數(shù)學(xué)建模人口預(yù)測(cè)

1、摘要中國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，人口問(wèn)題與我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展等方面息息相關(guān)。隨著我國(guó)人口數(shù)量的不斷變化，人口的老齡化問(wèn)題也日益突顯,政策的調(diào)整不可或缺。從當(dāng)初實(shí)行計(jì)劃生育政策到逐步放開生育政策再到全面實(shí)行二孩政策，我國(guó)人口發(fā)展呈現(xiàn)了一些新特點(diǎn)。本文旨在通過(guò)多種預(yù)測(cè)方法對(duì)“全面二孩政策”下的人口數(shù)量及其結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)測(cè)，篩選出了經(jīng)濟(jì)發(fā)展的指標(biāo)，并分人口結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響，結(jié)論如下：針對(duì)問(wèn)題一，本文參考中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局等官方資料的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出各年人口總數(shù)、自然增長(zhǎng)率等數(shù)據(jù)，建立了logistic模型，得出人口總數(shù)的變化公式，然后建立GM(1,1)預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)2016年的人口總數(shù)，再利用SPSS進(jìn)行回歸、曲線估計(jì)，

2、得出最為符合的方程式，再利用MATLAB函數(shù)擬合工具箱對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。預(yù)測(cè)出2017-2030年間人口先增后減，在2021年達(dá)到峰值。針對(duì)問(wèn)題二，通過(guò)建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，利用GM(1,1)灰色預(yù)測(cè)處理人口結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)得到訓(xùn)練及測(cè)試數(shù)據(jù)集，將數(shù)據(jù)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行多次訓(xùn)練，最終得到具有相當(dāng)精度的穩(wěn)定預(yù)測(cè)結(jié)果。提取相當(dāng)數(shù)量的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)并對(duì)其進(jìn)行主成分分析降維處理，之后對(duì)主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)及人口結(jié)構(gòu)指標(biāo)進(jìn)行多元回歸分析得到2020-2030年人口結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響。針對(duì)問(wèn)題三，關(guān)鍵詞：灰色預(yù)測(cè)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Leslie人口結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)模型問(wèn)題假設(shè)將我國(guó)看做一個(gè)封閉系統(tǒng)，沒有人口的遷入和遷出人口增長(zhǎng)只與人口基

3、數(shù)、生育率、死亡率等有關(guān)沒有大規(guī)模戰(zhàn)爭(zhēng)及瘟疫等傳染性疾病假設(shè)短期內(nèi)沒有外來(lái)物種對(duì)人類生存造成影響假設(shè)所有數(shù)據(jù)均為準(zhǔn)確數(shù)據(jù)假設(shè)2050年前醫(yī)療水平和科學(xué)技術(shù)不會(huì)對(duì)人類的死亡率、出生率造成影響模型符號(hào)說(shuō)明：r:人口自然增長(zhǎng)率x：總?cè)丝跀?shù)x：初始年份的人口數(shù)量0t：時(shí)間x(0)(k)：灰色預(yù)測(cè)的原始序列x(0)(k)：灰色預(yù)測(cè)的原始數(shù)列預(yù)測(cè)值兀.：第i個(gè)指標(biāo)的第j個(gè)數(shù)據(jù)ijd:第i歲的死亡率ib:第i歲的生育率i問(wèn)題一模型建立首先，我們建立了logistics模型，具體如下dx二rxdtx(0)=x其次，建立GM(1,1)預(yù)測(cè)模型dxGM(1,1)是一階微分方程模型，其形式為：+ax=udt離散形式

4、：A(1)(x(k+1)+a(x(k+1)二u預(yù)測(cè)公式：尤伙+1)二x(1)(1)二ek+；adxx(t+At)一x(t)At由導(dǎo)數(shù)可知：=hm丿丿dtAtt0Ax當(dāng)At很小并且取很小的1單位時(shí)，則近似的有：x(t+1)-x(t)飛Ax寫成離散形式：云=x(k+1)-x(k)=A(1)(x(k+1)Ax(1)由于可涉及到累加列x(1)的兩個(gè)時(shí)刻的數(shù)值,因此，xd)(i)取前后兩個(gè)時(shí)刻的平均代替更為合理，即將x(i)(i)替換為x(i)(i)+x(i)(i-1),(i=2,3,.,n).2x(i)=2x(i)(i)+x(i)(i-1),(i=2,3,nx(1)(k+1)=x(1)(k+1)+x(

5、1)(k)2=x(k+1)-x(k)=A(i)(x(k+1)AtA(i)(x(1)(k+1)+a(x(k+1)=ux(k+1)=x(k+1)+x(1)(k)2整理可得x(0)(k+1)=a-(x(k)+x(k+1)+u2表示為矩陣形式：x(0)(2)x(0)(3)一2x+x(1)1-x(3)+x12x(o)(n)_一補(bǔ)x(1)(n)+x(n-1)1不妨令y=(x(0)(2),x(0)(3),x(0)(n)T-丄x(2)+x2-丄x(1)(3)+x(1)(2)2-x(n)+x(1)(n-1)2-a則Y=BU,U=入=(BtB)-1Bryu模型求解1.對(duì)logistics模型進(jìn)行求解得到總?cè)丝谧兓?/p>

6、公式：x=xert（x為初始年份人口數(shù)，00t21）2利用GM（1,1）模型，根據(jù)1996-2015年中國(guó)總?cè)丝跀?shù)據(jù)，對(duì)2016年總?cè)丝跀?shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)所建立的模型，編寫GM（1,1）灰色預(yù)測(cè)MATLAB程序，預(yù)測(cè)結(jié)果如下：后驗(yàn)差比值為：0.082408系統(tǒng)預(yù)測(cè)精度好下個(gè)擬合值為138651.1856圖為灰色預(yù)測(cè)所得圖像3.通過(guò)調(diào)查得到前20年（1996-2015）的人口自然增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)，利用SPSS進(jìn)行回歸、曲線估計(jì)，得到二次型，線性下的人口自然增長(zhǎng)率函數(shù)最為符合如下表所示線性及二次型下的R2最為接近1方程式模型摘要參數(shù)評(píng)估R平方Fdf1df2顯著性常數(shù)b1線性.78164.195118.00

7、09.327-.281二次曲線模型.985553.075217.00011.477-.867S.67437.174118.0001.641.977即（1）r=a+bt+ct2（2）r二a+bt（其中a,b均為常數(shù)）曲線估計(jì)SPSS過(guò)程詳見附錄利用MATLAB函數(shù)擬合工具箱對(duì)所得數(shù)據(jù)用兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行擬合田口曰&631012IBTahieofFitsFrttypeSSER-squ-areDFE|j*bU.7M1lojgifliaRtramt*DataHunt甜&y料aunthiedfit1untitledfh11dsLffiZdat%(none)Rt:Options.WrigMs；(nofic)Rf

8、sultvOwdMI-BfjfSSE14.71Ai馭ce*D70ikdjuirEtJlhnu.iT*83TKE0K4Omrr*llv4vlflxliJtsHCwfeffi-titifftl.i訃951C4ifidi&MWik*t0HV0Auksftty-fti)R.=Stopyw.iuntiledfit1tV20MR-sqRMSE*CoeffVdlidafticir.rValidation.|2111也IkddrEcn中可以得到自然增長(zhǎng)率的線性函數(shù)為r=9.327-0.2809t（二次曲線情況下同理，此處不再列出）二次曲線函數(shù)為r=11.480.8673t+0.02793t2將二次曲線函數(shù)代入

9、x二xert中進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)人口數(shù)量會(huì)一直保持高速增長(zhǎng)，顯然不符0合實(shí)際，MATLAB作圖如下Wi：j.1鉗遲SSM価人工HE（P匪口啊昭助H101.51510242216510152025303540同理，對(duì)線性函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，所得圖像如圖所示發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)速率過(guò)快，需要添加相關(guān)因素指標(biāo)對(duì)其進(jìn)行約束，題目中給出了全面二孩政策條件，通過(guò)查閱相關(guān)資料及文獻(xiàn)可以確定二孩政策的影響,將所得e代入自然增長(zhǎng)率函數(shù)并進(jìn)一步代入總?cè)丝诤瘮?shù)，通過(guò)MATLAB作圖可得102551015253035卅卄存卅*卄卄十卄桿由圖像可以看出人口總數(shù)會(huì)在十幾年內(nèi)達(dá)到頂峰，然后開始出現(xiàn)速率較慢的負(fù)增長(zhǎng)得到每年人口數(shù)據(jù)如下(201

10、7-2030)147120150280152640154170154850154660153600151690148970145480141270136420131000125080問(wèn)題二模型建立建立一個(gè)與問(wèn)題一中相同的GM(1,1)模型建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量神經(jīng)元互聯(lián)而構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)建立一個(gè)綜合評(píng)價(jià)模型我們?cè)陂喿x了大量文獻(xiàn)后，選擇了如下指標(biāo)：GDR人均GDP，居民消費(fèi)水平，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入，總撫養(yǎng)比，就業(yè)人員數(shù)，居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，能源生產(chǎn)總量，能源消費(fèi)總量，人均生活能源消費(fèi)量，全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額，貨物進(jìn)出口總額，外商直接投資合同項(xiàng)目，注冊(cè)資本，服務(wù)進(jìn)出口總額，對(duì)外勞務(wù)合

11、作年末在外人數(shù)。在實(shí)際過(guò)程中發(fā)現(xiàn)我們所用指標(biāo)過(guò)多，不利于我們之后的分析評(píng)價(jià)。我們采用主成分分析法，對(duì)指標(biāo)進(jìn)行降維處理，可得到7個(gè)主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。用這7個(gè)主要指標(biāo)與相關(guān)人口指標(biāo)進(jìn)行多元回歸分析。模型求解利用GM(1,1)灰色預(yù)測(cè)算法，取1996-2005年的相關(guān)人口數(shù)據(jù)，并對(duì)2006-2015年的相關(guān)人口數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到相應(yīng)的人口數(shù)據(jù)。我們選擇的具體人口數(shù)據(jù)指標(biāo)有：自然增長(zhǎng)率，總?cè)丝冢?-14歲人口數(shù)量，15-64歲人口數(shù)量，65歲及以上人口數(shù)量，城鎮(zhèn)人口數(shù)量。將上一步中通過(guò)灰色預(yù)測(cè)得到的2006-2015年相關(guān)人口數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，2006-2015年的真實(shí)相關(guān)人口數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)集，將訓(xùn)練

12、數(shù)據(jù)集和測(cè)試數(shù)據(jù)集利用歸一化函數(shù)進(jìn)行歸一化處理，得到區(qū)間為-1,1的歸一化的數(shù)據(jù)，代入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法并對(duì)其進(jìn)行訓(xùn)練，經(jīng)過(guò)多次的訓(xùn)練之后，我們得到了穩(wěn)定的且具有相當(dāng)精度的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，利用反歸一化函數(shù)對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到各項(xiàng)指標(biāo)的正常數(shù)據(jù)。經(jīng)過(guò)與同期灰色預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)及真實(shí)數(shù)據(jù)的對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所得數(shù)據(jù)較灰色預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)更為精確、合理。7tiIDOMB300400641EpochsHleur-aiNetworkIrainingPerformante(plotperformXoch641,P._X対犢D綱訂：*SlViA(TlIJICD衛(wèi)出奩口(Wl裕瓷切BestTrainingP

13、erforrnanceis9.845e-06atepoch6413.建立人口結(jié)構(gòu)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)體系如下指標(biāo)指標(biāo)代碼TOC o 1-5 h z總?cè)丝趚10-14歲人口x215-64歲人口x365歲及以上人口x4城鎮(zhèn)人口x人均GDPy1居民消費(fèi)水平y(tǒng)2GDPy3服務(wù)進(jìn)出口總額y4城鎮(zhèn)居民可支配收入y人均生活能源消費(fèi)量y6外商直接投資合同項(xiàng)目y我們所研究的人口結(jié)構(gòu)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展問(wèn)題受多個(gè)因素影響，這就需要建立多元回歸方程，進(jìn)行多元回歸分析。在進(jìn)行回歸分析之前，我們需要對(duì)所有指標(biāo)的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，處理數(shù)x-min(x)據(jù)所用方程為X=ijij，進(jìn)而利用回歸方程ijmax(x)-min(x)ijijy二

14、l+lx+lx+lx+,其中系數(shù)l,l,l表示該因素的重要程度，為01122nn12n回歸系數(shù)。利用SPSS多元回歸分析處理結(jié)果如下y=0.049-0.763x-0.379x+1.831x-0.359xTOC o 1-5 h z1245y=0.038-0.866x-0.142x+1.813x-0.052x1245y=0.043-0.808x-0.284x+1.871x-0.280 x1245y=-0.028-0.763x-0.024x+1.724x+0.019x1245y=0.0221-0.655x-0.163x+1.634x-0.085x1245y=-0.034-0.179x-0.132x+

15、0.870 x+0.283x1245y=-0.634-0.295x+1.848x-3.310 x+4.779x1245求解結(jié)果在不實(shí)施全面二孩政策條件下，根據(jù)1996-2015年人口結(jié)構(gòu)對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響以及預(yù)測(cè)所得2020-2030年人口結(jié)構(gòu)，分析可得：0-14歲人口、總?cè)丝凇?5歲及以上人口對(duì)各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響較大，問(wèn)題三：首先介紹一下Leslie算法。依據(jù)年鑒的數(shù)據(jù)，可以將全國(guó)總?cè)丝诎茨挲g大小等間隔的分成96個(gè)年齡組，從0到95歲，時(shí)間和年齡都是離散化的，而且年齡間隔也為一年。記年齡i=1,2,.,n,記年份t=1,2,k（設(shè)初始年為第一年）由于生育政策的變化，會(huì)直接影響到適齡婦女的生育率

16、，而對(duì)死亡率等影響不大，所以可以把死亡率d看為不變，所以我們只需對(duì)婦女人口數(shù)i隨時(shí)間的變化進(jìn)行分析即可估算出人口的變化規(guī)律設(shè)第i歲的生育率為b，該數(shù)據(jù)可由統(tǒng)計(jì)年鑒獲得；各個(gè)年齡段婦女的存活率為S=1-d，iii在社會(huì)環(huán)境穩(wěn)定的條件下，假設(shè)b和S不隨時(shí)間變化，設(shè)i歲的婦女的人數(shù)為x,定義婦iii女的人口分布向量X(t)-Xi(t)，X2(t)，,，Xn(t)，則按照LeS模型的概念，第t+1年的人口數(shù)量叩+1)Ibx卩)，該式子已經(jīng)去除了嬰兒的死亡率,x(t+1)=Sxn(t),i=1,2,n-1bn01-n1bb20Sb1S1i+1ii此時(shí)記矩陣L=200S0m-1貝yx(t+1)=Lxx(t)因此當(dāng)L、x(0)已知到時(shí)候，對(duì)所有n(t)二Lxx(0)矩陣L即為L(zhǎng)eslie矩陣對(duì)Le