高斯公式與斯托克斯公式

1、關(guān)于高斯公式和斯托克斯公式第一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理22.3 設(shè)空間閉區(qū)域 V 由分片光滑的 在V 上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有 閉曲面S 所圍成, S 的方向取外側(cè), 函數(shù) P, Q, R 一、高斯公式首頁第二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月下面先證:證明設(shè)為XY型區(qū)域 , 則首頁第三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月首頁第四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月所以若 不是 XY型區(qū)域 ,則可引進輔助面將其分割成若干個 XY型區(qū)域, 故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負抵消, 在輔助面類似可證 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：首頁第五張，

2、PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例1計算其中 S 是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六個平面所圍的正立方體表面并取外側(cè)為正向.解首頁第六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例計算所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).解其中 S 為錐面與平面首頁第七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) S1 為上半球體的底面，例計算的外側(cè).解其中 S 是上半球面取下側(cè).于是首頁第八張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面積分與沿 S 的邊界曲線 L 的曲線積分之間的聯(lián)系.對曲面 S 的側(cè)與其邊界曲線 L 的方向作如下規(guī)定：設(shè)人站

3、在曲面 S 上的指定一側(cè)，沿邊界曲線 L 行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進的方向為邊界曲線 L 的正向.這個規(guī)定方法也稱為右手法則.首頁第九張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月定理22.4 設(shè)光滑曲面 S 的邊界 L 是按段光滑曲線, 同 L ）上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 S 的側(cè)與 L 的正向符合右手法則, 在 S （連首頁第十張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月注意: 則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果 S 是 xoy 坐標平面上的一塊平面區(qū)域, 首頁第十一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:或用第一類

4、曲面積分表示:首頁第十二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月證情形1 與平行 z 軸的直線只交于 一點, 設(shè)其方程為為確定起見, 不妨設(shè) 取上側(cè) (如圖). 則(利用格林公式) 首頁第十三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月首頁第十四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月因此同理可證三式相加, 即得斯托克斯公式 ;首頁第十五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點多于一個, 則可通過作輔助線面把 分成與z 軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托

5、克斯公式仍成立. 證畢首頁第十六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 利用斯托克斯公式計算積分 其中 L 為平面 x+ y+ z = 1 與各坐標面的交線，解取逆時針方向為正向如圖所示. 記三角形ABC為 S , 取上側(cè), 則 首頁第十七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月首頁第十八張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例 利用斯托克斯公式計算積分 其中 L 為 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的橢圓正向.解記以 L 為邊界的橢圓面為 S , 其方向按右手法則確定，于是有首頁第十九張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月首頁第二十張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于20

6、22年6月例 為柱面 與平面 y = z 的交線,從 z 軸正向看為順時針, 計算解 設(shè)為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 , 且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦首頁第二十一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理22.5 設(shè) 是空間單連通區(qū)域, 函數(shù) P, Q, R 在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個條件相互等價: (1) 對 內(nèi)任一按段光滑閉曲線 L, 有(2) 對 內(nèi)任一按段光滑曲線 L, 與路徑無關(guān)首頁第二十二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月(4) 在 內(nèi)處處有(3) 在 內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使首頁第二十三張，PPT共二十九頁，

7、創(chuàng)作于2022年6月與路徑無關(guān), 并求函數(shù)解 令 積分與路徑無關(guān), 因此 例3 驗證曲線積分首頁第二十四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式首頁第二十五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 斯托克斯公式首頁第二十六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月例計算其中 S 為球面在第一卦限部分 例 設(shè) S 與上例相同，取球面外側(cè)，分別計算下列積分 首頁第二十七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家, 是與阿基米德, 牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家, 他的數(shù)學(xué)成就遍及各個領(lǐng)域 , 在數(shù)論、 級數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻, 他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 地測量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、 曲面論和位勢論等. 他在學(xué)術(shù)上十分謹慎, 原則: 代數(shù)、非歐幾何、 微