大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典課件10-7

1、第七節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度一.斯托克斯公式定理1: 設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線,是以為邊界的分片光滑的有向曲面,的正向與的側(cè)符合右手法則,函數(shù)P(x,y,z),Q(xY,z),R(x,y,z)在包含曲面在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有:注意: 斯托克斯公式是格林公式的推廣; 斯托克斯公式把曲面上的曲面積分與沿著的邊界曲線的曲線積分聯(lián)系起來.證明:把斯托克斯公式分成三式現(xiàn)在證明(1)式:xyz:z=f(x,y)0CDxy條件:假定與平行于z軸的直線相交不多于一點(diǎn),并設(shè)為曲面z=f(x,y)的上側(cè),的正向邊界曲線在xoy面上的投影為平面有向曲線C,C所圍成的閉區(qū)域為Dxy.證

2、明思路:先把(1)式左邊化為閉區(qū)域Dxy上的二重積分,再通過格林公式與曲線積分聯(lián)系.(1)式左邊:因為的法向量的方向余弦為:(cosds=dxdy)上式右端曲面積分化二重積分時,z用f(x,y)代替,由復(fù)合函數(shù)微分法,有代入上式右端,得到由格林公式,上式右端的二重積分可化為沿閉區(qū)域Dxy的邊界C的曲線積分,即成立成立(此時,px,y,f(x,y)在C上點(diǎn)(x,y)處的值與p(x,y,z)在上對應(yīng)點(diǎn)(x,Y,z)處的值是一樣的,且兩曲線上的對應(yīng)小弧段在x軸上的投影也一樣) 若取下側(cè),也相應(yīng)改成相反方向,上式仍然成立,同樣可證明其余二式:三式相加,得到斯托克斯公式成立2. 曲面與平行于z軸的直線的

3、交點(diǎn)多于一個的情況: 可作輔助曲面把曲面分為幾部分,因沿輔助曲線而方向相反的兩個曲線積分相加時正好抵消,故對這一類曲面,公式仍然成立.3. 斯托克斯公式的行列式形式 為了便于記憶,斯托克斯公式可寫為以下的形式注意:在行列式展開中,把“積”理解為行列式的展開式為:上式即為斯托克斯公式左端的被積表達(dá)式.當(dāng)然,利用兩類曲面積分的聯(lián)系,可得到斯托克斯公式行列式的另一表達(dá)式:其中n=cos,cos,cos為有向曲面的單位法向量.注意:若是xoy平面上的一平面閉區(qū)域,斯托克斯公式就變成格林公式,因此,格林公式是 斯托克斯公式的一個特殊情況111xyzn0Dxy例1 利用斯托克斯公式計算曲線積分被三個被三個

4、坐標(biāo)面所截成的三角形的整個邊界,它的正向與這個三角形上側(cè)的法向量之間符合右手法則.解:按斯托克斯公式被三個由于的法向量的三個方向余弦都為正,又由于對稱性,上式右端為:其中Dxy為xoy平面上由直線x+y=1及兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形閉區(qū)域.它的投影面積為1/2.故例2 利用斯托克斯公式計算曲線積分(0,1,0)(0,0,1)zxy(1,0,0)其中是用平面x+y+z=3/2截立方體:0 x1, 0y1, 0z1的表面所得的截痕,若從ox軸的正向看去,取逆時針方向o(1,1/2,0)(0,1,0)(0,0,1)zxy(1,0,0)o解:取為平面x+y+z=3/2的上側(cè)被所圍的部分,的單位法向量(1

5、,1/2,0)因在上,x+y+z=3/2xyX+y=3/2X+y=1/2111/21/2其中Dxy為在xoy平面上的投影區(qū)域, xy為Dxy的面積例3 計算其中L是x2+y2+z2=R2 和x+z=R的交線,L的正向和矢量n=i+k 成右手系分析:本題可為直接利用閉曲線積分計算,也可利用斯托克斯公式計算.方法一: 把曲線積分化為對x的定積分.我們把積分曲線指明方向(如圖,紅的尖頭)在L1(當(dāng)x沿正向從R到0時),y為正的,在L2,x由0到R時Y為負(fù)的.xyzRRnL1L2xyzRRnL1L2把閉曲線積分化為對x的定積分時,往往會出現(xiàn)雙值函數(shù)(這里是y2=2xR-2x2 )積分需要分段進(jìn)行.顯然

6、是比較麻煩. 上面的計算是給大家一個最基本的處理這類問題的方法.方法二 把積分曲線用參數(shù)方程表示,把原積分表示為對參數(shù)的定積分引入?yún)?shù)t,把曲線積分表示為如下的參數(shù)方程方法三: 利用斯托克斯公式,把閉曲線的積分化為在閉曲面上對坐標(biāo)的曲面積分xyzRRnL1L2因為平面x+z=R在xoz平面上的投影為一直線直線的面積為0因為球和平面的交線在xoy平面和yoz平面上的投影相同,由上面分析,球面x2+y2+z2=R2和平面x+z=R的交線在xoy平面的投影是一橢圓,它的面積為ab,其中a為長軸的半徑,b為短軸的半徑故它們相等二.空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件 在第三節(jié)中,利用格林公式推出平面曲線積分與

7、路徑無關(guān)的條件完全類似地,利用斯托克斯公式,可推出空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 空間曲線積分與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿任意閉曲線的曲線積分為零關(guān)于空間曲線積分在什么條件下與路徑無關(guān)的問題,有下面的結(jié)論定理2 設(shè)空間區(qū)域G是唯一單連通域,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則空間曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是在G內(nèi)恒成立證明: 如果等式 (5)在G內(nèi)恒成立,則由斯托克斯公式(1)立即看出,沿閉曲線的曲線積分為零,因此條件是充分的.反之,設(shè)沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零,若G內(nèi)有一點(diǎn)M0使(5)式中的三個等式不完

8、全成立,例如 .過點(diǎn)M0(x0,y0,z0)作平面z=z0,并在這個平面上取一個以M0為圓心,半徑足夠小的圓形閉區(qū)域K使得在K上恒有不妨假定設(shè)是K的正向邊界曲線.因為在平面z=z0上,所以按定義有又由(1)式有其中是K的面積,因為0,0,從而這結(jié)果與假設(shè)不符合,從而(5)式在G內(nèi)恒成立.證明完畢.應(yīng)用定理2并仿照P149定理3的證明,便得到定理3 設(shè)區(qū)域G是空間一維單連通區(qū)域,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則表達(dá)式Pdx+Qdy+Rdz在G內(nèi)成為某一函數(shù)u(x,y,z)的全微分的充分必要條件是等式(5)在G內(nèi)恒成立當(dāng)條件(5)滿足時,這函數(shù)(

9、不計一常數(shù)差)可用下式求出:或用定積分表示為(按圖取積分路徑)xyzM0(x0,y0,z0)M1(x,y0,z0)M2(x,y,z0)M(x,y,z)其中M0(x0,y0,z0)為G內(nèi)某一定點(diǎn),點(diǎn)M(x,y,z)G其中是螺旋線x=acos,y=asin,z=h/2 (0 2),從z軸正向看為逆時針方向.oxyzAB分析:的起點(diǎn)為A(a,0,0),終點(diǎn)為B(a,0,h). 我們添加直線BA使它和構(gòu)成封閉曲線例3 計算三. 環(huán)流量與旋度 設(shè)斯托克斯公式中的有向曲面在點(diǎn)(x,y,z)處的單位法向量為而的正向邊界曲線在點(diǎn)(x,y,z)處的單位切向量為則斯托克斯公式可用對面積的曲面積分及對弧長的曲線積分

10、表示為設(shè)有向量場在坐標(biāo)軸上的投影分別為的向量叫做向量場A的旋度,記作rot A,即現(xiàn)在,斯托克斯公式可寫成向量形式其中為rot A在的法向量上的投影,而為向量A在的切向量上的投影沿有向閉曲線的曲線積分叫做向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量,斯托克斯公式(9)現(xiàn)在可敘述為:向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量等于向量場A的旋度場通過所張的曲面的通量,這里的正向與的側(cè)應(yīng)符合右手規(guī)則.為了方便記憶,rotA的表達(dá)式(8)可利用行列式記號形式地表示為而最后,我們從力學(xué)角度來對rotA的含義作解釋.設(shè)有剛體繞定軸L轉(zhuǎn)動,角速度為,M為剛體內(nèi)任意一點(diǎn),在定軸L上任取一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),作空間直角坐標(biāo)系,使z軸與定軸L重合,則=k,而點(diǎn)M可用向量r=OM=(x,y,z)來確定.由力學(xué)知道,點(diǎn)M的線速度v可表示為v=r因此有而從速度場v的旋度與旋轉(zhuǎn)角速度的這個關(guān)系可見“旋度”這一名詞的由來. 對坐標(biāo)的曲