人教版高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)-對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1、2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)第二章2022高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI課標(biāo)要求1.理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.通過具體實(shí)例,了解對數(shù)函數(shù)的概念.3.能用描點(diǎn)法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).4.知道對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a0,且a1).備考指導(dǎo)作為另一種重要的基本初等函數(shù),對數(shù)函數(shù)比指數(shù)函數(shù)在高考中更加常見,除了基本的對數(shù)運(yùn)算、圖象與性質(zhì)外,對數(shù)運(yùn)算還經(jīng)常與其他知識綜合考查.解題時要重視對數(shù)的真數(shù)大于0這一條件,重視其

2、圖象以及單調(diào)性等性質(zhì)的應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實(shí)【知識篩查】 1.對數(shù)的概念(1)根據(jù)下圖的提示填寫與對數(shù)有關(guān)的概念:(2)a的取值范圍: a0,且a1 .2.常用對數(shù)與自然對數(shù) 3.對數(shù)的性質(zhì) 6.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 7.反函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax(a0,且a1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,且a1)互為反函數(shù).互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y=x 對稱.它們的定義域與值域正好互換.1.換底公式的兩個重要結(jié)論 其中a0,且a1,b0,且b1,m0,nR. 2.對

3、數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖,作直線y=1,則該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),故0cd1a1時,函數(shù)y=logax的圖象為選項(xiàng)B,D中過點(diǎn)(1,0)的曲線,此時函數(shù)y=-x+a的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a應(yīng)滿足a1,選項(xiàng)B,D中的圖象都不符合要求;當(dāng)0a1時,函數(shù)y=logax的圖象為選項(xiàng)A,C中過點(diǎn)(1,0)的曲線,此時函數(shù) y=-x+a的圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)a應(yīng)滿足0a0,且a1)的圖象恒過的定點(diǎn)是.(2,2) 當(dāng)x=2時,函數(shù)y=loga(x-1)+2(a0,且a1)的值為2,所以圖象恒過定點(diǎn)(2,2).4第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1對數(shù)式的化簡與求值A(chǔ)-20解

4、題心得對數(shù)運(yùn)算的一般思路:(1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡合并.(2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算,逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.(2)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.2 能力形成點(diǎn)2對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x0時,f(x)=ln(x+1),則函數(shù)f(x)的大致圖象為()C先作出當(dāng)x0時,f(x)=

5、ln(x+1)的圖象,顯然圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),再作此圖象關(guān)于y軸對稱的圖象,可得函數(shù)f(x)在R上的大致圖象,如選項(xiàng)C中圖象所示.B拓展延伸若本例(2)變?yōu)榉匠?x=logax在區(qū)間 上有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解題心得應(yīng)用對數(shù)型函數(shù)的圖象可求解的問題:(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù),在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時,常利用數(shù)形結(jié)合思想.(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題,利用數(shù)形結(jié)合法求解.對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a0,a1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是()A.a1,c1B.a1,

6、0c1C.0a1D.0a1,0c1D由該函數(shù)的圖象通過第一、第二、第四象限知該函數(shù)為減函數(shù),所以0a1.因?yàn)閳D象與x軸的交點(diǎn)在區(qū)間(0,1)之間,所以該函數(shù)的圖象是由函數(shù)y=logax的圖象向左平移不到1個單位長度后得到的,所以0c1.(2)若不等式x2-logax0對任意 恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.能力形成點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用命題角度1 比較對數(shù)值的大小例3已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.acbB.abcC.bcaD.ca0,且a1).(1)求f(x)的定義域;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解 (1)由ax-10,得a

7、x1.當(dāng)a1時,x0;當(dāng)0a1時,x1時,f(x)的定義域?yàn)?0,+);當(dāng)0a1時,f(x)的定義域?yàn)?-,0).所以f(x1)1時,f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.類似地,當(dāng)0abcB.bacC.cbaD.cabD且y=log2x在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,所以log23log2elog22=1,即ca1.因?yàn)閥=ln x在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,且b=ln 2,所以ln 2ln e=1,即bab.故選D.(2)若不等式logx(2x2+1)logx(3x)0,且a1.(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性,并予以證明;(3)當(dāng)a1時,求使f(x)0的x的取值范圍.解 (

8、1)因?yàn)閒(x)=loga(x+1)-loga(1-x), 故所求函數(shù)的定義域?yàn)閤|-1x1.(2)f(x)為奇函數(shù).證明如下:由(1)知f(x)的定義域?yàn)閤|-1x1時,f(x)在定義域(-1,1)內(nèi)是增函數(shù),所以x的取值范圍是(0,1). 第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性問題命題角度1 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題典例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;解題提示本題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求解時要先求函數(shù)的定義域.解:(1)由題意知x2+4x-120,依據(jù)二次函數(shù)t=x2+4x-12的圖象可得x2或x-6.且t=x2+4x-12在區(qū)間(-,-6)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+)內(nèi)單

9、調(diào)遞增.又 是區(qū)間(0,+)內(nèi)的減函數(shù),故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-6),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+).(2)令t=log0.4x,且t=log0.4x在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減.又y=t2-2t+2=(t-1)2+1在區(qū)間1,+)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-,1)內(nèi)單調(diào)遞減,由t=log0.4x1,得0 x0.4,由t=log0.4x0.4.故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0.4,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,0.4.解題心得對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解策略(1)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分兩類:一類是對數(shù)函數(shù)為外函數(shù),即y=logaf(x) (a0,且a1)型;另一類是對數(shù)函數(shù)為內(nèi)函數(shù),即y=f(logax)(a0,且a1)型.(2)對于y=logaf(x)(a0,且a1)型函數(shù)的單調(diào)性,有以下結(jié)論:y=logaf(x)(a0,且a1)的單調(diào)性與u=f(x)(f(x)0)的單調(diào)性在a1時相同,在0a0,且a1)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,一般令t=logax,則只需研究t=logax及y=f(t)的單調(diào)性即可.命題角度2