高一數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)歸納

1、對(duì)數(shù)函數(shù)概念的理解歸納總結(jié),得出定義: 指數(shù)函數(shù) 反映了數(shù)集R與數(shù)集y | y0之間 的 關(guān)系,如果把y看成自變量,對(duì)于任意y (0，+ ),在R中都有唯一的數(shù) x 滿足 。如果把y當(dāng)作自變量,則 x 就是 y 的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)就 是 x=ay 。 函數(shù) x=ay 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。這里a0,a1。自變量y0。習(xí)慣上,自變量用x表示,所以這個(gè)函數(shù)寫成y=ax（a0, a0)。 定義:我們把函數(shù) y=ax（a0, a0) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù),a叫做對(duì)數(shù)函 數(shù)的底數(shù)。函數(shù)的定義域是(0,+ ),值域是R 。 特別地,我們稱以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y= lgx為常用對(duì)數(shù),稱以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)y=x為自然對(duì)數(shù)

2、。 三例題研究 例1 計(jì)算： （1)計(jì)算對(duì)數(shù)函數(shù)y=2x對(duì)應(yīng)于x取1，2，4時(shí)的函數(shù)值； (2)計(jì)算常用對(duì)數(shù)函數(shù)y=l g x對(duì)應(yīng)于x取1，10，100，0.1時(shí)的函數(shù)值. ( 分析：計(jì)算函數(shù)值，只要把自變量的取值代入相應(yīng)的函數(shù)式,運(yùn)用已學(xué)的對(duì)數(shù)知識(shí)求解即可。) 解 （1）當(dāng)x=1時(shí)，y=2x=21=0， 當(dāng)x=2時(shí)，y=2 x=22=1， 當(dāng)x=4時(shí)，y=2 x=24=2；其他的不等式解法一、分式不等式四種主要類型1、（注意前面的系數(shù)是否為正若為負(fù)要先變正）2、3、（1）、（若分母的正負(fù)不能判定）則先移項(xiàng)，再通分（2）轉(zhuǎn)化為 4、（1）、（若分母的正負(fù)不能判定）則先移項(xiàng)，再通分偶函數(shù)的定義：

3、若對(duì)于函數(shù)的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，那么就把函數(shù)叫做偶函數(shù)。二、偶函數(shù)的性質(zhì)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱 偶函數(shù)在對(duì)稱的定義域內(nèi)單調(diào)性相反 （即絕對(duì)值加在自變量上）是偶函數(shù)。三、奇函數(shù)的定義：若對(duì)于函數(shù)的定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，那么就把函數(shù)叫做偶函數(shù)。四、奇函數(shù)性質(zhì)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 圖像關(guān)于原對(duì)稱（即圖像關(guān)于原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度會(huì)重合）奇函數(shù)在對(duì)稱的定義域內(nèi)單調(diào)性一致 奇函數(shù)函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)的對(duì)稱性研究的是函數(shù)的整體。五運(yùn)用：判斷函數(shù)的奇偶性的方法：、（把圖表畫出） 、利用函數(shù)的圖像 、利用函數(shù)的性質(zhì)：在公共的定義域內(nèi)奇函數(shù)奇函數(shù)=-奇函數(shù) ，.偶函數(shù)偶函數(shù)

4、=偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)= 偶函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)。奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)（用于做填空、選擇題）3.5與函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像一、與函數(shù)有關(guān)的對(duì)稱：1、的圖像與的圖像關(guān)于對(duì)稱，2、的圖像與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱。3、的圖像與的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。二、如何通過的圖像畫與的圖像1、如何通過的圖像畫出其步驟是：（因?yàn)榻^對(duì)值加在自變量上，所以對(duì)于定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下有即是偶函數(shù) ） 當(dāng) 可以去掉絕對(duì)值即 畫出的圖像取 軸右半部分（因?yàn)椋?再把右邊的圖像沿 軸翻折 是偶函數(shù))2通過的圖像畫出其步驟是：先畫出 的圖像 保留軸的上半部分的圖像，軸下半部分沿軸翻折上去。如：函數(shù)的大致圖象是3、如何通過的圖像畫出

5、的圖像：將圖像通過左加右減平移得到（注意左右平移也可逆向即通過的圖像得到的圖像）舉例：4、如何通過的圖像畫出的圖像：將圖像通過上加下減平移得到（注意上下平移也可逆向即通過的圖像得到的圖像）舉例：*（注意不管是上下平移還是左右平移如果圖像有漸近線的話，漸近線一定要跟著平移）3.6函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性定義：1、単調(diào)增函數(shù)定義：函數(shù)，定義域，給定區(qū)間，對(duì)于任意的，若，有，則函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞增函數(shù)，2、単調(diào)減函數(shù)的定義：函數(shù)，定義域，給定區(qū)間，對(duì)于任意的，若，有，則函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減函數(shù)：如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或者減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，這

6、個(gè)區(qū)間叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。）注：函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，一個(gè)函數(shù)在定義域上可以有多個(gè)增減性不同的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)圖像在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨著的增大圖像上升或下降，若上升則在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，若圖像下降，則在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。函數(shù)的単調(diào)性是針對(duì)某些區(qū)間它是局部的性質(zhì)。模型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間記住下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一次函數(shù)：時(shí)，在為增區(qū)間，時(shí)，在為減區(qū)間，反比列函數(shù)：當(dāng)時(shí)，在， 為減區(qū)間。（注意不能寫成為減區(qū)間）當(dāng)時(shí)，在， 為增區(qū)間二次函數(shù)： （二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸有關(guān)）若 ：則在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞減增。（即在對(duì)稱軸的左邊減右邊增） 若 ： 則在 單調(diào)遞增，在

7、 單調(diào)遞減減。（即在對(duì)稱軸的右邊減左邊增） 4、耐克函數(shù)：（要求畫出圖像）在為增區(qū)間，在減區(qū)間。5函數(shù)（），在， 為增區(qū)間。三、性質(zhì)：1、偶函數(shù)在對(duì)稱的定義域內(nèi)単調(diào)性是相反的。奇函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性是一致的。2、（1）若函數(shù)是增函數(shù)，定義域是， 是增函數(shù)，定義域是，則在D內(nèi)+ =增函數(shù)（即增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)。（2）若函數(shù)是減函數(shù)， 是減函數(shù)，在公共的定義域內(nèi)，+ =減函數(shù)（即減函數(shù)+減函數(shù) =減函數(shù)）變形：（3）若函數(shù)是減函數(shù)， 是增函數(shù)，在公共的定義域內(nèi)-為減函數(shù) （4）、若函數(shù)是增函數(shù)， 是減函數(shù)，在公共的定義域內(nèi)-為增函數(shù)。（5）若是增函數(shù)，則 -是減函數(shù)、如何判斷函數(shù)的單調(diào)性:根據(jù)

8、定義證明：圖象法（用來做填空選擇）：判斷下列函數(shù)單調(diào)性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1：y=|x|yx（-，0），y=|x|是減函數(shù)；x0，+，y=|x|是增函數(shù)o x例2：y遞增區(qū)間：-2，2和3，5遞減區(qū)間：-5，-2和2，3-5 -2 0 2 3 5 x注意：不能寫成遞增區(qū)間：-2，23，5的形式。根據(jù)模型函數(shù)求單調(diào)性（用來做填空選擇）：如根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)（用來做填空選擇）：3、復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間：解題思路是：第一步用換元法將復(fù)合函數(shù)分離為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，第二步：在定義域內(nèi)求內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)增和減區(qū)間，第三步：再寫出外層函數(shù)的單調(diào)性，第四：根據(jù)口訣：這些口訣概括為：同增異減.16、（1）最小值定

9、義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處的函數(shù)值是f(x0)，如果對(duì)于定義域內(nèi)任意x，不等式f(x)f(x0)都成立，那么f(x0)叫做函數(shù)y=f(x)的最小值，記作= f(x0)；（2）最大值定義：如果對(duì)于定義域內(nèi)任意x，不等式f(x)f(x0)都成立，那么f(x0)叫做函數(shù)y=f(x)的最大值，記作= f(x0)。說明：1.從形的角度看，在函數(shù)定義域內(nèi)圖象的最高(低)點(diǎn)即為最值點(diǎn)的縱坐標(biāo).2.函數(shù)的最值與函數(shù)的值域之間有密切的聯(lián)系.運(yùn)用：17、求最值的幾種方法：（1）運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)，（2）利用單調(diào)性 （3）用換元法 （4）用基本不等式或耐克函數(shù) （5）用圖像（6）用反表示法注這幾種方法

10、是求最值的基本方法，要求記住，若是碰到到求最值，方法一般是從里面挑一種，對(duì)于什么方法求什么類型函數(shù)的最值一定要牢記與心，希望各位的筆記本上每一種方法空用一張紙，做最值題時(shí)有意識(shí)的把題目進(jìn)行分類，寫在相應(yīng)的方法下。18、分式函數(shù)求最值：（1）1、函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)y=f(x)(xD)，如果存在實(shí)數(shù)c（cD），當(dāng)x=c時(shí)，f(c)=0，那么就把x=c叫做函數(shù)y=f(x) (xD)的零點(diǎn)。注：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、函數(shù)的零點(diǎn)存在的條件：如果函數(shù)y=f(x) (xD)在定義域D內(nèi)的一個(gè)區(qū)間a,b上的圖像是一段連續(xù)的曲線，

11、且有f(a)f(b)0時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞增，k2的解集是x?R| x-32或x| x-32 4、集合的分類： 1有限集 含有有限個(gè)元素的集合 2無限集 含有無限個(gè)元素的集合 3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5 二、集合間的基本關(guān)系 1.“包含”關(guān)系子集 注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A記作A B或B A 2“相等”關(guān)系(55，且55，則5=5) 實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-11 “元素相同” 結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的

12、元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B 任何一個(gè)集合是它本身的子集。A?A 真子集:如果A?B且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A) 如果 A?B B?C 那么 A?C 如果A?B 同時(shí) B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為 規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的運(yùn)算 1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合叫做AB的交集 記作AB(讀作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB 2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做AB的并集。記作：AB(讀作”A并B”)

13、，即AB=x|xA，或xB 3、交集與并集的性質(zhì)：AA = A A= AB = BA，AA = A A= A AB = BA. 4、全集與補(bǔ)集 （1）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集） 記作： CSA 即 CSA =x ? x?S且 x?A （2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。 （3）性質(zhì)：CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA)A=U 二、函數(shù)的有關(guān)概念 1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的

14、任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域三角函數(shù)公式 兩角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-ta

15、nB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2) sin(A/2)=-(1-cosA)/2) cos(A/2)=(1+cosA)/2) cos(A/2)=-(1+cosA)/2) tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=-(1

16、-cosA)/(1+cosA) ctg(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=-(1+cosA)/(1-cosA) 和差化積 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2 cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-

17、B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些數(shù)列前n項(xiàng)和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB

18、=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角 弧長(zhǎng)公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r 0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b-bab |a-b|a|-|b| -|a|a|a| 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根與系數(shù)的關(guān)系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達(dá)定理 判別式 b2-4ac=0 注：方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 b2-4ac0 注：方程有兩個(gè)不等的實(shí)根 b2-4ac0 注：方程沒有實(shí)根，有共軛復(fù)數(shù)根 降冪公式（sin2）x=1-cos2x/2（cos2）x=i=cos2x/2萬能公式 令tan(a/2)=t sina=2t/(1+t2) cosa=(1-t2)/(1+t2) tana=2t/(1-t2)1.2.1、函數(shù)的概念 1、 設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)