），則各si2與sc2相差不會很大，出現(xiàn)大的x2值的概率P小, 若P，拒絕方差相等的假設(shè)， P值可查 P208的x2界值表。方差不齊時不宜作方差分析，解決方法有：(1)變量變換，使方差齊 （2） 秩和檢驗 （3）近似F檢驗 六變量變換 方差分析和t檢驗要求：方差齊性、正態(tài)分布。有時并不能滿足，上節(jié)已介紹了3種不同的方法。通過變量變換來改變原數(shù)據(jù)分布形式，使之滿足上述條件，經(jīng)過變換，雖然分布形式已改

16、變，但數(shù)據(jù)之間的相對關(guān)系仍保留，可以用變換后的數(shù)據(jù)作統(tǒng)計分析。1平方根變換 y= 適用于各組方差與其均數(shù)之間有某種比例關(guān)系的資料，尤其適用于總體呈Poisson分布的資料，如放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)的放射次數(shù)等表現(xiàn)為稀有現(xiàn)象的計數(shù)資料。2.對數(shù)變換 y=lg x適用于各組標(biāo)準(zhǔn)差與其均數(shù)之間有某種比例關(guān)系的資料，如研究動物的體重等資料，尤其是關(guān)于生長率的資料。當(dāng)數(shù)據(jù)中有0或較小值時，也可y=lg(x+1)某實驗室用三種不同抗原對惡性虐原蟲陽性患者間接熒光抗體的測定結(jié)果如下，問三種抗原測定結(jié)果之間的差別有無顯著性意義？A 1:160 1:160 1:320 1:320 1:640 1:640 1:640 1:640 1:640 1:1280B 1:80 1:160 1:160 1:160 1:160 1:320 1:320 1:320 1:320 1:640C 1:40 1:80 1:80 1:80 1:160 1:160 1:160 1:160 1:320 1:3