現(xiàn)代控制理論的知識(shí)

1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)1-1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一、系統(tǒng)描述中常用的基本概念1.輸入與輸出：由外部施加到系統(tǒng)上的全部激勵(lì)稱為輸入，能從外部測(cè)量到的來自系統(tǒng)的信息稱為輸出。2.松馳性：系統(tǒng)的輸出 由輸入 唯一確定，則稱系統(tǒng)在t0時(shí)刻是松馳的。3.因果性：系統(tǒng)在t時(shí)刻的輸出僅取決于t時(shí)刻和t之前的輸入，而與t時(shí)刻之后的輸入無關(guān)。4.線性:一個(gè)松弛系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何輸入 及任意常數(shù) , 均有 (可加性), (齊次性),則該系統(tǒng)稱為線性的,否則為非線性.二、狀態(tài)、狀態(tài)變量與狀態(tài)空間例：電壓ei電路的輸入量，電容上的電壓eo為電路的輸出量，R、L、C分別為電路的電阻、電感和電容。 求解這個(gè)微分方程組，出

2、現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)，它們由初始條件，我們要知道i(t)和eo(t)的變化規(guī)律，必須知道他們的初始值及電路在t=t0時(shí)的輸入量ei(t)。 因此i(t)和eo(t)就可以表征這個(gè)電路的行為，這組信息量就稱為狀態(tài)。2. 狀態(tài)空間的基本概念1).狀態(tài):表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的信息和行為4).狀態(tài)空間：以n個(gè)狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間.3).狀態(tài)向量：把n個(gè)狀態(tài)變量看作向量x(t)的分量，即 2).狀態(tài)變量：完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小一組變量 狀態(tài)空間中的每一個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的某一特定狀態(tài)。反過來，系統(tǒng)在任意時(shí)刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)來表示。顯然，系統(tǒng)在不同時(shí)刻下的狀態(tài)，可用狀態(tài)空間中的一條軌跡表示

3、。軌跡的形狀完全由系統(tǒng)在 時(shí)刻的初態(tài) ， 時(shí)的輸入函數(shù)，及系統(tǒng)本身的動(dòng)力學(xué)特性所決定。 3. 狀態(tài)空間表達(dá)式1).定義：描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組。書寫方便，如下形式2)狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入量之間的關(guān)系，它是由狀態(tài)變量、輸入量等構(gòu)成的一階微分方程給，如我們上圖的方程給可改寫：3)輸出方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸出量之間的關(guān)系，換為電路的輸出方程或觀測(cè)方程，它是一個(gè)矩陣代數(shù)方程。狀態(tài)方程和輸出方程合起來稱作系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。令：改寫為A為2x2型系統(tǒng)矩陣，b為2x1型輸入矩陣，C為1x2型輸出矩陣.可將這個(gè)例子推廣到一般情況，x為n維狀態(tài)向量,u為m維輸入向量，y

4、為p維輸出向量，如下圖所示：系統(tǒng)方程為：A為nxn型系數(shù)矩陣，B為nxr型輸入矩陣， C為mxn型輸出矩陣，D為mxr型直接傳輸矩陣。4. 其它系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng)5.狀態(tài)變量的選擇 要建立狀態(tài)空間表達(dá)式，必須先選取狀態(tài)變量，狀態(tài)變量一定要是系統(tǒng)中相互獨(dú)立的變量。對(duì)于同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量選取的不同，所建立的狀態(tài)空間表達(dá)式也不同，通常選取狀態(tài)變量采取以下三種途徑： 1、選擇系統(tǒng)中貯能元件的輸出物理量作為狀態(tài)變量，然后根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)用物理定律列寫出狀態(tài)方程。 2、選擇系統(tǒng)的輸出及其各階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。 3、選擇能使?fàn)顟B(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量作為狀態(tài)變量。 注意：狀態(tài)變量

5、選取的非唯一性。同一個(gè)系統(tǒng)可以選取不同變量作為狀態(tài)變量。但狀態(tài)變量的數(shù)目是唯一的。例1.如下圖所示的電路，試以電壓u為輸入，以電容C上的電壓uC為輸出變量，列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式。 解： 圖電路的貯能元件有電感L1，L2和電容C。根據(jù)基爾霍夫定律列寫電路方程： 考慮到i1、i2、uc這三個(gè)變量是獨(dú)立的，故可確定為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，經(jīng)整理上式變?yōu)?現(xiàn)在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，將上式寫成矩陣形式即為狀態(tài)方程。 由于前面已指出電容上的電壓uc為輸出變量，故系統(tǒng)的輸出方程為: 例2求圖示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式解：由牛頓力學(xué) 可知令動(dòng)態(tài)方程如下狀態(tài)空間表達(dá)式為： 例3.機(jī)械平移系統(tǒng) 如下圖所

6、示為一加速度儀的原理結(jié)構(gòu)圖。它可以指示出其殼體相對(duì)于慣性空間（如地球）的加速度 。設(shè):xi 為殼體相對(duì)于慣性空間的位移;x0 為質(zhì)量m相對(duì)于慣性空間的位移;y= xi - x0 為質(zhì)量m相對(duì)于殼體的位移.解：此題目的在于用m相對(duì)于殼體的位移計(jì)算加速度。此題的加速度為 根據(jù)牛頓第二定律，這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為:將 x0 = xi- y代入,我們就可以得到關(guān)于加速度儀以變量y為輸出的微分方程:以質(zhì)量m相對(duì)于殼體的位移y作為狀態(tài)變量x1，m相對(duì)于殼體的速度為狀態(tài)變量x2，并將質(zhì)量m相對(duì)于加速度儀外殼的位移y作為系統(tǒng)輸出，以加速度儀外殼相對(duì)于地面的加速度 作為系統(tǒng)輸入u，那么有：寫成矢量形式為：當(dāng)加速度

7、 為常數(shù)，且系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀況時(shí)，由前式 ，可得所以我們可以通過y的讀數(shù)，確定運(yùn)動(dòng)物體的加速度值。例4 多輸入多輸出系統(tǒng)（MIMO） 如下圖所示機(jī)械系統(tǒng),質(zhì)量m1，m2各受到f1，f2的作用，其相對(duì)靜平衡位置的位移分別為x1，x2。解：根據(jù)牛頓定律，分別對(duì)m1，m2進(jìn)行受力分析，我們有：取x1、x2、v1、v2為系統(tǒng)四個(gè)狀態(tài)變量x1、x2、x3、x4，f1(t)、f2(t)為系統(tǒng)兩個(gè)控制輸入u1(t)、u2(t)，則有狀態(tài)方程：如果取x1、x2為系統(tǒng)的兩個(gè)輸出，即 動(dòng)態(tài)方程如下:常用拉氏變換表 實(shí)微分定理 積分定理 當(dāng)初始條件為零時(shí)：1-2狀態(tài)空間模型的圖示法 一、概念： 1. 狀態(tài)結(jié)構(gòu)基本元件

8、 K (a) 積分器 (b)加法器 (c) 比例器2. 一階標(biāo)量微分方程 的一階系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖 bau 3.多輸入多輸出狀態(tài)方程 BADC狀態(tài)方程表達(dá)式為4.單輸入單輸出（SISO）線性定常系統(tǒng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為 例1.狀態(tài)空間表達(dá)式如下，求狀態(tài)圖。解：作狀態(tài)圖時(shí)，首先確定有幾個(gè)積分器。由題可得： 故由題可得 的表達(dá)式，可由加法器和比例器實(shí)現(xiàn)。例2.狀態(tài)空間表達(dá)式如下，求狀態(tài)圖。解：作狀態(tài)圖時(shí)，首先確定有幾個(gè)積分器。由題可得 的表達(dá)式，可由加法器和比例器實(shí)現(xiàn)。例3.電路如下圖所示，如果電壓u1,u2為輸入量，UA為輸出量，選擇i1(t)和i2(t)為狀態(tài)變量，建立電路的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：

9、圖電路的貯能元件有電感L1，L2。根據(jù)基爾霍夫定律列寫電路方程： 整理：令i1(t)為x1,i2(t)為x2,則由上式可得：則狀態(tài)方程為：輸出方程為：1-3線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 一、求解方法:微分方程、結(jié)構(gòu)圖、傳遞函數(shù)二、由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式1.系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)選取系統(tǒng)輸出變量 為狀態(tài)變量，令狀態(tài)空間表達(dá)式：例1： ，求狀態(tài)空間表達(dá)式解：選則： 狀態(tài)空間表達(dá)式為 狀態(tài)圖為：那么對(duì)于方程：2.系統(tǒng)輸入量中含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)如果單輸入單輸出系統(tǒng)的微分方程為： 如果此時(shí)同輸入量中無導(dǎo)數(shù)項(xiàng)一樣選取狀態(tài)變量，則在最后一個(gè)方程中包含有u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。一般輸入量中導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的次數(shù)

10、n。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可以選擇如下的一組狀態(tài)變量。即：將y(n)表達(dá)式代入，可得： 選擇 ，使得上式中u的各階導(dǎo) 數(shù)項(xiàng)的系數(shù)都等于0，即可解得：最后可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程：可寫成向量-矩陣的形式：例1： ， 試寫出它 的狀態(tài)空間表達(dá)式。 解： 則：狀態(tài)空間表達(dá)式為 則結(jié)構(gòu)圖為：那么對(duì)于方程：例2 求方程 ，狀態(tài)空間表達(dá)式。解：此題首先整理為標(biāo)準(zhǔn)型:三、由動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式例：動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，取x1,x2,x3為狀態(tài)變量，試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：由圖中各量的關(guān)系可寫出以下方程：(P2)1-2上題是利用微分方程的關(guān)系來解題，我們也可將動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換來求狀

11、態(tài)空間表達(dá)式。其步驟如下：第一步：在系統(tǒng)方塊圖的基礎(chǔ)上，將各環(huán)節(jié)通過等效變換分解，使得整個(gè)系統(tǒng)只有標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）、比例器（k）及其綜合器（加法器）組成，這三種基本器件通過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式組成整個(gè)控制系統(tǒng)。第二步：將上述調(diào)整過的方塊圖中的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）的輸出作為一個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量xi，積分器的輸入端就是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)dxi/dt。第三步：根據(jù)調(diào)整過的方塊圖中各信號(hào)的關(guān)系，可以寫出每個(gè)狀態(tài)變量的一階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)需要指定輸出變量，即可以從方塊圖寫出系統(tǒng)的輸出方程。例1、某控制系統(tǒng)的方塊圖如下圖所示，試求出其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：該系統(tǒng)主要有一個(gè)一階

12、慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分器組成。對(duì)于一階慣性環(huán)節(jié)，我們可以通過等效變換，轉(zhuǎn)化為一個(gè)前向通道為一標(biāo)準(zhǔn)積分器的反饋系統(tǒng)。如下所示：則上圖可等效為：我們?nèi)∶總€(gè)積分器的輸出端信號(hào)為狀態(tài)變量x1和x2，積分器的輸入端即 和 。從圖可得系統(tǒng)狀態(tài)方程：取y為系統(tǒng)輸出，輸出方程為：y=x1 寫成矢量形式，我們得到系統(tǒng)空間表達(dá)式：例2、某控制系統(tǒng)的方塊圖如下圖所示，試求出其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：該系統(tǒng)主要有兩個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)組成。上圖可等效為：進(jìn)一步，我們可以得到由標(biāo)準(zhǔn)積分器組成的等效動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。依次取各個(gè)積分器的輸出端信號(hào)為系統(tǒng)狀態(tài)變量x1、x2、x3、x4，由可得系統(tǒng)狀態(tài)方程：系統(tǒng)輸出方程：y=x1

13、?？臻g表達(dá)式為：四、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式設(shè)單輸入/輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：不失一般性，我們假設(shè)m=n，則代入上式： 上式中的系數(shù)整理得到： 如果把 寫成串聯(lián)分解的形式引入中間變量Z選取狀態(tài)變量則狀態(tài)方程為：輸出方程為：選取狀態(tài)變量則狀態(tài)方程為：輸出方程為：寫成向量-矩陣形式為：例：P3頁 圖1-2系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：由題可得：故狀態(tài)方程為：故輸出方程為：例：P3頁 圖1-3系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：由題可得：故狀態(tài)方程為：故輸出方程為：例.求方程 狀態(tài)空間表達(dá)式。解：可直接求解：則狀態(tài)空間表達(dá)式：作業(yè)：1.求下列微分方程的狀態(tài)空間方程。2.求下列傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間方程1-4傳遞函數(shù)矩

14、陣 一、傳遞函數(shù) 經(jīng)典控制理論中，傳遞函數(shù)是系統(tǒng)初始松馳條件下，系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。 若給出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，如何求傳遞函數(shù)？例：?jiǎn)屋斎?單輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式如下：解：等式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到其中，x(0)為系統(tǒng)初態(tài)，整理可得：例1.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式如下：解：由題可得：二、傳遞函數(shù)矩陣解：等式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉普拉斯變換，方法同上，可得到：例2.系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式如下：解：由題可得：三、閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示：四、傳遞函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)，見書P10五、正則有理傳遞函數(shù)定義：當(dāng)s為 時(shí)， 是有限常量，則有理函數(shù)是正則的。若0，則是嚴(yán)

15、格正則的。非正則有理函數(shù)描述的系統(tǒng)在實(shí)際的控制中是不能應(yīng)用的。例如：1-5離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 一、離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 1、定義：離散時(shí)間系統(tǒng)就是系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)只在某些離散時(shí)刻取值的系統(tǒng)。與離散時(shí)間系統(tǒng)相關(guān)的數(shù)學(xué)方法有差分方程，信號(hào)Z變換，以及系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。 假定離散時(shí)間是等間隔的并以T記之，T稱為采樣周期。用u(k)代表u(kT)，y(k)表示y(kT)。2、差分方程中不含有輸入量差分項(xiàng)，如下：若選取y(k)，y(k+1)，y(k+2)作為狀態(tài)變量，令則系統(tǒng)狀態(tài)方程：記成向量、矩陣形式：輸出方程：結(jié)論可以推廣到n階線性差分方程所描述的系統(tǒng) ：其狀態(tài)方程、輸出方程如下：例： 已知離

16、散系統(tǒng)方程如下，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：由題可得：3、差分方程中含有輸入量差分項(xiàng)，如下：采取類似于連續(xù)系統(tǒng)選擇狀態(tài)變量的方法：系統(tǒng)狀態(tài)方程為：系統(tǒng)輸出方程為：結(jié)論可以推廣到n階線性差分方程所描述的系統(tǒng)例：求下列方程的狀態(tài)空間表達(dá)式解：由題可得：則狀態(tài)空間表達(dá)式：二、脈沖傳遞函數(shù)矩陣對(duì)于差分方程，能過Z變換，可得到系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。我們也可通過狀態(tài)空間表達(dá)式，得到系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式如下：對(duì)等式兩邊進(jìn)行Z變換，可得：例：線性定常離散系統(tǒng)方程為：解：由題可得：1-6線性變換 一、等價(jià)系統(tǒng)方程對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)，選擇不同的狀態(tài)變量，其狀態(tài)空間表達(dá)式也不相同。它們都是系統(tǒng)的狀態(tài)空

17、間描述，其之間必然存在著某種關(guān)系。引入一個(gè)n x n型非奇異變換矩陣P二、線性變換基本性質(zhì)1、線性變換不改變系統(tǒng)特征值。2、線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。三、化系數(shù)矩陣A為標(biāo)準(zhǔn)形選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q陣，可以使系數(shù)矩陣A化為特征值為其元素的對(duì)角形（特征值為互異），約當(dāng)形（特征值有重根），共軛模態(tài)形（特征值具有共軛復(fù)根）。變換矩陣由A的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量來構(gòu)成。1、化A陣為對(duì)角陣解：計(jì)算各特征值的特征向量，并構(gòu)成變換矩陣P計(jì)算特征向量解：計(jì)算特征值及特征向量典型矩陣底友矩 陣左友矩陣若A的特征值是復(fù)數(shù)，計(jì)算方法類似。2、化A陣為約當(dāng)陣若n x n矩陣A有n個(gè)重特征值 ，并且 中對(duì)應(yīng)一特征向量，很

18、顯然，此時(shí)A陣不能化成對(duì)角陣。只能通過線性變換化成如下形式的約當(dāng)陣。q2,q3,qn為對(duì)應(yīng)于的廣義特征向量。解：求特征值：3、狀態(tài)方程的共軛模態(tài)形1-7組合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 一、定義：由一些子系統(tǒng)按照一定的規(guī)律聯(lián)結(jié)構(gòu)成的系統(tǒng)稱之為組合系統(tǒng)。子系統(tǒng)的聯(lián)結(jié)方式有并聯(lián)、串聯(lián)和反饋三種聯(lián)結(jié)形式。為了簡(jiǎn)便并不失一般性，我們來討論兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的組合系統(tǒng)。二、聯(lián)結(jié)：1、并聯(lián)聯(lián)結(jié)2、串聯(lián)聯(lián)結(jié)故S1在前，S2在后串聯(lián)連接而成的組合系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為：G2(s)與G1(s)的次序不能隨意改變。3、反饋聯(lián)結(jié)故反饋后的組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：故組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：例1：求下式關(guān)聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。例2：已知系統(tǒng)

19、的輸出輸入方程為：求狀態(tài)空間表達(dá)式。解：對(duì)于此系統(tǒng)可看作是兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)組成。對(duì)于子系統(tǒng)S1其狀態(tài)空間表達(dá)式為：按照串聯(lián)的組合系統(tǒng)的狀態(tài)模型式：于是組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：例3.求如圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：對(duì)于子系統(tǒng)S1，其狀態(tài)方程和輸出方程為：對(duì)于子系統(tǒng)S2，其狀態(tài)方程和輸出方程為：狀態(tài)空間表達(dá)式為：1-8線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 一、齊次狀態(tài)方程:系統(tǒng)輸入量為0時(shí)的狀態(tài)方程，如下式所示：表示初始時(shí)刻t0=0,初始狀態(tài)為x0先復(fù)習(xí)標(biāo)量微分方程的解。設(shè)標(biāo)量微分方程為 拉氏變換 拉氏反變換 標(biāo)量微分方程可以認(rèn)為是矩陣微分方程當(dāng)n=1時(shí)的特征 ，可仿照微分方程求解的形式求狀態(tài)方程的解，可

20、參看P5。n階線性定常齊次狀態(tài)方程的解為： n階線性定常齊次狀態(tài)方程的解為 齊次狀態(tài)方程解的物理意義是 將系統(tǒng)從初始時(shí)刻的初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到 時(shí)刻的狀態(tài) 。故 又稱為定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 由于系統(tǒng)無輸入量，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)x(t)是由系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)來激勵(lì)的，因此運(yùn)動(dòng)可稱為自由運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)行的軌線是由 決定的， 包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)形態(tài)的全部信息，完全表征了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)特征。 例：齊次狀態(tài)方程的解。解：由定義可得：二、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)例：已知某系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣 ， 求A。解：由性質(zhì)1及性質(zhì)4，可得：三、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解1、定義法:2、應(yīng)用拉普拉斯變換法計(jì)算 ：例：線性定常系統(tǒng)齊次狀

21、態(tài)方程為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆-1(t）。 解：對(duì)于該系統(tǒng) 其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣由下式確定 由于 其逆矩陣為 因此 由于-1（t）=(-t)，故可求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆為3、應(yīng)用凱萊-哈密頓定理計(jì)算 ：哈密頓定理：nxn矩陣A滿足自身的特征方程，即A陣的特征多項(xiàng)式是A的零化多項(xiàng)式。顯然對(duì)A的n個(gè)特征值 ，有 根據(jù)Cayley-Hamilton定理有 :這里可以看出矩陣A與 具有同等地位。 移項(xiàng) 上式表明， 的線性組合。 顯然有：因此：那我們就需要計(jì)算系數(shù)，就可確定轉(zhuǎn)移矩陣1)特征值互異時(shí)，應(yīng)用凱萊-哈密頓定理， 和A均是特征多項(xiàng)式的零根，因此 滿足下式： 當(dāng)i=1,2n時(shí)，則有下式：例：線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t) 。 解：計(jì)算特征值：2)A的特征值均相同時(shí)，設(shè)A的特征值為 ，則ai(t)的計(jì)算公式如下：3)當(dāng)A的n個(gè)特征值有重特征值又有互異特征值時(shí)，ai(t)由上兩式確定。例：求下式的轉(zhuǎn)移矩陣。解：