一個線性振動系統(tǒng)的固有頻率與特征模態(tài)

1、一個線性振動系統(tǒng)的固有頻率與特征模態(tài)論文導讀：通過矩陣的相似變換給出(4)式的證明。本文針對一個鏈式結(jié)構(gòu)的質(zhì)量彈簧振動系統(tǒng)。證明了一個關(guān)于其固有頻率的猜測。討論了該振動系統(tǒng)(3)的特征模態(tài)。關(guān)鍵詞：質(zhì)量彈簧振動系統(tǒng)，固有頻率，相似變換，特征模態(tài)1 引言在工程技術(shù)應用中，經(jīng)常出現(xiàn)保守的多自由度的線性質(zhì)量彈簧系統(tǒng)用位移向量的記號，質(zhì)量和彈簧剛度為， .其中 ， ，鏈式結(jié)構(gòu)的質(zhì)點彈簧振動系統(tǒng)運動方程由下式給出.盡管對于(3)類型的振動方程已經(jīng)有了許多結(jié)果【2】，但還是沒有證明Mikota【1】給出的關(guān)于固有頻率關(guān)系的猜測：， ， .下面將借助一個矩陣方程，通過矩陣的相似變換給出(4)式的證明，并討論

2、相關(guān)矩陣的特征值與特征向量。2 特征值問題為了確定振動問題(3)的固有頻率和特征模態(tài)，引入一個相關(guān)的特征值問題。定義，并作固有模態(tài)的變換，那么(3)式變形為令， 那么(5)式恰好對應于經(jīng)典的特征值問題. 這里和由(2)式確定，的具體表達式為：.以下分兩個步驟討論。首先將作兩對角化得出(4)式的證明，再將所得結(jié)果進一步對角化得出振動系統(tǒng)(3)的特征模態(tài)。2.1 的兩對角化通過相似變換，矩陣可變換為兩對角的形式：,(7)其中， ， . (8)施行如上相似變換后，矩陣從左上角元素開始逐步地變換為兩對角陣的形式.通過計算可得， (9)注意到(7)式中矩陣對角線上的元素表示矩陣的特征值，根據(jù)(5)式有，

3、Mikota猜測(4)便得以證明?？萍颊撐?。2.2 的對角化下面通過對(7)式中矩陣施行相似變換，分析特征值問題(5)的特征向量.令，(10)其中， ， . (11)由確定。根據(jù)(10)可得以下重要關(guān)系：， . (12)由此可以推出的精確解。其向前遞歸結(jié)果為： (13) 或用向后遞歸表示： (14) 將(7)式代入(10)，得.把改寫為， .(15)其元素有下式給出：， .(16)顯然是矩陣的對應于特征值的特征向量，即，從而有. 此式說明，也是特征問題(5)式對應于特征值的特征向量。因此振動系統(tǒng)(3)的特征模態(tài)由給出，其中由(4)式確定，由(15)和(16)確定。3 平方根矩陣觀察以下關(guān)系，

4、(17)其中為交換陣.(18)矩陣可表示為(19)假設定義，(20)那么由(19)知：，其平方根矩陣的特征值是(10)的特征值的平方根，即，(21)而的特征向量與(15)式中的特征向量相同。假設將如上用于相似變換(9)直接應用于本身，那么可以得到下三角矩陣：, (22)此結(jié)果與John所得出的結(jié)果【3】完全一致。4 結(jié)論本文針對一個鏈式結(jié)構(gòu)的質(zhì)量彈簧振動系統(tǒng)，證明了一個關(guān)于其固有頻率的猜測；同時采用了矩陣的相似變換，討論了該振動系統(tǒng)(3)的特征模態(tài)?？萍颊撐?。證明結(jié)果驗證了有關(guān)多個自由度振動器的頻率調(diào)整的想法將固有頻率設置為根本頻率的整數(shù)倍數(shù)。在實際中，如果一個駐波的頻率是根本諧波的整數(shù)倍，其振動的波動方程對應的連續(xù)系統(tǒng)，也可以用系統(tǒng)(3)作有限維逼近。參考文獻【1】 J. Mikota, Z. Angew. Math. Mech. 81, S201S202 (2001).【2】 K. Klotter, Technische Schwingungslehre, Vol. 2, 2ndEdition (Springer, Berlin, 1960).【3】 P. E. John,An eigenvalue conjecture of P. C. Muller (University of Wuppertal), p