帶電粒子在有界勻強磁場中運動的問題DOC

1、2帶電粒子在有界勻強磁場中運動的問題有界勻強磁場是指在局部空間內(nèi)存在著勻強磁場。對磁場邊界約束時，可以使磁場有著多種多樣的邊界形狀，如：單直線邊界、平行直線邊界、矩形邊界、圓形邊界、三角形邊界等。這類問題中一般設(shè)計為：帶電粒子在磁場外以垂直磁場方向的速度進入磁場，在磁場內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運動后離開磁場。粒子進入磁場時速度方向與磁場邊界夾角不同，使粒子運動軌跡不同，導(dǎo)致粒子軌跡與磁場邊界的關(guān)系不同，由此帶來很多臨界問題。1、基本軌跡。（1）單直線邊界磁場（如圖1所示）。帶電粒子垂直磁場進入磁場時。如果垂直磁場邊界進入，粒子作半圓運動后垂直原邊界飛出；如果與磁場邊界成夾角e進入，仍以與磁場邊界夾角

2、e飛出（有兩種軌跡，圖1中若兩軌跡共弦，則ei=e2）帶電粒子在有界磁場中的運動帶電粒子在有界磁場中的運動問題，綜合性較強，解這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運動的知識，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中的圓及解析幾何知識。1。帶電粒子在單邊界磁場中的運動【例題】一個負離子，質(zhì)量為m,電量大小為q,以空室中(如圖11)。磁感應(yīng)強度B的方向與離子的運動方向垂直,并垂直于圖1中紙面向里。O-X(1)求離子進入磁場后到達屏S上時的位置與0點的距離。如果離子進入磁場后經(jīng)過時間t到達位置P，證明:直線0P與離子入射方向之間的夾角6跟t的關(guān)系是OPS圖12，解得rmV所以AO=2mVBqqB2m解析：(1)

3、離子的初速度與勻強磁場的方向垂直在洛侖茲力作用下，做勻速圓周運動。設(shè)圓半徑為r,則據(jù)牛頓第二定律可得：BqV=mtr如圖12所示，離了回到屏S上的位置A與0點的距離為：A0=2r(2)當離子到位置P時，圓心角(見圖12)：Vt叫因為a二20所以。02）平行直線邊界磁場（如圖2所示）。帶電粒子垂直磁場邊界并垂直磁場進入磁場時，速度較小時，作半圓運動后從原邊界飛出；速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切；速度較大時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出。【例題】如圖15所示，一束電子（電量為e）以速度V垂直射入磁感強度為B,寬度為d的勻強磁場中，穿透磁場時速度方向與電子原來入射方

4、向的夾角是30，則電子的質(zhì)量是，穿過磁場的時間Bhh。30。IJIdxV1#*X冥X：iB1:X1X冥;xXXx;OI盧I:X衣XX：I*I解析：電子在磁場中運動，只受洛侖茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因為f丄V,故圓心在電子穿入和穿出磁場時受到洛侖茲力指向交點上，如圖15中的O點，由幾何知識知，AB間圓心角0=30,OB為半徑。r=d/sin30=2d，又由r=mV/Be得m=2dBe/V又AB圓心角是30,穿透時間t=T/12,故t=nd/3Vo帶電粒子在長足夠大的長方形磁場中的運動時要注意臨界條件的分析。如已知帶電粒子的質(zhì)量m和電量e,若要帶電粒子能從磁場的右邊界射出，粒子的速度V

5、必須滿足什么條件？這時必須滿足r=mV/Bed，即VBed/m。（3）矩形邊界磁場（如圖3所示）。帶電粒子垂直磁場邊界并垂直磁場進入磁場時，速度較小時粒子作半圓運動后從原邊界飛出；速度在某一范圍內(nèi)時從側(cè)面邊界飛出；速度為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與對面邊界相切；速度較大時粒子作部分圓周運動從對面邊界飛出?！纠}】長為L的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場，如圖16所示，磁感強度為B板間距離也為L，板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子（不計重力），從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度V水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是（）rXXX1XXXXXXX+qA使粒子的速

6、度V5BqL/4m；C使粒子的速度VBqL/m；D使粒子速度BqL/4mvVv5BqL/lm。Or1ier2XXX:X/XXvXXXXXX+q：XX解析：由左手定則判得粒子在磁場中間向上偏，而作勻速圓周運動，很明顯，圓周運動的半徑大于某值ri時粒子可以從極板右邊穿出，而半徑小于某值r2時粒子可從極板的左邊穿出，現(xiàn)在問題歸結(jié)為求粒子能在右邊穿出時r的最小值ri以及粒子在左邊穿出時1r的最大值r2，由幾何知識得：粒子擦著板從右邊穿出時，圓心在0點，有：ri2=L2+(ri-L/2)2得ri=5L/4，又由于ri=mVi/Bq得Vi=5BqL/lm，AV5BqL/4m時粒子能從右邊穿出。粒子擦著上板

7、從左邊穿出時，圓心在0點，有r2=L/4，又由r2=mV2/Bq=L/4得V2=BqL/4mV20)和初速度v的帶電微粒。發(fā)射時，這束帶電微粒分布在0VyV2R的區(qū)間內(nèi)。已知重力加速度大小為g。從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區(qū)域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應(yīng)強度的大小與方向。請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由。在這束帶電磁微粒初速度變?yōu)?v,那么它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由。mv答案（1）-qR；方向垂直于紙面向外（2）見解析（3）與x同相交的區(qū)域范圍是x0.解析】本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運動。帶電粒子平行于x軸從C點進入磁場，

8、說明帶電微粒所受重力和電場力平衡。設(shè)電場強度大小為E，由mg二qE匸mg可得E=-方向沿y軸正方向。帶電微粒進入磁場后，將做圓周運動。且r=Rmv2如圖（a）所示,設(shè)磁感應(yīng)強度大小為B。由qvB=丁B_mv得_qR方向垂直于紙面向外（2）這束帶電微粒都通過坐標原點。解析：從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動。如圖b示，若P點與b點的連線與y軸的夾角為e,其圓心Q的坐標為（-RsinO，Rcos8）,圓周運動軌跡方程為（x+Rsin0）2+（y一Rcos0）2=R2而磁場的邊界是圓心坐標為（0，R）的圓周，其方程為X2+（Y-R2）=R2聯(lián)立以上兩式知：帶電微粒做圓周

9、運動的軌跡與磁場邊界的交點為x=-Rsin6x=0y=R(1+cos6)或y=0坐標為-RsinO,R(1+cosO)的點就是P點，須舍去。由此可見，這束帶電微粒都是通過坐標原點后離開磁場的。(3)這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域是x0帶電微粒在磁場中經(jīng)過一段半徑為“凸2R)的圓弧運動后，將在y軸的右方(x0)的區(qū)域離開磁場并做勻速直線運動，如圖c所示?？拷麺點發(fā)射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向x軸正方向的無窮遠處；靠近N點發(fā)射出來的帶電微粒會在靠近原點之處穿出磁場。所以，這束帶電微粒與x同相交的區(qū)域范圍是x0.5、帶電粒子在環(huán)狀磁場中的運動【例題】核聚變反應(yīng)需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件

10、下高速運動的離子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核反應(yīng)），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1=05m，外半徑R2=10m,磁場的磁感強度B=10T,若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4x107c/kg,中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個方向的速度。試計算（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁場的最大速度。解析：（1）要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切，軌跡如圖18所示。11

11、21解得r二375mV2Bqr由BqV=得V=H1=1.5x107m/s1r1m1所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度為V1=1-5x107m/s。(2)當粒子以V2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時，則以V1速度沿各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界，如圖19所示。由圖中知r22V2=m_j_2r2V=2=l.Ox107m/s得2m所以所有粒子不能穿越磁場的最大速度V二1.0X107m/s26、帶電粒子在“綠葉形”磁場中的運動【例題】如圖所示，在xoy平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m、電量為e的電子，從坐標原點O不斷以相同的速率V。沿不同方向平行xoy平面射入第I象

12、限?，F(xiàn)加一垂直xoy平面向里、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿X軸正方向運動。求符合條件的磁場的最小面積。（不考慮電子之間的相互作用）圖20解析：如圖21所示，電子在磁場中做勻速圓周運動，半徑為RmV-Beo。在由O點射入第I象限的所有電子中，沿y軸正方向射出的電子轉(zhuǎn)過1/4速度變?yōu)檠豖軸正方向，這條軌跡為磁場區(qū)域的上邊界。下面確定磁場區(qū)域的下邊界。設(shè)某電子做勻速圓周運動的圓心0/與O點的連線與y軸正方向夾角為e,若離開磁場時電子速度變?yōu)檠豿軸正方向，其射出點(也就是軌跡與磁場邊界的交點)的坐標為(x,y)。由圖中幾何關(guān)系可得A圖21x=Rsine,y=R-R

13、cose,消去參數(shù)e可知磁場區(qū)域的下邊界滿足的方程為x2+(R-y)2=R2,(x0,y0)這是一個圓的方程，圓心在(0,R)處。磁場區(qū)域為圖中兩條圓弧所圍成的面積。磁場的最小面積為;S=2(1兀R2-1R2)42(兀2)m2V202e2B2以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當區(qū)域中有勻強磁場。電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：（1）此勻強磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強度的方向和大??；2）此勻強磁場區(qū)域的最小面積。解析：（1）設(shè)勻強磁場的磁感應(yīng)強度的大小為B。令圓弧AEC是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運行軌道。電子所受到的磁場的作用力f

14、=evB0應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場的方向應(yīng)垂直于紙面向外。圓弧AEC的圓心在CB邊或其延長線上。依題意,圓心在A、C連線的中垂線上，故B點即為圓心，半徑為按照牛頓定律V2f=m_o_聯(lián)立式得amvoea（2）由（1）中決定的磁感應(yīng)強度的方向和大小，可知自C點垂直于bc入射電子在A點沿DA方向射出,且自BC邊上其它點垂直于入射的電子的運動軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧aec是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界。為了決定該磁場區(qū)域的另一邊界，我們來考察射中A點的電子的速度方向與BA的延長線交角為（不妨設(shè)；）的情形。該電子的運動軌跡qpA如右圖所示。圖中，圓AP的圓心為O，pq垂直于BC邊，由式知

15、，APa的半徑仍為，在D為原點、DC為x軸,AD為y軸的坐標系中,P點的坐標（X，y）為x=asiny=a(zacos)=acos這意味著，在范圍0兀2內(nèi)，P點形成以D為圓心、為半徑的四分之一圓周AFc，它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界。因此，所求的最小勻強磁場區(qū)域時分別以B和D為圓a心、為半徑的兩個四分之一圓周AEC和AFCcC/11、兀一2成的，其面積為S=2（昇a2-2a2）=7、帶電粒子在有“圓孔”的磁場中運動【例題】如圖22所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d,外筒的外半徑為r,在圓筒之外的足夠大

16、區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場,磁感強度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場。一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從緊靠內(nèi)筒且正對狹縫a的S點出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時間的運動之后恰好又回到出發(fā)點S,則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計重力，整個裝置在真空中）X解析：如圖所示，帶電粒子從S點出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動。粒子再回到S點的條件是能沿徑向穿過狹縫d。只要穿過了d,粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進入磁場區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過c、b再回到S點。設(shè)粒子進入磁場

17、區(qū)的速度大小為V，根據(jù)動能定理，有:qU=1mV22設(shè)粒子做勻速圓周運動的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有：BqV=mV2由前面分析可知，要回到S點，粒子從a3到d必經(jīng)過4|所以半徑R必定等于筒的外半徑r，即R=r。由以上各式解得:U=B2qr22m8、帶電粒子在相反方向的兩個有界磁場中的運動【例題】如圖24所示，空間分布著有理想邊界的勻強電場和勻強磁場。左側(cè)勻強電場的場強大小為E、方向水平向右，電場寬度為L；中間區(qū)域勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里。一個質(zhì)量為m、電量為q、不計重力的帶正電的粒子從電場的左邊緣的O點由靜止開始運動，穿過中間磁場區(qū)域進入右側(cè)磁場區(qū)域后，又

18、回到O點，然后重復(fù)上述運動過程。求：Ld:Xlxixlx丨XXBXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX（1）中間磁場區(qū)域的寬度d;（2）帶電粒子從O點開始運動到第一次回到O點所用時間t。解析：（1）帶電粒子在電場中加速，由動能定理，可得：qEL2mv2帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律，可得：由以上兩式，可得R_q?？梢娫趦纱艌鰠^(qū)粒子運動半徑相同，如圖25所示，三段圓弧的圓心組成的三角形qo2o3是等邊三角形，其邊長為2R。所以中間磁場區(qū)域的寬度為d=Rsin60o2）在電場中2VqET2im在中間磁場中運動時間12=3=3qB55nm在右側(cè)磁場中運動時間13丁=3qB,則粒子第一次

19、回到O點的所用時間為t=t+1+1=2123m7mqE3qB。綜上所述，運動的帶電粒子垂直進入有界的勻強磁場，若僅受洛侖茲力作用時，它一定做勻速圓周運動，這類問題雖然比較復(fù)雜，但只要準確地畫出軌跡圖，并靈活運用幾何知識和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運動時間不太難5.如圖14所示,邊長為L的等邊三角形ABC為兩個有界勻強磁場的理想邊界,三角形內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強度大小為B,三角形外的磁場（足夠大）方向垂直紙面向里,磁感應(yīng)強度大小也為B.把粒子源放在頂點A處,它將沿NA的角平分線發(fā)射質(zhì)量為電荷量為q、初速度為v=（粒子重力不計）

20、.求:m、qBLm的負電粒子入入XXXXXXXXXXXX/45XXXXXXXXXXXXXXXXXX從A射出的粒子第一次到達C點所用時間為多少?（2）帶電粒子在題設(shè)的兩個有界磁場中運動的周期.解析(1)帶電粒子垂直進入磁場,做勻速圓周運動XXXXXXXXXXxXXXXXXXXXXXXcxx%XXXA一xvxXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXmv22nmrqBqvB=rT=將已知條件代入有r=L從A點到達C點的運動軌跡如圖所示,可得1tACtAC3qB(2)帶電粒子在一個運動的周期運動軌跡如第(1)問圖所示.粒子通過圓弧從c點運動至B點的時間為T5nm3qBt=cB帶電粒子

21、運動的周期為TABc=3(tAc+tcB)=1mn6nm3qBqB解得Tabc6nm答案(26(21分)圖中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d,電壓為V;兩板之間有勻強磁場，磁場應(yīng)強度大小為0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B,方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點H射入磁場區(qū)域。不計重力1)已知這些離子中的離子甲到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量。(2)已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點3(圖中未畫