2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)試題第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知全集為且為的子集，則（ ）A. B. C. D. 【1題答案】【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的概念及運(yùn)算，結(jié)合韋恩圖，得到，即可求解.【詳解】由題意，全集為，為的子集，且，如圖所示，可得.故選：C2. 在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是A. B. C. D. 【2題答案】【答案】B【解析】【分析】由題意知復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，需要把已知向

2、量對應(yīng)的復(fù)數(shù)乘以復(fù)數(shù)的沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的復(fù)數(shù)，相乘得到結(jié)果【詳解】解：由題意知復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的向量為故選：B3. 已知等差數(shù)列滿足，則它的前10項(xiàng)的和（ ）A. 123B. 105C. 95D. 23【3題答案】【答案】C【解析】【分析】依題意根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，即可求出與，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，所以，即，所以；故選：C4. （ ）A. B. C. D. 【4題答案】【答案】A【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式和正弦的二倍角公式可得選項(xiàng).【詳解】解：.故選：A.5. 魏晉時(shí)期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注中提出了割圓術(shù)：“割之彌

3、細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正邊形等分成個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（ ）（取近似值3.14）A. B. C. D. 【5題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意圓內(nèi)接正120邊形其等分成120個(gè)等腰三角形，每個(gè)等腰三角形的頂角為,根據(jù)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.即可列出等式解出sin3的近似值.【詳解】當(dāng)時(shí),每個(gè)等腰三角形的頂角為,則其面積為,又因?yàn)榈妊切蔚拿娣e之和近似等于圓的面積,所以,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角形與圓的面積公式

4、,屬于基礎(chǔ)題.6. 為了得到函數(shù)的圖象，需要把函數(shù)的圖象（ ）A. 向左平移個(gè)單位長度B. 向右平移個(gè)單位長度C 向左平移個(gè)單位長度D. 向右平移個(gè)單位長度【6題答案】【答案】C【解析】【分析】直接利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論【詳解】函數(shù)，根據(jù)圖像左加右減的變換原則，只需把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)的圖象，故選：7. 某會(huì)議有來自6個(gè)學(xué)校的代表參加，每個(gè)學(xué)校有3名代表.會(huì)議要選出來自3個(gè)不同學(xué)校的3人構(gòu)成主席團(tuán)，不同的選舉方法數(shù)為（ ）A. 816B. 720C. 540D. 120【7題答案】【答案】C【解析】【分析】先從6個(gè)學(xué)校中挑3個(gè)學(xué)校用來選舉，然后每個(gè)學(xué)校中的三個(gè)

5、人中選出1個(gè)即，然后利用分步乘法計(jì)算即可.【詳解】先從6個(gè)學(xué)校中挑3個(gè)學(xué)校用來選舉，然后每個(gè)學(xué)校中的三個(gè)人中選出1個(gè)即，則不同的選舉方法數(shù)為.故選：C8. 在中，若，則下列說法正確的是（ ）A. 是的外心B. 是的內(nèi)心C. 是的重心.D. 是的垂心【8題答案】【答案】D【解析】【分析】首先利用數(shù)量積的運(yùn)算公式變形，判斷選項(xiàng).【詳解】，同理由，得到，點(diǎn)是的三條高的交點(diǎn).故選：D9. 圓錐的高為1，體積為，則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（ ）A. 2B. C. D. 1【9題答案】【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題意，確定出圓錐的底面圓半徑和母線長，從而確定出軸截面的頂角，結(jié)

6、合三角形的面積公式可確定其為直角三角形時(shí)面積最大.【詳解】圓錐的高為1，體積為，則底面圓的半徑為，母線長為2，軸截面的頂角為，當(dāng)截面為直角三角形時(shí)，過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積最大，最大值為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)過圓錐定點(diǎn)截面面積的最值問題，正確解題的關(guān)鍵是要明確圓錐軸截面頂角的大小以及三角形面積公式.10. 函數(shù)，若不等式對恒成立，則最小正值為（ ）A. B. C. D. 【10題答案】【答案】A【解析】【分析】首先化簡得到，根據(jù)不等式對恒成立得到是函數(shù)的最大值，從而得到，即可得到答案.【詳解】，因?yàn)閷愠闪?，所以是函?shù)的最大值，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小正值為

7、，故選：11. 已知函數(shù)，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則（ ）A. B. C. D. 【11題答案】【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，的圖象關(guān)于對稱，設(shè)關(guān)于點(diǎn)對稱的坐標(biāo)為，則，同理可得：，即可得到答案.【詳解】由得的圖象關(guān)于對稱，同時(shí)函數(shù)也關(guān)于對稱，則函數(shù)與圖象的交點(diǎn)關(guān)于對稱，則不妨設(shè)關(guān)于點(diǎn)對稱的坐標(biāo)為，則，則，同理可得：，即，故選：12. 已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【12題答案】【答案】A【解析】【分析】由不等式恒成立問題分類討論：當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個(gè)數(shù)得：設(shè)（a），則（a）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得：（

8、a）的單調(diào)性，即有2解，綜合得解【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，故不恒成立，當(dāng)時(shí)，設(shè)，都是遞增函數(shù)，要使恒成立，則恒同號，所以，與軸交點(diǎn)重合，令，得，得，方程的解的個(gè)數(shù)，即交點(diǎn)個(gè)數(shù)設(shè)（a），則（a）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得：（a）在為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，則（a），即有2解，所以存在2個(gè)使得成立，綜合得：滿足條件的的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個(gè)數(shù)，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難度較大的題型第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.13. 若滿足約束條件則的最大值為 【13題答案】【答案】9【解析】【詳解】試題分析

9、：線性約束條件對應(yīng)的可行域?yàn)橹本€圍成的四邊形區(qū)域，當(dāng)過的交點(diǎn)時(shí)取得最大值9考點(diǎn)：線性規(guī)劃問題14. 已知，則的最大值為_，最小值為_.【14題答案】【答案】 . # . 6【解析】【分析】利用換元法，令，則將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再由求出的范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】令，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈膶ΨQ軸為，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，故答案為：，615. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_.【15題答案】【答案】【解析】【詳解】因?yàn)樵谥?，由正弦定理得，則由已知，得，即，,由雙曲線的定義知，由雙曲

10、線的幾何性質(zhì)知所以解得又，故雙曲線的離心率16. 如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列說法正確的編號是_.；是函數(shù)的一個(gè)對稱中心；函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).【16題答案】【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖像先求解出以及最小正周期，則的值可求；再根據(jù)最高點(diǎn)以及的取值范圍求解出的值；計(jì)算的值是否為，由此判斷是否為對稱中心；采用整體替換的方法先求解出的單調(diào)遞減區(qū)間，由此判斷在上是否為減函數(shù).【詳解】由圖像可知，函數(shù)的最小正周期，所以，故不正確；因?yàn)?，所以，解得，又，所以，故正確；函數(shù)，因?yàn)?，所以不是函?shù)的一個(gè)對稱中心，故錯(cuò)誤；令，得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故正確，故答案為：.三、解答題：共70分.解

11、答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求的值【17題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意,任意角的三角函數(shù)的定義可知,進(jìn)而求出在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據(jù)鈍角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,得出,進(jìn)而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結(jié)合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【詳解】解

12、：因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn),點(diǎn)的縱坐標(biāo)是,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知,從而（1）于是（2）因?yàn)殁g角的終邊與單位圓交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,所以,從而于是因?yàn)闉殇J角,為鈍角,所以從而【點(diǎn)睛】本題本題考查正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎(chǔ)題.18. 中，內(nèi)角，所對的邊分別為，（1）求；（2）如圖，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，求的面積【18題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)三角恒等式，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)、正弦定理的邊角關(guān)系、二倍角正弦公式化簡可得，進(jìn)而求.（2）由（1）及已知條件可得，再應(yīng)用正弦定理求，最后根據(jù)三角形面積公式求面積即可.【詳解】（1），即

13、，由正弦定理，得：，又，則，又且，則，（2）由（1）有，易知為銳角，由，則，故，則，在中，由正弦定理，得，又，19. 四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，.（1）證明：；（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的余弦值的大小.【19題答案】【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）要證明線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，根據(jù)側(cè)面是等腰三角形，并且平面平面，所以取中點(diǎn)，連接，易證，在矩形內(nèi)，根據(jù)平面幾何的知識證明，這樣平面，就有；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，所以只需過點(diǎn)作的垂線，垂直為，這樣，連接，可得為二面角的平面角，根據(jù)余弦定理求角的余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn).，又平面平面，平面，

14、平面平面，平面，同理平面.而平面 ，.因?yàn)椋?，而，平面，因?yàn)?平面，.（2）在面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂直為.，面，而平面，則即為所求二面角的平面角.由（1）可得平面，因?yàn)槠矫?，?故，又，而，則.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明以及二面角的計(jì)算，利用線面關(guān)系作二面角時(shí)，可由平面內(nèi)一點(diǎn)向另一個(gè)平面引垂線，再由這點(diǎn)或垂足向交線引垂線，最后連接交線的垂足與這點(diǎn)，這樣做圖的關(guān)鍵是作面的垂線，一般可借助面面垂直，本題屬于中檔題.20. 已知向量，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)，若，是方程兩根，且，求的值.【2021題答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)公式與同角的三

15、角函數(shù)關(guān)系，即可求解；(2)根據(jù)題意，先由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換表示出函數(shù)，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以?【小問2詳解】.由，得，或，即或，由得，所以.21. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線在軸上截距為（1）求的值；（2）對任意，不等式恒成立，求自然數(shù)的最大值【21題答案】【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程為：，根據(jù)題意得到，即可得到的值.（2）首先根據(jù)題意得到當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，令，由題意得到整數(shù)的最大值可以為，再證明即可.【詳解】（1），函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，因?yàn)榍芯€在軸上的截距為，所以時(shí)，即

16、，（2），不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，不等式化為恒成立，令，由題意，又，因此整數(shù)的最大值可以為下面證明符合題意令，時(shí)，時(shí)，在上減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即對任意的正實(shí)數(shù)都成立因?yàn)橛校碛芯C合上述，自然數(shù)的最大值為（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是是參數(shù))在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線（1）當(dāng)時(shí)，請判斷直線與曲線的位置關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，且|，求直線的傾斜角【22題答案】【答案】（1）直線與曲線相切；（2）或【解析】【分析】（1）將已

17、知極坐標(biāo)方程兩邊同乘以，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后利用極直互化公式化為直角坐標(biāo)方程，并配方得到標(biāo)準(zhǔn)形式，得到曲線的屬性；將直線的參數(shù)方程消參得到普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，與半徑比較大小，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系中的條件得到直線l與曲線C的關(guān)系;（2）寫出直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的普通方程，化簡得到關(guān)于t的一元二次方程，利用韋達(dá)定理判別式，結(jié)合直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義，得到關(guān)于傾斜角的三角函數(shù)的方程，求解即得傾斜角的值.【詳解】（1）由，得，又，曲線的直角坐標(biāo)方程為，所以曲線是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓由直線的參數(shù)方程為得直線的直角坐標(biāo)方程為由圓心到直線的距離，可知直線與曲線相切；（2）由題意可得直線是經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線，將代入，整理得設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以異號則|，所以又，所以直線的傾斜角為或【點(diǎn)睛】本題考查極直互化，參普互化問題，考查直線的參數(shù)方程的幾何意義及其應(yīng)用，屬中檔題，關(guān)鍵是第一步極直互化時(shí)要先兩邊同乘以，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，以便為化為直角坐標(biāo)方程創(chuàng)造條件，重點(diǎn)是直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義的掌握