高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限

1、關(guān)于高等數(shù)學(xué)數(shù)列的極限第一張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、概念的引入二、數(shù)列的定義三、數(shù)列極限的性質(zhì) 1.3數(shù)列的極限第二張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：播放劉徽一、概念的引入第三張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積第四張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2、截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”第五張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、數(shù)列的定義稱為一個(gè)數(shù)列, 記為 xn .1. 定義 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一項(xiàng) xn

2、 = f (n) 稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng) 數(shù)列也稱為序列第六張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月介紹幾個(gè)數(shù)列xn0242nx1x2 x 例1第七張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月xnx2x1x0 x3第八張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月011x所有的奇數(shù)項(xiàng)所有的偶數(shù)項(xiàng)第九張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月x1M3x1xx4x20所有奇數(shù)項(xiàng)第十張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1xnx3x2x1x0第十一張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注意：1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第十二張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作

3、于2022年6月001二、數(shù)列的極限第十三張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月播放第十四張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月問(wèn)題:當(dāng) 無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:第十五張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十六張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月預(yù)先任意給定一個(gè)正數(shù) 0, 不論它的值多么小,當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí), 數(shù)列 xn 總會(huì)從某一項(xiàng)開(kāi)始, 以后的所有項(xiàng)都落在 U(1, ) 中.（在 U(1, ) 外面只有有限項(xiàng)）第十七張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6

4、月其中,是描述點(diǎn) xn 與點(diǎn) 0 無(wú)限接近的度量標(biāo)準(zhǔn), 它是預(yù)先任意給定的, 與xn的極限存在與否無(wú)關(guān).不存在. 1n)1(e N 描述 n .通過(guò)目標(biāo)不等式來(lái)尋找 N 0 ,N = N().不等式稱為目標(biāo)不等式.第十九張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一般地, 如果數(shù)列xn 當(dāng) n 時(shí), 列xn 當(dāng) n 時(shí)以 a 為極限, 記為xn 可以無(wú)限地趨近某個(gè)常數(shù) a, 則稱數(shù)此時(shí), 也稱數(shù)列是收斂的.第二十張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月若 xn 當(dāng) n 時(shí)沒(méi)有極限, 則稱 xn 發(fā)散.若時(shí),使當(dāng) 記為或此時(shí), 也稱數(shù)列 xn 是收斂的. 極限描述的是變量的變化趨勢(shì) 數(shù)列的項(xiàng)不一

5、定取到它的極限值.數(shù)列極限的定義：第二十一張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注意：第二十二張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月幾何解釋:其中因此：數(shù)列的收斂性及其極限與它前面的有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，改變數(shù)列的前有限項(xiàng)，不改變其收斂性和極限第二十三張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.證所以,注意：例2第二十四張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.例3第二十五張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證作為公式用例4第二十六張，PPT共六

6、十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(P36-6)證例5第二十七張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1.-N語(yǔ)言證明(關(guān)鍵:技巧是適當(dāng)?shù)胤糯蟛坏仁?說(shuō)明: -N語(yǔ)言的應(yīng)用有以下兩個(gè)方面:練習(xí)P36-3及作業(yè)的填空題（練的選?。┑诙藦垼琍PT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2.用“-N”語(yǔ)言, 由一個(gè)已知極限存在的數(shù)列, 證明另一個(gè)數(shù)列的極限.方法: 對(duì)已知極限存在的數(shù)列應(yīng)用“-N”語(yǔ)言, 再?gòu)闹凶冃纬伤C明的數(shù)列極限的“-N”語(yǔ)言形式.(如例4)練習(xí)P36-5，6，7，8第二十九張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性例如,有界無(wú)界第三十張，PPT共六十五頁(yè)，

7、創(chuàng)作于2022年6月定理1 收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件,但不是充分條件.推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. 該定理的逆命題不真, 即有界數(shù)列不一定收斂. 例如, (1) n .第三十一張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月2.唯一性定理2想想, 如何證明它？若數(shù)列 xn 收斂, 則其極限值必唯一.第三十二張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)數(shù)列 xn 收斂, 但其極限不唯一, 不妨設(shè)有：證運(yùn)用反證法任意性常數(shù)由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .第三十三張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 3. 唯一性定理的推論的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂,且均以

8、 a 為極限 . 充分必要條件何謂子數(shù)列？第三十四張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 子數(shù)列的概念 在數(shù)列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各項(xiàng)原來(lái)的先后次序不變, 自左往右任意選取無(wú)窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列, 稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列, 記為 唯一性定理的推論往往用來(lái)證明或判斷數(shù)列極限不存在第三十五張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例6解取子數(shù)列：第三十六張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例7解利用函數(shù)的周期性, 在 xn 中取兩個(gè)子數(shù)列:第三十七張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何

9、意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、唯一性.重點(diǎn)： -N語(yǔ)言應(yīng)用第三十八張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng) 時(shí)，必有 成立第三十九張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月思考題解答（等價(jià)）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒(méi)有采用“適當(dāng)放大” 的值第四十張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月從而 時(shí)，僅有 成立，但不是 的充分條件反而縮小為第四十一張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由均值不等式 或用后面講的夾逼準(zhǔn)則證明 第四十二張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月練 習(xí) 題第四十三張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1、割圓術(shù)：“

10、割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”劉徽一、概念的引入第四十四張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”劉徽一、概念的引入第四十五張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入第四十六張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入第四十七張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“割之彌細(xì)，所

11、失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入第四十八張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入第四十九張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入第五十張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入第五十一張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入第五十二張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、數(shù)列的極限第五十三張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、數(shù)列的極限第五十四張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、數(shù)列的極限第五十五張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、數(shù)列的極限第五十六張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、數(shù)列的極限第五十七張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、數(shù)列的極限第五十八張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、數(shù)列的極限第五十九張，PPT共六十五頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三