數(shù)學(xué)建模習(xí)題解答 楊啟帆

1、部分?jǐn)?shù)學(xué)建模習(xí)題解答【楊啟帆主編】第一章第5題一個(gè)男孩和一個(gè)女孩分別在離家2km和1km且方向相反的兩所學(xué)校里上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以2km/h和1km/h的速度步行回家。一只小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又從女孩處跑向跑回男孩處，如此往返的奔跑，直至回到家中。問小狗總共奔波了多少路程？解：由于男孩、女孩與小狗跑的時(shí)間一樣，所以把時(shí)間設(shè)為t，則有2t+1t=3,得到t=1h。所以小狗跑了6km/h*1h=6km。第一章10題一位探險(xiǎn)家必須穿過一片寬度為800km的沙漠，他僅有的交通工具是一輛每升汽油可行駛10km的吉普車.吉普車的油箱可裝10升汽油。另外吉普車上可攜帶8個(gè)可裝5升汽油

2、的油桶，也就是說，吉普車最多可帶50升汽油(最多能在沙漠中連續(xù)行駛500km)?，F(xiàn)假定在探險(xiǎn)家出發(fā)地的汽油是無限充足的.問這位保險(xiǎn)家應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)他的旅行才能通過此沙漠？他要通過沙漠所需的汽油最少是多少升？為了穿越這片800km寬的沙漠，他總共需要行駛多少公里路程。總共要花費(fèi)多少升的汽油?思路：1、若沙漠只有500公里或者更短，這時(shí)很簡(jiǎn)單，一次搞定。2、若沙漠有550km，怎么辦？需要保證的是：車到了離沙漠終點(diǎn)還有500km的地方，能恰恰加滿油且不會(huì)有多余。方案可為：600-550=50,從起點(diǎn)處加5*3(升)=15升油，開出50km，設(shè)一加油站，存下5升，剩下5升剛好使得汽車返回起點(diǎn)。再在起點(diǎn)處

3、加滿50升油，到加油站時(shí)，只乘45升了，把存放在那兒的5升油加上。則可跑出沙漠。(這樣共加油1550=65，總路程為150+500=650km)3、再看2的情況，符合這種情況的沙漠的最大距離是多少呢：答案是500*(1+1/3)公里。即在起點(diǎn)準(zhǔn)備100升油，第一次裝50升，跑了500/3公里后存放50*1/3升油，然后返回起點(diǎn)，這時(shí)車?yán)锏挠鸵舱糜猛辏缓笤僭谄瘘c(diǎn)處裝50升，跑了550/3公里后，車內(nèi)剩下(50*2/3)升油，再加上存放的50*1/3升油，恰好為50升油，則可跑出沙漠。4、當(dāng)沙漠的距離超過了500*(1+1/3)km(但又超過得不多)又當(dāng)如何？這時(shí)我們可以把前面的500*(1+

4、1/3)km看成一段整體，需要保證的是：在距離沙漠終點(diǎn)500*(1+1/3)km處恰恰有100升油(由3的分析可知)。怎么來保證呢，我們假設(shè)沙漠的距離只比500(*1+1/3)多了1公里，因?yàn)槠嚨娜萘渴?0升，所以100升油最少從起點(diǎn)運(yùn)3次油才能滿足。除了3次裝油，還有兩次折回，所以往返正好有5次，這5次能保證的距離是500/5，所以這時(shí)我們又把沙漠的距離延伸到了：500*(1+1/3+1/5)，起點(diǎn)應(yīng)該儲(chǔ)備150升油。5、當(dāng)沙漠的距離超過了500*(1+1/3+1/5)km,要保證在距離沙漠終點(diǎn)500*(1+1/3+1/5)km的地方有150升油。綜上所述：總有某一個(gè)值k,使得fdis=5

5、00*(1+1/3+1/5+.+1/(2k-1)800，應(yīng)該在起點(diǎn)準(zhǔn)備多少油呢？這時(shí)多了一小段出來，按情形2的分析，在起點(diǎn)準(zhǔn)備的油應(yīng)當(dāng)是：(800-fdis)/油耗)*往返次數(shù)+k*50。經(jīng)計(jì)算：fdis=766.66,k=3,故應(yīng)準(zhǔn)備的油應(yīng)為：(800766.66)/10)*7+3*50=173.338。第一章11題如果你有一個(gè)3L的桶和5L的桶，問如何才能準(zhǔn)確地稱出4L的水？如果你要的不是4L而是別的數(shù)量，你又該怎么辦？解:準(zhǔn)確稱出4L水的方法：先把3L的桶裝滿水，倒入5L的桶中，再把3L的桶裝滿，又倒入5L的桶中直到倒?jié)M，此時(shí)3L的桶中還剩下1L；再將5L桶中的水倒掉，將3L桶中剩下的1

6、L倒入5L桶中，再用3L桶裝滿水倒入5L桶中即可得到4L水。設(shè)y(yg0,8)表示要的任意L的水，a表示得到y(tǒng)L水所要用到3L桶的次數(shù)，b表示得到y(tǒng)L水所要用到5L桶的次數(shù)。則可以得到如下模型:y=3a+5ba，b為整數(shù)。例如1、y=1L時(shí)，a=2,b=-1，表示3L的桶用了兩次裝滿，5L的桶用3L桶中的水裝滿次并且倒掉。2、y=2L時(shí)，a=-1，b=1。3、y=3L時(shí)，a=1，b=0。4、y=4L時(shí)，a=3,b=-1，表示3L的桶用了三次裝滿，5L的桶用3L桶中的水裝滿一次并且倒掉。5、y=5L時(shí)，a=0，b=1。6、y=6L時(shí)，a=2，b=0。(注，此時(shí)5L的桶有用來中間存貯)7、y=7L

7、時(shí)，a=-1，b=2。8、y=8L時(shí)，a=1，b=1。第一章第13題下雨天忘了帶雨傘，要.在雨中從一處沿直醴疲到另一弧若雨速為常融且方向不變，試建立藪學(xué)建模討論是否跑的越快.淋雨越少，將人休簡(jiǎn)化為長方體高滬1.5罐(頸部以下X寬吧b=Q.5瓶厚u=0.2米*跑奮距需d=1000米，毘竝度Vm=5米/秒，爾逋u=4粒耿降肉肚曠臨吐h疋雅步速度為三、後定變童和摻數(shù)r=降雨豊儼人跑步的遠(yuǎn)麼!-阱水強(qiáng)度a-人的貝議薩人的寬度Vm-艷歩勒大速度u-i科遠(yuǎn)C-身上戟淋的浙水總罐四、模型的建立假設(shè)降雨的速度u米/秒以及降雨的桶度(雨麗下落的反方向與前詵方向之間的夾角為盲.用p表示雨滴的密度*此時(shí)w=pn(p

8、v|嗎沖用總卓J1岀粕也皿巧走連惟青總對(duì)冷電的囚VttrJrbb卜叩尙齊卜怙上訂境甲出L垃桁:竹0則.剛韜HF川卜由I：述樓即盯給七序胡】*05+0.3討卜創(chuàng)此“s的叫mfifw何曲戌m血!1山tii蚓;m蠶八J；唱*7粉溥SUtt在則屮tft由慣節(jié)罰乩|打1擊前”闇11.1537/1.2ooilI屈C=fi,ftS*10iJ+3jrHH-.它刪vKf-Ktujqh：小o苗晞sun*粹-i.a2j后於林審節(jié)為;C,二川、沖-if5in9)J用嘆總的淋雨屜為;t7=G+C-j=-cucosU+av-usintfj6l59?T0o.8co-65m4-1.5v.,.1rHrO.Rcus6snit/=

9、6.95xic1.5+Iu,il,5v-6sinfl+(XKcasfl0.即屁i胡13鮎“材iMRz殺壬0-兩以扌Z1.6sirt?-L5v=O即心忖二4前皿二“前叭的酬皿丘MSin?例繃巧&=30叭匚fln陲部被沖的山水坨注I】足;yIt用滿的恥門迤他泊彷百祈撲*時(shí)網(wǎng)內(nèi)湃別血林的雨威垃趾.C|M/fiin)2J前方纜榊的闌旅前方血積衆(zhòng)獻(xiàn).雨謹(jǐn)?shù)亩匠士備翀D4們炳以在時(shí)何廠斗內(nèi)萍在前片的陽朮Jft是Ca=aifp(i/cus/?+v)/3045u.rt上述模犁珥得C=6h95xlDJ(+L5)=I4J7SxlO咪運(yùn)域柵4U&=30Pt由上戦型町褂岡吐我們可得到納諭豐當(dāng)雨呆迎血血F時(shí)總淋網(wǎng)吊:足婕

10、麼的減羽績一C=6.95x10L5+D4+3|=180 x10：2.雨是從后面而下時(shí):如圖所聞牛此旳淋甬拘部位蠱頂部和用幵:(1)OWftTG=COSi?)1?兀結(jié)果分?jǐn)氐圻^對(duì)欣上簾型的嗣?鍛何以知追在弼網(wǎng)走時(shí)井非胞的越愉需的闌水蘆越趴咸身上淋的耐亦赴少除了要書連繰陽勵(lì)度蚱.赴好葦慮腎鬧疏度，叩兄柚鞭降雨耐度和絢遽叫乘選樣口匕亂啣中妁釘遲連般，幾休戦法如卜：(1)他果爾尼嘶13進(jìn)的力問番應(yīng)謙踐星大的罐肛割禿全程此)御果幽是乩昔廿存卜這阿應(yīng)誡挖制亦雨中茁達(dá)應(yīng)讓它厠奸牌于藩鬧諒度的水尸分常.第二章1題第i個(gè)前初的兔子對(duì)數(shù)為fif=1,f=1,f=f+f=2,f=f+f=3,f=f+f=5TOC o

11、 1-5 h z01201321423f二f+f二8,f二f+f二13,f二f+f二21,f二f+f二34543645765867f二f+f二55,f二f+f二89,f二f+f二144(對(duì))987108911109(理解：第i個(gè)月的兔子=第i-1個(gè)月的兔子+第i-2個(gè)月的兔子，f=f+f)ii-1i-2第二章2題這相當(dāng)于一根棒的兩端甲A,乙B設(shè)初始位置甲A(0,0),棒長為R,乙的初始坐標(biāo)為(D,0),順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲的切向速度為v1,乙的徑向速度為v2，則有轉(zhuǎn)速w=v1/R,設(shè)x軸正方向單位向量為i,y正方向?yàn)閖,則有乙的合速度為v1*(i*cos(wt)+j*sin(wt)+V2*(j*c

12、os(wt)-isin(wt)，即有乙坐標(biāo)的參數(shù)方程為x=D+V1*cos(wt)-v2*sin(wt)*ty=V1*sin(wt)+v2*cos(wt)*t,這就是乙的運(yùn)動(dòng)路線了第二章3題最小二乘法設(shè)y=ax+b，讓總偏差最小，總偏差記為e=蘭y-(ax+b)，要求e達(dá)到最小iii=1竺壬6ai=1y_(ax+b)(一x)=-2y_(ax+b)x=0i=1竺=國2ry-(ax+b)=06biii=116藝yx-瓦yKx國x國yx-國y國(x匕iiiiiiiiia=t,b=-i-ii16(x)2yKx任xf-16國(xiiiiii=1=1=1i=1丿i=1Kyx=12584+12325+128

13、48+13377+13708+13950+14229+14630+14880+15288+iii=115299+15168+15582+15840+16200+16728=232566K16(x)=20449+21025+21316+21609+22201+22500+23409+23716+24025+ii=12433624649+25281+25600+26244+26896=378220=0.719416x232566-2458x151116X378220-(2458=-16.0732458x232566-378220 x1511(2458)2-16x378220y=0.7194x-16

14、.073數(shù)學(xué)建模2.10將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，桌子四條腿的連線呈長方形，不允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn)，是否總能設(shè)法使其四條腿同時(shí)落地？若桌子四條腿共圓，結(jié)果又如何？解：對(duì)于此題，如果不用任何假設(shè)很難證明，結(jié)果很可能是否定的。因此對(duì)于問題一和問題三我們都這樣假設(shè)（1）地面為連續(xù)曲面（2）方桌的四條腿長度相同（3）相對(duì)于地面的彎曲程度而言，方桌的腿是足夠長的（4）方桌的腿只要有一點(diǎn)接觸地面就算著地。那么，總可以讓桌子的三條腿是同時(shí)接觸到地面。問題一現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以長方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如圖所示，方桌的四條腿分別在A、

15、B、C、D處，A、B,C、D的初始位置在與x軸平行，再假設(shè)有一條在x軸上的線ab,則ab也與A、B，C、D平行。當(dāng)方桌繞中心0旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)角線ab與x軸的夾角記為9。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時(shí)，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令f（9）為A、B離地距離之和，g（9）為C、D離地距離之和，它們的值由6唯一確定。由假設(shè)(1),f(6),g(6)均為6的連續(xù)函數(shù)。又由假設(shè)(3),三條腿總能同時(shí)著地，故f(6)g(6)=0必成立(V6)。不妨設(shè)f(0)二0,g(0)0g(若g(0)也為0,則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn))，于是問題歸結(jié)為：已知f(6),g(6)均為6的連續(xù)函數(shù)，f

16、(0)二0,g(0)0且對(duì)任意6有f(6)g(6)=0，求證存在某一6，使f(6)g(6)=0。00000證明：當(dāng)8=n時(shí),AB與CD互換位置，故f(兀)0，g(兀)=0。作h(6f6(g-6，顯然，h(6)也是6的連續(xù)函數(shù)，h(0)二f(0)-g(0)0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在6，00g(若g(0)也為0，則初始時(shí)刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn))，于是問題歸結(jié)為：已知f6),g(6)均為6的連續(xù)函數(shù)，f(0)二0,g(0)0且對(duì)任意6有0f(6)g(6)=0，求證存在某一6，使f(6)g(6)=0。00000證明：當(dāng)0=71n時(shí)，AC與BD互換位置，故f(兀)0,g(兀)二0。作h(9)=

17、f0-)gg,)顯然,h(9)也是0的連續(xù)函數(shù)，h(0)二f(0)-g(0)0，由連續(xù)函數(shù)的取零值定理，存在9，062R,要求汽車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停車方向與在A點(diǎn)時(shí)的方向相同。(2)|AB|=2R，汽車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停車方向與A點(diǎn)時(shí)的方向相反。解：(1)r=AO+CD+DM若|AB|=2R且要求汽車到達(dá)B點(diǎn)時(shí)方向與A點(diǎn)時(shí)方向相反分別以半徑R作過A點(diǎn)的圓O1,作過B點(diǎn)的圓O彳,再作兩圓公切線CD貝ij當(dāng)CD為0，即AB=2R時(shí)，距離最短第三章第二題大氣壓強(qiáng)P可用對(duì)海拔高度H的變化率dp/dh與p成正比來建模,且位于海平面的壓強(qiáng)為1013mbar,位于海拔高度20km的壓強(qiáng)為90mbar。1.解初值問題微分

18、方程dp/dh=kp初值條件p=p0,h=0得到通過h表示p的表達(dá)式，根據(jù)海拔-壓強(qiáng)的給定數(shù)據(jù)確定p0和k的值。在海拔高度h=50km處大氣壓強(qiáng)是多少？在海拔高度是多少公里處大氣壓強(qiáng)等于900mbar？解：1dp/dh=kpdp/p=kdhlnp=kh+c根據(jù)題意解得：C=6.9206，k=-0.1215Lnp=-0.1215*h+6.9206當(dāng)h=50時(shí)，解得p=2.329。（3）當(dāng)p=900時(shí)h=0.97KM。第三章第3題3.在某化學(xué)反應(yīng)中，物質(zhì)的數(shù)量隨著時(shí)間的改變率與其當(dāng)前的數(shù)量成正比。例如，6糖蛋白內(nèi)酯變成葡萄糖酸，當(dāng)時(shí)間t以小時(shí)為單位時(shí)，化學(xué)反應(yīng)方程式是普=_0-6y如果當(dāng)t=0時(shí)，

19、有&-糖蛋白內(nèi)酯100g，那么一小時(shí)后還剩下多少？解:假設(shè)&-糖蛋白內(nèi)酯可以全部轉(zhuǎn)變成葡萄糖酸，y為當(dāng)前6-糖蛋白內(nèi)酯的量（yn0）,t為時(shí)間，由題意：罟=_0-6y兩邊積分，得ln|y|=0.6t+cy二e-o.6t+cy=e-0.61+c因此，由t=0時(shí)，y=100得出c=lnl00y=e-0.61+lnl00則，所以，當(dāng)t=1時(shí)，則y=e-0.6+lnl00=l00e-0.6即一小時(shí)后還剩下5-糖蛋白內(nèi)酯100e-o.6g。第三章13題為了鼓勵(lì)采購100(單位)某貨物的買主，商家銷售部門用連續(xù)打折的辦法促銷，以購貨數(shù)量x(單位)決定所售貨物的單價(jià)p(x)(即單價(jià)p(x)是購貨數(shù)量的函數(shù))

20、。假定折扣降價(jià)速率為每單位降價(jià)0.01美元，又假設(shè)購買100(單位)該貨物的單價(jià)是P(100)=20.09美元。1)通過解如下問題求p(x)：微分方程：dp1dx_100P初值條件：p(100)=20.09(2)求10(單位)該貨物的單價(jià)p(10)和90(單位)的單價(jià)p(90)。商家的收入是用r(x)=xp(x)來計(jì)算的。如果銷售部門問你：這樣打折扣是否會(huì)出現(xiàn)如下情況，即售出100(單位)的貨物的收入比售出90(單位)貨物的收入還要少，你會(huì)怎么回答他們。試證明：當(dāng)x=100時(shí)商家的收入r達(dá)到最大。解答：(1)由微分方程可得方程為p(x)二ceioo，再由初值條件，可得c沁54.61。所以求得方

21、程為p(x)=54.61eioo。(2)當(dāng)為10單位時(shí)，即x=10,所以p(10)=54.61丄e10當(dāng)為90單位時(shí)，p(90)=54.619e1054.61(3)當(dāng)售出90(單位)時(shí)r(90)=90p(90)=90;9e10當(dāng)售出100(單位)時(shí)p(100)=100p(100)=10054.61oe10由計(jì)算可知，r(90)r(100)。所以不會(huì)出現(xiàn)售出100(單位)的貨物的收入比售出90(單位)貨物的收入還要少的情況。我的回答：不會(huì)出現(xiàn)售出100(單位)的貨物的收入比售出90(單位)貨物的收入還要少的情況，但是即使會(huì)有這樣的情況，這樣雖然從某種意義上來看，我們公司在當(dāng)售出100(單位)的貨物相對(duì)于售出90(單位)貨物要賺的少，有損于我公司，但是我們的促銷方法便是如此，商家以誠信為本，我們不會(huì)因?yàn)橛羞@樣的情況來改變我們的促銷方式，來欺騙各位商家銷售部門。(4)令r(x)=54.61e100-x八xe100=0100解得x=100；再將x=100代入r(x)得r(x)=54.61二e100+5054.61二xe1001000054.61100e-10，故當(dāng)54.61x=100時(shí)r(x)取到最大值，即r(1