數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)9

1、數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)號(hào)：姓名：實(shí)驗(yàn)九：插值與擬合21.用給定的多項(xiàng)式，如y二x3-6x2+5x-3,產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,.,m,再在yi上添加隨機(jī)干擾(可用rand產(chǎn)生0,1區(qū)間均勻分布隨機(jī)數(shù)，或用randn產(chǎn)生N(0,1)分布隨機(jī)數(shù))，然后用xi和添加了隨機(jī)干擾的yi作3次多項(xiàng)式擬合，與原系數(shù)比較。如果作2或4次多項(xiàng)式擬合，結(jié)果如何？解答：Matlab程序如下先建立M文件fun.mfunctionf=fun(x)f=xA3-6*xA2+5*x-3主程序NiheNum.m:forn=1:10fun(n);end在yi上添加隨機(jī)干擾后產(chǎn)生的數(shù)據(jù)：建立M文件addDistur

2、b.mforn=1:10y=fun(n)+randend用所得的數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合：x=1:10;y=-2.940-8.9682-14.7231-14.9538-2.902927.823581.6948165.3171285.9502;A=polyfit(x,y,3)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r)作2次多項(xiàng)式擬合：x=1:10;y=-2.940-8.9682-14.7231-14.9538-2.902927.823581.6948165.3171285.9502;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r

3、)作4次多項(xiàng)式擬合：x=1:10;y=-2.940-8.9682-14.7231-14.9538-2.902927.823581.6948165.3171285.9502;A=polyfit(x,y,4)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r)結(jié)果分析：以給定的多項(xiàng)式求出一組值f=-3-9-15-15-32781165285477對(duì)每個(gè)xi求得的相應(yīng)yi的值的列表如下yi=-3-9-15-15-32781165285477在yi上添加隨即干擾后產(chǎn)生的數(shù)據(jù)：yi=-2.940-8.9682-14.7231-14.9538-2.902927.823581.6948165.

4、3171285.9502447.1988;擬合得到運(yùn)行結(jié)果：A=0.9928-5.89194.6375-2.6296與原函數(shù)1-65-3很接近。3次擬合圖像如圖：2次擬合得到2次多項(xiàng)式系數(shù)A=10.4887-70.911882.5494圖像如圖：由圖像可以看出，3次擬合后的系數(shù)與元系數(shù)很接近，從2次和4次多項(xiàng)式擬合的圖像上可以看出，詞數(shù)越高，圖像的擬合效果越好；反之，次數(shù)越低，圖像的擬合越差。2.用最小二乘法求一形如y=aebx的經(jīng)驗(yàn)公式擬合下表中的數(shù)據(jù)。X.i12345678y；15.320.527.436.649.165.687.87117.6解答：matlab程序如下：x=l:l:8;%

5、al=b,a2=log(a);lnc=lna+b*xc=15.320.527.436.649.165.687.87117.6;y=log(c);m=polyfit(x,y,1)b=m(1)a=exp(m(2)運(yùn)行程序得到結(jié)果：a=11.4358b=0.2913即y=11.43580-29133.(水箱水流量問(wèn)題)許多供水單位由于沒(méi)有測(cè)量流入或流出水箱流量的設(shè)備，因此只能測(cè)量水箱中的水位。試通過(guò)測(cè)得的某時(shí)刻水箱中水位的數(shù)據(jù)，估計(jì)在任意時(shí)刻t(包括水泵灌水期間)流出水箱的流量f(t).給出原始數(shù)據(jù)表(見下表)，其中長(zhǎng)度單位為(1E=30.24cm)。水箱為圓柱體，其直徑為57E.假設(shè)：影響水箱流量

6、的唯一因素是該區(qū)公眾對(duì)水的普通需要；水泵的灌水速度為常數(shù)；從水箱中流出的水的最大流速小于水泵的灌水速度；每天的用水量分布都是相似的；水箱的流水速度可用光滑曲線來(lái)近似；當(dāng)水箱的水容量達(dá)到514x103g時(shí)，開始泵水，達(dá)到677.6x103g時(shí)，便停止泵水。時(shí)間/s水位/10-2E時(shí)間/s水位/10-2E03175446363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275

7、021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水859683475394353550899533397433183445932703340解答一、符號(hào)說(shuō)明t:時(shí)間V:水箱的水量Vt：t時(shí)刻水箱的水量/t:任意t時(shí)刻流出水箱的流量P水泵的泵水速度二、模型建立與求解1模型分析我們用一個(gè)時(shí)間段的平均流量作為該時(shí)間段時(shí)間中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的流量值，然后再通過(guò)曲線插值擬合得出時(shí)間和流量的函數(shù)關(guān)系式。2數(shù)據(jù)處理首先我們要將表中數(shù)據(jù)換算為標(biāo)準(zhǔn)單位制，其中：時(shí)間用小時(shí)（h）、水箱水量用加侖（G）換算公式有：1E=0.3024m，1m3=1000L,1L=7.481G用EXCEL

8、公式進(jìn)行換算，結(jié)果如表一：表一：時(shí)間與水量表時(shí)間（h）水量(103G)時(shí)間（h）水量（103G）0606.112.95639.510.92593.6913.88622.321.8458314.98604.572.95571.5515.9589.33.87562.5716.83574.984.98552.0717.93558.765.9544.0619.04542.537.01533.5619.96528.217.93525.3520.84514.858.97514.8522.02泵水9.98泵水22.96泵水10.93泵水23.88663.3710.95677.6824.99648.4812.

9、03657.6425.91637.6平均流量V：V=區(qū)間左端水量-區(qū)間右端水量一時(shí)間間隔用EXCEL公式進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果為表二：表二：時(shí)間中點(diǎn)與平均流量表時(shí)間中點(diǎn)(h)平均流量(103G)0.4613.491.3811.622.410.323.419.764.439.465.448.716.469.467.478.928.4510.19.48#VALUE!10.46#VALUE!10.94#VALUE!11.4918.5612.4919.7113.4218.4814.4316.1415.4416.616.3715.417.3814.7518.4914.6219.515.5720.415.18

10、21.43#VALUE!22.49#VALUE!23.42#VALUE!24.4413.4125.4511.833數(shù)據(jù)插值時(shí)間（h）9.4810.4610.9421.4322.4923.42流量（G）127511571117117147141449014190在數(shù)據(jù)中水泵工作時(shí)的流量數(shù)據(jù)并沒(méi)有給出，為了模型擬合的準(zhǔn)確性，我們采用三次樣條插值作出水泵泵水時(shí)水從水箱流出的流量值（即時(shí)間點(diǎn)9.48h、10.46h、10.94h、21.43h、22.49h、23.42h對(duì)應(yīng)的流量值），并作出時(shí)間一流量的散點(diǎn)圖（程序見附錄一），散點(diǎn)如圖一；表三：插值所得空缺的流量值量流均平21.81.61.41.21x

11、10425305101520時(shí)間中點(diǎn)圖一：時(shí)間中點(diǎn)一平均流量散點(diǎn)圖4曲線擬合從圖一中可以看出數(shù)據(jù)分布不均勻，局部緊密，因此不能采用插值多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，而應(yīng)用曲線擬合的最小二乘法。我們選擇1,x3,x5,sin0.1x,cos（0.1Q作為基函數(shù)擬合得到時(shí)間流量的函數(shù)關(guān)系式（程序見附錄二），擬合圖像如圖二：圖二：函數(shù)擬合圖像得到的時(shí)間流量函數(shù)式為：fx=9756616.8x3+0.013%583143cos0.1x27478sin(0.1x)其中0 x24(h)。該模型擬合得到的是一天內(nèi)流量隨時(shí)間的函數(shù)式，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)如果該天沒(méi)發(fā)生特殊原因每天的用水量和用水時(shí)段應(yīng)該大致一樣，因此我們可以將此模型推廣

12、到任意一天的用水量隨時(shí)間的變化關(guān)系：若t24,則x=t24k,k=1,2,3/t=9756616.8%3+0.013%583143cos0.1%27478sin(0.1x)其中0 x24。5誤差估計(jì)用MATLAB軟件做出擬合結(jié)果的殘差圖(圖三)：xi4ResidualCaseOrderPlot111=1.50.5-0.5-1-1.5510152025CaseNumber從殘差圖可以看出，所有數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說(shuō)明回歸模型fx=9756616.8x3+0.013x583143cos0.1x27478sin(0.1x)能較好的符合原始數(shù)據(jù)。4.6驗(yàn)證泵水速度為常

13、數(shù)如果該模型確實(shí)準(zhǔn)確地模擬了這些數(shù)據(jù)，那么在不同的泵水周期中，按此模型計(jì)算出的水泵泵水速度應(yīng)近似為常數(shù)；而在水泵工作時(shí)水的體積平均變化速度空應(yīng)近似等于水泵我泵水速度P減去此段時(shí)間水從水箱流出的平均速度。即：TVf(t)dtP=+TT此處f(t)dt為f(t)在泵水區(qū)間AT兩端的定積分。于是通過(guò)檢驗(yàn)兩個(gè)泵水期間的泵水速度是否為同一常數(shù)來(lái)檢驗(yàn)該模型的誤差(定積分求解過(guò)程見附錄三)。第一段泵水的始停時(shí)間及水量：T=8.97h，V=514850GTOC o 1-5 h z始始T=10.93h,V=677100(G)末末故VVV=)始=82865(G/h) HYPERLINK l bookmark38

14、o Current Document TTT/1末始P1=82865+丄1093雎)址=82865+13955=96820(G/h)T18.97第二段泵水的始停時(shí)間及水量：T始=2084h，V始=514850GT末=22.96hV末=677100(G)T一T-末_-始=76569(G/h)VV末始P=76569+丄2化22.96ftdt=76569+12525=89094(G/h)20.84相對(duì)誤差:一P96820一890842=79%P96820.1所以P2、P1相差僅為7.9%,此結(jié)果足以支持該模型。八、附錄MATLAB程序如下：附錄一插值clearx=0.46,1.38,2.4,3.41

15、,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,11.49,12.22,13.14,14.43,l;%時(shí)間中點(diǎn)y=13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,15570,15180,13410,11830;%流量y0=interp1(x,y,9.48,10.46,10.94,21.43,22.49,23.42,spline)%三次樣條插值散點(diǎn)圖x1二0.46,1.3&2.4,3.41,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,9.48

16、,10.46,10.94,11.49,12.22,13.14,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.5,20.4,21.43,22.49,23.42,24.;%插值過(guò)后時(shí)間y1二13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,12751,15712,17117,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,14729,14264,14714,14490,14190,13410,11830;%插值過(guò)后流量plot(x1,y1,*)xlabel(時(shí)間中點(diǎn))ylabel(平

17、均流量)附錄二非線性擬合建立m-文件volum.m如下functionyhat二volum(beta,xl)yhat二beta(l)-beta(2)*xl.3+beta(3)*xl.“5-beta(4)*cos(0.1*xl)+beta(5)*sin(0.1*xl)輸入程序：clcclearxl二0.46,1.3&2.4,3.41,4.43,5.44,6.46,7.47,8.45,9.48,10.46,10.94,11.49,12.22,13.14,14.43,15.44,16.37,17.38,18.49,19.5,20.4,21.43,22.49,23.42,24.;y1二13490,11620,10320,9760,9460,8710,9460,8920,10100,12751,15712,17117,18560,19710,18480,16140,16600,15400,14750,14620,14729,14264,14714,14490,14190,13410,11830;beta0二112000,200,1,10000,3