一些常見的極限題目與做法

1、（歷年來，求極限都至少占百分之二十五的比例，同時求極限也是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、極小極大值、無窮小量的基礎(chǔ)，因此整理了一些常見難題，此資料主要從網(wǎng)上整理，請勿用于商業(yè)用途）trillSilllim7TOC o 1-5 h z汜t(yī)O0tanrr(1cosjt)ftfinT戈 HYPERLINK l bookmark4=lim、$”疋11XT號Px21 HYPERLINK l bookmark52nm-出to工占2泰勒做法:t更叩卡工-fiU起(./0血一urnwitr=：fhris+fiaiiik-a詐01西IIIIT=/if驢一/11IdM斥TTIIT=隹叫畤一心1吒=厲UII三呢尹!哺尹評護，吒嚇訂-X

2、I.IIH電rmn=尹TTIIT=o7.G(JiCi=0limsin(In(1+2:)冒=0=0vcIn(i+)+lnj=lirri2c:obsin2卄In(1+)+lnj=lim2cosarTeeIn(1+InkJcoslC2lii（血）-In（sin口）f-In（$ina：）SillXJsm（x-1）Inn1=lim:TTl=lirna?Tlsin（x1）（住-書&.+i）TOC o 1-5 h zsin（一1）1L-lim乂一1a?-l+1J一一41二:衛(wèi)一1sinu1=lirn紅*u1+11limas1sill（爼21）X-1sin（護-Ij1叫3+D1衛(wèi)一1ar21=lim（1）ti

3、TOu.2=limT?1a(l斥Tu陰淇乙ni!I12/xfcx：rrqJ-血11+賈顯潔F他闞T0.r丄1lim/x)t,f(T)7(7)LartjiJ哦兀對貳毋1-aaMTA不要和另一個8人0形式混淆了=lim.1+1)|十J鼻_3?01L宀11Inn-ar=uxpf1：-limKS-3-0 x=tixp(1+1)二疋SillXlim=1=limhm2/tO2)皿半Jmto2“r腫+5t2sin2y(3+5滬5+By(3+5滬5+6?/3+05+0/lim(sinrrllim1+(siriT_月沏U曲】wi）如g11tn(sina?1)Lani?lirn(1+slux-1)EiQa，_-嚴

4、f話Lim羅T遼limcosTV27V2COSX叱?xplirnlim=1-lim（護T+訂（1+命+十占（占）卜護（“占-島4（間）（1+1+gU+mU4-4r卡（*）；呎pt號t靜沽sfe+右十？（占川TOC o 1-5 h zI+寺卩+占+曲+訶+市+。（尹）4（一懐一缶+君十0抒“甲十斗十番十擊十古+*）+（-X-丸一擊一命十口忡）1.*嵯+屈十5戶十前門+口（占卄十卜斗_占+缶十（古川5*十宀偽FT時驗諾+護（討的占）*嗆）J_1可S：2r(2-lfn(3+2)3Dlim:ETOU=lim加-1嚴念十Z嚴/2t.)30(肚+2嚴(2“2證+1)0lim(2+級lini宙Too(站+町

5、旳(20)恥(3十0)加(2+0)2和.3202Km11hi(1+：)tj-In(j：+/1+t2)】(!+對,In(1+土)-In(上+d垃)n.(1H-t)In(r+汽十i_j(裳+/】十川)=1In=I血/?InlimIT-MtHf0T(+/L+J2-1)宀常內(nèi)&+逍1+T2=1T(.FT5/1+T2-L)TOC o 1-5 h z工f“r仗+/斗牡1T*e(14-1(14j-*jJ1=Hill:-W-1常(l+寺護討心+o(x4)T聲-#4菇何)-1z(坐+Ji+上工一1)卩十(丄+普一看十。(E)hTJ-0灑+_(1*2；)(丄一;r十專=Jlih3Tb-0(Jl)x+F十哥士叫滬)

6、=ill已丄3(1_1)+(_!+!)；+(1_1Jim=mr2_.,_青斗b)-翱上+的門_丸+晉斗+鞏滬)十越(1書十#7呂斗嘰眞)+晉+口(山護limtanxtan3北lim裁T芳cos3工sm工cosxlirnKT呂11111績尋sm3ttTlimNT弓7T2lim3（號7）FT2+111+22liriiar1limlim迥一jlima?1lim:TT1(1x)lnrrif丄產(chǎn)I)2lim滬注or?1lim7111XT戈+111XT)-1J-J；+111+111XJne：rInzlim-_駛t11rr+Im?+ln-(3；Inx一111x)v1-3Jimt甘血乂_2-=趣1冃上再（血町

7、茫HZ十密*（757+1-3）（2血+1）-32y/2x+1+3/工2+/2y/w2_=lini*己心4Vx-2-V2y/x2+/2=;im“二“一一ttI（工-2）-22rSlira-linin蟲tax-4htaJ2工十1+32（t-4）並*風2M2苗2/2cosHill）+aa2T-2liuilirnITTfllimTElimmmcosalirnrckhcojs.lirnsin（JT口）COSa+COS-snixsinalim丄出Ta.j：切垃dx別np=2co界口=（乂壇a2suiicsinalirnKTflK=2cos口=lim2cos-mTfl11111r*0護111（1+尊）.Il

8、l（1+2二：lim當T02I2丿4一個運用第二類重要極限的形式的極限abcde都是常數(shù)fir+82+3（加1)+42j;424吐i）任+刃1十書1+茲411a.捋iTTOC-近=c2arcsirixarcsinx331limlimlimT0iimftarcsinj：.x卸+。（?/gircftmj:IO呂十（?盧lirn芒mt。尋士。（滬）.(t+x)-(ji+Bz+Cj2):Inn=Dz-n(14:川.h%!十討二和（.F1）二|-寺4呼-普+4（滬*）I十（牛）卄（品）M巧=鸚粘）*豊一十ch)需M+叭劃一（從碗+c）cj4=0豈e方=_舟建0=0）擔=liiii:tT(l1+ax+o3

9、)1+吉也+pj:rb=liinx(1+g)=1+0粋+可0(0!_)(g)+予0一1)(02)(砲)+o尊#1_+QX/1+bx11II1x-0工丄丄.(1+ax)”_(+bx)5=Inn出torr重要極限其實是當?shù)讛?shù)和指數(shù)兩個部分的極限都分別存在時才能使用它的形式判斷重要極限的步驟:第一步是：嚴形式liini1+或lim(l+/x)ch(x)-這里當lim/(工)=0時irn(l+f(:r)趨向Ir0Slimg(x)趨向0時imJr口l-limh(x)為無窮大于是lim(l+/(Q)扁為產(chǎn)形式x=lim（l+*）的極限存在嗎？（存在且等于）irnx的極限存在嗎？（為無窮大）所以limll+

10、iatJX的極限不存在（無窮犬）不可以寫作分子和分母的階數(shù)比較設(shè)lima(x)=OJim(x)=0-tbyxj則G(X)和方(X)為等價無窮小,用Q(兀)b(兀)來表示若lim4=02abX)則a(x)是b(x)的高階無窮小即當x趨向a時,d(x)比b(x)更快趨向0,所以d(x)比b(x而骼至少能展開為心-小的形式這里的斤是系數(shù)/是x-a的階數(shù)nm71-fl工+2T+IX-=lim工一1=lim1x一1（z_l）十（異l_）+（d1）丄+（E，1）=lim也T1（衛(wèi)-1）1+（工+1）十（K，+工+1_）+（血，+工2+蔑+1_）十+（Zn1+TH2卡工+T3+X+1）JT1+lilHr1J

11、：1（T1）+（弗一1）（為+1）十（盤一1）（護+X+1）+m+（礦一1）（爐i+xtl2十肝+護+=+1）z11+3+1）卡（r2+r+1）4-（加+M+衛(wèi)+1佃髀一1+滬一+中7十+#+忑+1=lim寶T1=1+（1+1）十（1+1+L）十（1+1_+1.+L）+（1+1+1+*1|1+2+3+44-x+unn+1）2a2=（打&）（71+6）c?滬=（a一&）（a2+ab+t）2淤一滬-p-/?）（汕+2）=g（辭+a2b+腫+滬）Gm-bm=（a一（嚴一+嚴一絡(luò)+amb2十+abm2+bmr）口=（0.冊（臚+誠+F）=（詼i揚）（護冷+f訕1/十?卽）芮一還二護燼十口中汕十辭=他_召)(址*斗iw+衛(wèi)尊.Letu=h-(kLet/；