直線與平面的位置關系知識點歸納

1、第二章 直線與平面的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.11 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個公理：DCBA（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內符號表示為LAALBL = L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內CBA（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面

2、。符號表示為：A、B、C三點不共線 = 有且只有一個平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個平面的依據。（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。PL符號表示為：P =L，且PL公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關系1 空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線 相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線=acabcb強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性

3、，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4 注意點： a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O作直線a, b,我們把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角。（注意

4、：異面直線所成的角不大于）。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內 有無數個公共點（2）直線與平面相交 有且只有一個公共點（3）直線在平面平行 沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a b = aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的

5、兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質2.3.1直線

6、與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A 梭 l B 2、二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面

7、過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質定理： 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結構框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關系直線與直線的位置關系平面與平面的位置關系直線與平面的位置關系基礎練習一 選擇題1.若直線a、b都和平面平行,則直線a、b的位置關系是().A.相交B.平行C.異面D.以上三者都有可能【解析】可以畫出直線a、b的三種位置關系的圖形.【答案】D2.給出下列結論:直線l平行于平面內的無數條直線,則l;若直線a在平面外,

8、則a;若直線ab,b,則a;若直線ab,b,則直線a就平行于平面內的無數條直線.其中結論正確的個數為().A .1B. 2C. 3D. 4【解析】直線l還可能在平面內,所以錯誤;直線a還可能與平面相交,所以錯誤;直線a還可能在平面內,所以錯誤;平面內,與直線b平行的直線都與直線a平行,所以正確.【答案】A3.如圖所示,在三棱錐P-ABC的六條棱所在的直線中,異面直線共有().A.1對B.2對C.3對 D.4對【解析】根據異面直線的定義可知共3對,分別為AP與BC,CP與AB,BP與AC.【答案】C4.過一點與已知直線垂直的直線有().A.一條 B.兩條C.無數條 D.無法確定【解析】過一點與已

9、知直線垂直的直線有無數條,包括相交垂直和異面垂直.【答案】C5.在兩個平面內分別取一條直線,若這兩條直線互相平行,則這兩個平面的公共點個數().A.有限個B.無限個C.沒有D.沒有或無限個【解析】兩平面相交或者平行,因此這兩個平面沒有公共點或有無限個公共點.【答案】D6.一個平面內不共線的三點到另一個平面的距離相等且不為零,則這兩個平面().A.平行 B.相交C.平行或重合 D.平行或相交【解析】若三點在平面的同側,則兩平面平行;若三點在平面的異側,則兩平面相交.【答案】D7.下列說法中,正確的個數是().平行于同一平面的兩條直線平行.直線a平行于平面內的一條直線b,那么直線a平面.若兩平行直

10、線中的一條與平面相交,那么另一條也與平面相交.直線a與平面內的無數條直線相交,那么直線a在平面內.A.0B.1C.2D.3【解析】只有正確.【答案】B8.a,b是兩條直線,是一個平面,給出下列三個命題:如果ab,b,那么a;如果a,b,那么ab;如果ab,a,那么b.其中真命題有().A.0個B.1個C.2個D.3個【解析】中,a有可能在平面內,故不正確;平行于同一個平面的兩條直線不一定平行,故不正確;中,b有可能在平面內,故不正確.綜上可知,選A.【答案】A9.平面,滿足,直線a,下列四個命題中:a與內的所有直線平行;a與內的無數條直線平行;a與內的任何一條直線都不相交;a與無公共點.其中正

11、確命題的個數是().A.1B.2C.3D.4【解析】因為,直線a,所以a與內的直線平行或異面,由此可知錯,其他均正確.【答案】C10.已知A、B、C、D四點不共面,且AB平面,CD平面,AC=E,AD=F,BD=G,BC=H,則四邊形EFGH是().A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】A11.若平面外的直線a與平面所成的角為,則的取值范圍是().A.(0,) B.0,) C.(0, D.0,【解析】當a時,=0;當a時,=;a和斜交時,的取值范圍是(0,),綜上,的取值范圍是0,.【答案】D12.P為ABC所在平面外的一點,且PA、PB、PC兩兩垂直,則下列命題:PABC;PBAC

12、;PCAB;ABBC.其中正確的個數是().A.0 B.1 C.2 D.3【解析】PAPB,PAPC,PA平面PBC,PABC,即正確,同理可證得正確.【答案】D13.室內有一根直尺,無論怎么樣放置,在地面上總有這樣的直線,它與直尺所在的直線().A.異面B.相交C.平行D.垂直【答案】D14.若平面、互相垂直,則().A.中的任意一條直線都垂直于B.中有且只有一條直線垂直于C.平行于的直線垂直于D.內垂直于交線的直線必垂直于【答案】D15.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點A1到截面AB1D1的距離為().A.B.C.D.【解析】 利用三棱錐A1-AB

13、1D1的體積變換:=,則24=6h,解得h=.【答案】C16.點P是等腰三角形ABC所在平面外一點,PA平面ABC,PA=8,在ABC中,底邊BC=6,AB=5,則P到BC的距離為().A.4 B.5 C.3 D.2【解析】 作ADBC于D,連接PD,易證PDBC,故PD的長即為P到BC的距離,易求得AD=4,PD=4.【答案】A17.已知m,n表示兩條不同的直線,表示三個不同的平面,給出下列三個命題:(1)mn;(2)n;(3)mn.其中推理正確的個數為().A.0B.1C.2D.3【解析】 若則mn,即命題(1)正確;若則n或n,即命題(2)不正確;若則mn,即命題(3)正確.故選C.【答

14、案】C18.如圖,平面平面=l,A,B,ABl=D,C,Cl,則平面ABC與平面的交線是().A.直線ACB.直線ABC.直線CDD.直線BC【解析】Dl,l平面,D平面.DAB,AB平面ABC,D平面ABC,D在平面ABC與平面的交線上.C平面ABC,且C平面,C在平面與平面ABC的交線上,平面ABC平面=CD.【答案】C二 填空題1.在空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點,且EF=5,又AD=6,BC=8,則AD與BC所成角的大小為.【解析】取AC中點G,連接EG,FG,在EFG中,EGBC,EG=BC=4,FGAD,FG=AD=3,又知EF=5,EGF=90,AD與BC所成

15、角為90.【答案】902.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分別是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線.(1)DBC的兩邊與的兩邊分別對應平行且方向相同;(2)DBC的兩邊與的兩邊分別對應平行且方向相反.【解析】(1)B1D1BD,B1C1BC,并且方向相同,所以DBC的兩邊與D1B1C1的兩邊分別對應平行且方向相同.(2)D1B1BD,D1A1BC,并且方向相反,所以DBC的兩邊與B1D1A1的兩邊分別對應平行且方向相反.【答案】(1)D1B1C1(2)B1D1A13.若a,b,則a與b的位置關系是.【解析】可能異面,也可能存在平面,使a,且b,即a與b仍可以在同

16、一平面內.【答案】平行、相交或異面4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是棱BC、C1D1的中點,則EF與平面BB1D1D的位置關系是.【解析】如圖,取D1B1的中點O,連接OF,OB.OFB1C1,BEB1C1,OFBE,四邊形OFEB為平行四邊形,EFBO.EF平面BB1D1D,BO平面BB1D1D,EF平面BB1D1D.【答案】平行5.平面平面,ABC和ABC分別在平面和平面內,若對應頂點的連線共點,則這兩個三角形.【解析】由于對應頂點的連線共點,則AB與AB共面,由面與面平行的性質知ABAB,同理ACAC,BCBC,故兩個三角形相似.【答案】相似6.過平面外一點作該平面的

17、垂線有條;垂面有個;平行線有條;平行平面有個.【答案】一無數無數一7.已知AHRtHEF所在的平面,且HEEF,連接AE、AF,則圖中直角三角形的個數是.【解析】易知AHE,AHF,HEF為直角三角形,又因為EFHE,EFAH,所以EF平面AEH,所以EFAE,即AEF也是直角三角形.綜上所述,圖中直角三角形個數為4.【答案】48.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線C1D與平面B1CD所成的角為.【解析】連接C1B交B1C于點O,根據直線C1B平面B1CD,可得直線C1D與平面B1CD所成的角為ODC1,在RtODC1中,根據DC1=2OC1,可得ODC1=30,因此直線C1D與平面B

18、1CD所成的角為30 .【答案】309.正四棱錐(頂點在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12,底面對角線的長為2,求側面與底面所成的二面角.【解析】易求得底面邊長為2,高為3,tan =,所以=60.10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF平面AB1C,則線段EF的長度等于.【解析】 由EF平面AB1C,可知EFAC,所以EF=AC=2=.強化練習一 選擇題1下列命題中，正確的有()如果一條直線垂直于平面內的無數條直線，那么這條直線和這個平面垂直過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂

19、直于另兩條直線確定的平面垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內A2個 B3個 C4個 D5個答案C解析正確，中當這無數條直線都平行時，結論不成立2設直線l、m，平面、，下列條件能得出的是()Al，m，且l，mBl，m，且lmCl，m，且lmDl，m，且lm答案C解析排除法，A可舉反例，如圖(1)，B可舉反例如圖(2)，其中l(wèi)與m都平行于a，D可舉反例，如圖(3)，故選C.3(08福建理)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A.eq f(r(6),3)B.eq f(2r(

20、5),5)C.eq f(r(15),5)D.eq f(r(10),5)答案D解析取B1D1中點O，在長方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1B1C12，C1OB1D1，又C1OBB1，C1O平面BB1D1D，C1BO為直線C1B與平面BB1D1D所成的角，在RtBOC1中，C1Oeq r(2)，BC1eq r(BC2CCoal(2,1)eq r(5)，sinOBC1eq f(r(10),5).4(09四川文)如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結論正確的是()APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABC所成的角為45

21、答案D解析設AB長為1，由PA2AB得PA2，又ABCDEF是正六邊形，所以AD長也為2，又PA平面ABC，所以PAAD，所以PAD為直角三角形PAAD，PDA45，PD與平面ABC所成的角為45，故選D.5(09湖北文)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACC160，BCC145，側棱CC1的長為1，則該三棱柱的高等于()A.eq f(1,2)B.eq f(r(2),2)C.eq f(r(3),2) D.eq f(r(3),3)答案A解析作C1O底面ABC于O，作OMCB于M，連C1M.作ONAC于N，連C1N.易知ONAC，OMBC，又ACBRt，ONCM為矩形，OCMN，在

22、RtCNC1中，C1CN60，CC11，CNeq f(1,2)，在RtC1MC中，C1CM45，CC11，CMeq f(r(2),2).NMeq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2)eq f(r(3),2)，OCeq f(r(3),2)，在RtC1OC中，C1Oeq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)2)eq f(1,2)，三棱柱高為eq f(1,2).6(09寧夏海南文)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EFeq f(r(2),2)，則下列結論

23、中錯誤的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱錐ABEF的體積為定值DAEF的面積與BEF的面積相等答案D解析由正方體ABCDA1B1C1D1得，B1B平面ABCD，ACB1B，又ACBD，AC面BDD1B1，BE面BDD1B1，ACBE，故A正確由正方體ABCDA1B1C1D1得，B1D1BD，B1D1平面ABCD，BD平面ABCD，B1D1平面ABCD，EF平面ABCD，B正確A到平面BDD1B1的距離deq f(r(2),2)，VABEFeq f(1,3)SBEFdeq f(1,3)eq f(1,2)SBB1D1deq f(1,12).三棱錐ABEF的體積為定值，故C正確因E、F是線段

24、B1D1上兩個動點，且EFeq f(r(2),2)，在E，F(xiàn)移動時，A到EF的距離與B到EF的距離不相等AEF的面積與BEF的面積不相等，故D錯7如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是()A45 B60C90 D120答案B解析連結AB1，易知AB1EF，連結B1C交BC1于點G，取AC的中點H，則GHAB1EF.設ABBCAA1a，在GHC中，易知GHeq f(1,2)AB1eq f(r(2),2)a，BGeq f(r(2),2)a，HBeq f(r(2),2)a，故兩直線所成的角

25、為HGB60.點評除可用上述將EF平移到GH方法外還可以在平面BCC1B1內過F作FDBC1交B1C1于D，考慮在EFD內求解等如果再補上一個三棱柱成正方體則結論就更明顯了8在空間四邊形ABCD中，若ABCD，BCAD，則對角線AC與BD的位置關系為()A相交但不垂直 B垂直但不相交C不相交也不垂直 D無法判斷答案B解析作AO平面BCD于O，連BO并延長交DC于N，連DO并延長交BC于M，連CO并延長交BD于H，BCAO，BCADBC平面AOD，BCDM，同理 BNCD，O為BDC的垂心，CHBD又AOBD，BD平面AOC，BDAC.9正方體A1B1C1D1ABCD中，截面A1BD與底面ABC

26、D所成二面角A1BDA的正切值等于()A.eq f(r(3),3) B.eq f(r(2),2) C.eq r(2) D.eq r(3)答案C解析設AC、BD交于O，連A1O，BDAC，BDAA1，BD平面AA1O，BDAO，A1OA為二面角的平面角tanA1OAeq f(A1A,AO)eq r(2)，選C.10在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，則二面角l的平面角的大小為()A30B60C30或150 D60或120答案D解析如圖，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，設平面ABClD，則ADB為二面角l的平面角或補角，AB6，BC3，BAC30，ADB60，

27、二面角大小為60或120.11(2010重慶文，9)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點()A只有1個 B恰有3個C恰有4個 D有無窮多個答案D解析過兩條互相垂直的異面直線的公垂線段中點且與兩條直線都成45角直線上所有點到兩條直線的距離都相等，故選D.12ABCD是正方形，以BD為棱把它折成直二面角ABDC，E為CD的中點，則AED的大小為()A45 B30 C60 D90答案D解析設BD中點為F，則AFBD，CFBDAFC90，AF面BCDE、F分別為CD、BD的中點，EFBC，BCCD，CDEF，又AFCD，CD平面AEF，CDAE.故選D.13已知l，m，有下列四個命題：lm; lm；l

28、m； lm.其中正確的命題是()A與 B與C與 D答案D解析eq blc rc(avs4alco1(blc rc (avs4alco1(blc rc(avs4alco1(m,)m),l)ml，正確否定A、B，eq blc rc(avs4alco1(blc rc (avs4alco1(blc rc(avs4alco1(又m, lm)l),l)，正確否定C，故選D.14已知三棱錐SABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，ACeq r(2)r，則球的體積與三棱錐體積之比是()AB2C3D4答案D解析此三棱錐的高為球的半徑，ABC所在大圓面積為r2，三棱錐的底面易知為等

29、腰直角三角形腰長為eq r(2)r，所以三棱錐底面面積為eq f(1,2)(eq r(2r)2r2，eq f(V球,V錐)eq f(f(4,3)r3,f(1,3)r3)4，球體積與三棱錐體積之比為4，故選D.15在空間四邊形ABCD中，ADBC，BDAD，且BCD是銳角三角形，那么必有()A平面ABD平面ADCB平面ABD平面ABCC平面ADC平面BCDD平面ABC平面BCD答案C16已知m、l是直線，、是平面，給出下列命題：若l垂直于內的兩條相交直線，則l；若l平行于，則l平行于內的所有直線；若m，l，且lm，則；若l，且l，則；若m，l，且，則ml.其中正確命題的序號是()A BC D答案

30、C解析由直線與平面垂直的判定定理知，正確；對于，若l，m，則l與m可能平行，也可能是異面直線，故不正確；對于，滿足題設的平面、有可能平行或相交，也有可能垂直，故是錯誤的；由面面垂直的判定定理知，是正確的；對于，m與l可能平行，也可能是異面直線，故是錯誤的故正確的命題是、.17若a、b表示直線，表示平面，a，ab，則b；a，ab，則b；a，b，則ba；a，b，則ba.上述命題中正確的是()A B C D答案C解析b或bb或b或b、正確，選C.18已知三條直線m、n、l，三個平面、，下面四個命題中，正確的是()A.eq blc rc(avs4alco1(,)B.eq blc rc(avs4alco

31、1(m,lm)lC.eq blc rc(avs4alco1(m,n)mn D.eq blc rc(avs4alco1(,)答案D解析對于A，與可以平行，也可以相交；對于B，l與可以垂直，也可以斜交或平行；對于C，m與n可以平行，可以相交，也可以異面19若兩直線a與b異面，則過a且與b垂直的平面()A有且只有一個B可能存在也可能不存在C有無數多個D一定不存在答案B解析當ab時，有且只有一個當a與b不垂直時，不存在20(08安徽)已知m、n是兩條不同直線，、是三個不同平面下列命題中正確的是()A若m，n，則mnB若，則C若m，m，則D若m，n，則mn答案D21如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中

32、，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持APBD1，則動點P的軌跡是()A線段B1CB線段BC1CBB1中點與CC1中點連成的線段DBC中點與B1C1中點連成的線段答案A解析DD1平面ABCD，D1DAC，又ACBD，AC平面BDD1，ACBD1.同理BD1B1C.又B1CACC，BD1平面AB1C.而APBD1，AP平面AB1C.又P平面BB1C1C，P點軌跡為平面AB1C與平面BB1C1C的交線B1C.故選A.22已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個平面與這條直線的位置關系是()A平行 B垂直 C斜交 D不能確定答案B解析設a，b為異面直線，a平面，

33、b，直線la，lb.過a作平面a，則aa，la.同理過b作平面b，則lb，a，b異面，a與b相交，l.23設有直線m、n與平面、，則在下面命題中，正確的是()A若mn，m，n，則B若m，mn，n，則C若mn，n，m，則D若mn，m，n，則答案C解析對于C，由mn，n得m.又m，可得.應選C.24如圖已知平面CBD平面ABD，且DA平面ABC，則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定答案B解析過A作AEDB，則AE平面DBC，AEBC，又DA平面ABC，DABC，又DAAEA，BC平面DAB，BCAB，ABC為直角三角形25(2010北京理，8)如圖，正方體ABCDA1

34、B1C1D1的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD、CD上，若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，則四面體PEFQ的體積()A與x，y，z都有關B與x有關，與y，z無關C與y有關，與x，z無關D與z有關，與x，y無關答案D解析這道題目延續(xù)了北京高考近年8,14,20的風格，即在變化中尋找不變，從圖中可以分析出，EFQ的面積永遠不變，為矩形A1B1CD面積的eq f(1,4)，而當P點變化(即z變化)時，它到平面A1B1CD的距離是變化的，因此會導致四面體體積的變化26在ABC中，C90，AB8，B30，PC平面ABC，PC4，P是AB邊上動點，則PP的最

35、小值為()A2 B.eq r(7)C2eq r(7) D.eq r(19)答案C解析作CPAB，垂足為P，則易知PPAB，PP為所求最小值在RtABC中，由AB8，B30得，PC2eq r(3)，又PC平面ABC，PCPC，PC4，PP2eq r(7).27已知直線l平面，直線m平面，有下列四個命題：lm；lm；lm； lm.其中正確的兩個命題是()A BC D答案D28(2010山東文，4)在空間，下列命題正確的是()A平行直線的平行投影重合B平行于同一直線的兩個平面平行C垂直于同一平面的兩個平面平行D垂直于同一平面的兩條直線平行答案D解析當兩平行直線都與投影面垂直時，其在內的平行投影為兩個

36、點，當兩平行直線所在平面與投影面相交但不垂直時，其在內的平行投影可平行，故A錯；在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AA1與平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1與平面CDD1C1相交，故B錯；同樣，在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都與平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C錯；由線面垂直的性質定理知D正確29對于直線m、n和平面、，下列命題中，正確命題的個數為()若m，nm，則n若m，nm，則n若，則若m，m，則A1 B2 C3 D4答案A解析錯，正確30(09廣東文)給定下列四個命題：若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那

37、么這兩個平面相互平行；若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中為真命題的是()A和 B和C和 D和答案D31(09浙江文)設，是兩個不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A若l，則lB若l，則lC若l，則lD若l，則l答案C解析l，l或l，A錯；l，l或l，B錯；l，l，C正確；若l，則l與位置關系不確定，D錯32a、b為不重合的直線，為不重合的平面，給出下列4個命題：a且abb；a且abb；a且abb；a且a.其中正確命題的個數為()A0 B1 C2 D3

38、答案A解析eq blc rc(avs4alco1(a,ab)b或b；eq blc rc(avs4alco1(a,ab)b或b；eq blc rc(avs4alco1(a,)a或a.33如圖，BC是RtABC的斜邊，AP平面ABC，PDBC于D，則圖中共有_個直角三角形()A8 B7 C6 D5答案A解析PAC，PAD，PAB，PDC，PDB，CDA，BDA，CAB共8個34如圖，平面平面，A，B，AB與兩平面、所成的角分別為eq f(,4)和eq f(,6).過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A、B，則ABAB等于()A21 B31C32 D43答案A解析由已知條件可知BABeq f(,4

39、)，ABAeq f(,6)，設AB2a，則BB2asineq f(,4)eq r(2)a，AB2acoseq f(,6)eq r(3)a，在RtBBA中，得ABa，ABAB21.35已知a、b、c是直線，、是平面，下列條件中，能得出直線a平面的是()Aac，ab，其中b，cBab，bC，aDab，b答案D解析A中缺b與c相交的條件；如圖(1)，可知b，ab時，a與可平行、可相交，相交時也可垂直，故B錯；如圖(2)是一個正方體，滿足，直線a可以是AC，也可以是AB，故C錯36在正四面體PABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAE

40、C平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析D、F分別為AB、CA中點，DFBC.BC平面PDF，故A正確又PABC為正四面體，P在底面ABC內的射影O在AE上PO平面ABC.PODF.又E為BC中點，AEBC，AEDF.又POAEO，DF平面PAE，故B正確又PO面PAE，PO平面ABC，面PAE面ABC，故D正確四個結論中不成立的是C.二 填空題1如圖，AB是圓O的直徑，C是異于A、B的圓周上的任意一點，PA垂直于圓O所在的平面，AC3，PA4，AB5，則直線PB與平面PAC所成角的正弦值為_答案eq f(4r(41),41)解析PA平面ABCPABC，又BCACBC平面PAC，

41、BPC為直線PB與平面PAC所成的角在RtPAB中，PA4，AB5，PBeq r(41)，在RtABC中，AC3，AB5，BC4，sinBPCeq f(BC,PB)eq f(4r(41),41).2ABCD的對角線交點為O，點P在ABCD所在平面外，且PAPC，PDPB，則PO與平面ABCD的位置關系是_答案垂直解析PAPC，O是AC的中點，POAC.同理可得POBD.ACBDO，PO平面ABCD.3在矩形ABCD中，AB3，BC4，PA平面ABCD，且PA1，則點P到對角線BD的距離是_答案eq f(13,5)解析因為AB3，BC4，所以BD5，過A作AEBD，連接PE，PA平面ABCD，P

42、ABD，PAAEA，BD平面PAE，PEBD，在ABD中，AEeq f(12,5)，所以PEeq r(12blc(rc)(avs4alco1(f(12,5)2)eq f(13,5).4(2010湖南文，13)如圖中的三個直角三角形是一個體積20cm3的幾何體的三視圖，則h_ cm.答案4解析該幾何體是一個底面是直角三角形，一條側棱垂直于底面的三棱錐如圖，Veq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)56)h20，h4 cm.5(09全國文)已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M，若圓M的面積為3，則球O的表面積等于_答案16解析設球的半

43、徑為R，截面圓的半徑為r，則有eq blcrc (avs4alco1(r23,blc(rc)(avs4alco1(f(R,2)2r2R2)解得R2，球O的表面積S4R216.6如圖，ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAABa.(1)二面角APDC的度數為_；(2)二面角BPAD的度數為_；(3)二面角BPAC的度數為_；(4)二面角BPCD的度數為_答案90；90；45；120解析(1)PA平面ABCDPACD又ABCD為正方形，CDAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD，二面角APDC為90.(2)PA平面ABCD，ABPA，ADPABAD為二面角BAPD的平面角

44、又BAD90，二面角BAPD為90(3)PA平面ABCD，ABPA，ACPABAC為二面角BPAC的平面角又ABCD為正方形，BAC45即二面角BPAC為45(4)作BEPC于E，連DE則由PBCPDC知BPEDPE從而PBEPDEDEPBEP90，且BEDEBED為二面角BPCD的平面角PA平面ABCD，PABC，又ABBC，BC平面PAB，BCPB，BEeq f(PBBC,PC)eq f(r(6),3)a，BDeq r(2)a取BD中點O，則sinBEOeq f(BO,BE)eq f(r(3),2)，BEO60，BED120二面角BPCD的度數為120.7已知二面角AB為120，AC，BD

45、，且ACAB，BDAB，ABACBDa，則(1)CD的長為_；(2)CD與AB所成的角為_答案(1)2a(2)60解析在平面內，作AD綊BD，連DD，則DD綊AB(1)ACAB，DAAB，DAC為二面角AB的平面角即DAC120ABACBDa，CDeq r(3)a又AB平面ACD，DDAB，DD平面ACDDDDC，又DDaCDeq r(DD2DC2)2a(2)DDABDDC為異面直線CD與AB所成的角在RtDDC中，DDa，CD2aDDC60，即CD與AB所成的角為60.8已知邊長為a的菱形ABCD中，ABC60，PC平面ABCD，E是PA的中點，則E到平面PBC的距離為_答案eq f(r(3

46、),4)a解析如圖，設AC交BD于O，連EO，E、O分別為PA、AC的中點，EOPC，又EO面PBC，PC面PBC，EO平面PBC，于是EO上任一點到平面PBC的距離都相等，則O點到平面PBC的距離即為所求在平面ABCD內過O作OGBC于G，PC平面ABCD，PCOG，OG平面PBC.ABCD是菱形，ABC60，OGeq f(r(3)a,2)sinOBCeq f(r(3)a,2)sin30eq f(r(3),4)a.即E到面PBC距離為eq f(r(3),4)a.9正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為_答案eq f(r(2),

47、4)解析(1)轉化為點A1到平面ABC1D1的距離，連A1D交AD1于O1點，可證A1O1平面ABC1D1，A1到平面ABC1D1距離A1O1eq f(r(2),2)，從而O到平面ABC1D1距離為eq f(r(2),4).(2)轉化為直線到平面的距離，過O作直線EFA1B1交A1D1于E，交B1C1于F，過E作EE1AD1，可證EE1平面ABC1D1從而得解10三條直線abc，若b、c距離為2，a、c距離為1，a、b距離為eq r(7)，則由a、c確定的平面與b的距離為_答案eq r(3)解析在直線b上取一點P，過P作PO于O，作OQc于Q，交直線a于R，則OQa，c平面POQ，a平面POR

48、，PQc，PRa，依題設條件，QR1，PQ2，PReq r(7)，設OQx，POh，則x2h24，(x1)2h27，解之得heq r(3).11把等腰直角ABC沿斜邊BC上的高線AD折成一個二面角，此時BAC60，那么此二面角的大小是_答案90解析設ABaABAC，BAC60BCa，又BDDCeq f(r(2),2)aBDC90又BDAD，ADCDBDC為二面角BADC的平面角故填90.12、是兩個不同的平面，m、n是平面及外的兩條不同直線，給出四個論斷：mn；n；m.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題是_答案、；、13直角ABC的斜邊BC在平面內，頂點A在

49、平面外，則ABC的兩條直角邊在平面內的射影和斜邊BC組成的圖形只能是_答案線段或鈍角三角形解析當ABC所在平面與垂直時為線段；否則如圖AC2AB2AC2AB2BC2，ABC為鈍角三角形14ABC的三邊長分別為3、4、5，P為平面ABC外一點，它到三邊的距離都等于2，則P到平面ABC的距離是_答案eq r(3)解析頂點在底面上的射影O為三角形ABC的內心，其內切圓半徑r1，則POeq r(3).15P為ABC所在平面外一點，PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，又PA與BC垂直，那么ABC形狀可以是_正三角形等腰三角形非等腰三角形等腰直角三角形(將你認為正確的序號全填上)答案解析設點P在底面

50、ABC上的射影為O，由PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，得OAOBOC，即點O為ABC的外心，又由PABC，得OABC，即AO為ABC中BC邊上的高線，ABAC，即ABC必為等腰三角形，故應填.章節(jié)測試一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1(20132014福建師大附中模塊)設，表示兩個平面，l表示直線，A，B，C表示三個不同的點，給出下列命題：若Al，A，Bl，B，則l；，不重合，若A，A，B，B，則AB；若l，Al，則A；若A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線，則與重合則上述命題中，正確的個數是()A1B2C

51、3D4答案C解析根據公理1可知正確；根據公理3可知正確，根據公理2可知正確；當點A為直線l與平面的交點時，可知錯誤2菱形ABCD在平面內，PC，則PA與對角線BD的位置關系是()A平行 B相交但不垂直C相交垂直 D異面垂直答案D解析PC平面，PCBD，又在菱形ABCD中，ACBD，BD平面PAC.又PA平面PAC，BDPA.顯然PA與BD異面，故PA與BD異面垂直3設P是ABC所在平面外一點，H是P在內的射影，且PA，PB，PC與所成的角相等，則H是ABC的()A內心 B外心 C垂心 D重心答案B解析由題意知RtPHARtPHBRtPHC，得HAHBHC，所以H是ABC的外接圓圓心4已知二面角

52、l的大小為60，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A30 B60 C90 D120答案B解析易知m，n所成的角與二面角的大小相等，故選B.5(20132014珠海模擬)已知a，b，l表示三條不同的直線，表示三個不同的平面，有下列命題：若a，b，且ab，則；若a，b相交，且都在，外，a，a，b，b，則；若，a，b，ab，則b；若a，b，la，lb，則l.其中正確的有()A0個 B1個 C2個 D3個答案C解析可借助正方體模型解決如圖，在正方體A1B1C1D1ABCD中，可令平面A1B1CD為，平面DCC1D1為，平面A1B1C1D1為.又平面A1B1CDDCC1D1CD，平面A1

53、B1C1D1平面DCC1D1C1D1，則CD與C1D1所在的直線分別表示a，b，因為CDC1D1，但平面A1B1CD與平面A1B1C1D1不平行，即與不平行，故錯誤因為a，b相交，可設其確定的平面為，根據a，b，可得.同理可得，因此，正確由兩平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線和另一個平面垂直，易知正確ab時，由題知l垂直于平面內兩條不相交直線，得不出l，錯誤6(2013新課標全國)已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l答案D解析由于m，n為異面直線，m平面，n平面，則平面與平面必相交，但未必垂直

54、，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足lm，ln，則交線平行于l，故選D.7在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1上的不與端點重合的動點，如果A1EB1F，有下面四個結論：EFAA1；EFAC；EF與AC異面；EF平面ABCD.其中一定正確的有()A B C D答案D解析如右圖所示由于AA1平面A1B1C1D1，EF平面A1B1C1D1，則EFAA1，所以正確；當E，F(xiàn)分別是線段A1B1，B1C1的中點時，EFA1C1，又ACA1C1，則EFAC，所以不正確；當E，F(xiàn)分別不是線段A1B1，B1C1的中點時，EF與AC異面，所以不正確；由于平面A1B1C1D1平面

55、ABCD，EF平面A1B1C1D1，所以EF平面ABCD，所以正確8如圖，若是長方體ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點，且EHA1D1，則下列結論中不正確的是()AEHFG B四邊形EFGH是矩形C是棱柱 D是棱臺答案D解析因為EHA1D1，A1D1B1C1，所以EHB1C1，又EH平面BCC1B1，所以EH平面BCC1B1，又EH平面EFGH，平面EFGH平面BCC1B1FG，所以EHFG，又EHB1C1，所以是棱柱，所以A，C正確；因為A1D1平面ABB1A1，EHA1D1，所以E

56、H平面ABB1A1，又EF平面ABB1A1，故EHEF，所以B正確，故選D.9(2012大綱版數學(文科)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CC1的中點，那么直線AE與D1F所成角的余弦值為()Aeq f(4,5) Deq f(3,5) Ceq f(3,4) Deq f(3,5)答案B命題意圖本試題考查了正方體中異面直線的所成角的求解的運用解析首先根據已知條件，連接DF，然后則DFD1即為異面直線所成的角，設棱長為2，則可以求解得到eq r(5)DFD1F，DD12，結合余弦定理得到結論10如圖，在三棱柱ABCABC中，點E，F(xiàn)，H，K分別為AC，CB，AB，BC的中點

57、，G為ABC的重心，從K，H，G，B中取一點作為P，使得該三棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則點P為()AK BHCG DB答案C解析應用驗證法：選G點為P時，EFAB且EFAB，此時恰有AB和AB平行于平面PEF，故選C.11如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析由平面圖形易知BDC90.平面ABD平面BCD，CDBD，CD平面ABD.CDAB.又ABAD，CD

58、ADD，AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.12(2013全國卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()Aeq f(2,3) Beq f(r(3),3) Ceq f(r(2),3) Deq f(1,3)答案A解析如圖，連接AC交BD于點O，連接C1O，過C作CHC1O于點H，eq blc rc(avs4alco1(BDAC,AA1BD,ACAA1A)eq blc rc(avs4alco1(BD面ACC1A1,CH面ACC1A1)eq blc rc(avs4alco1(BDHC,OC1HC,BDOC1O)CH面BDC1

59、，HDC為CD與面BDC1所成的角，設AA12AB2，OCeq f(r(2),2)，CC12，OC1eq f(3r(2),2)，CHeq f(OCCC1,OG)eq f(2,3)，sinHDCeq f(CH,CD)eq f(2,3)，故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共25分把答案填在題中的橫線上)13直線l與平面所成角為30，lA，m，Am，則m與l所成角的取值范圍是_答案30，90解析直線l與平面所成的30的角為m與l所成角的最小值，當m在內適當旋轉就可以得到lm，即m與l所成角的最大值為90.14如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上

60、的一動點，當點M滿足_時，平面MBD平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)答案DMPC(或BMPC)解析連接AC，則BDAC，由PA底面ABCD，可知BDPA，BD平面PAC，BDPC.故當DMPC(或BMPC)時，平面MBD平面PCD.15(2014北京高考理科數學)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為_答案2eq r(2)解析三棱錐的直觀圖如右圖AB面BCD，BCD為等腰直角三角形AB2，BD2，BCCDeq r(2)，ACeq r(AB2BC2)eq r(6)，ADeq r(AB2BD2)eq r(2222)2eq r(2).16(2013高考安徽卷)如圖正方體