山大《理論力學》教案第4章 平面任意力系與一般力系

1、第4章 平面任意力系與一般力系第1節(jié) 平面任意力系一、目的要求1掌握平面任意力系向一點簡化的方法，會應(yīng)用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系簡化的結(jié)果。2深入理解平面力系的平衡條件及平衡方程的三種形式。3能熟練地計算在平面任意力系作用下單個剛體和物體系統(tǒng)平衡問題。4正確理解靜定與靜不定的概念，會判斷物體系統(tǒng)是否靜定。5.理解簡單桁架的簡化假設(shè)，掌握計算其桿件內(nèi)力的節(jié)點法和截面法及其綜合作用。二、基本內(nèi)容1.力的平移定理：可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶矩等于原來的力F對新作用點B的矩。2平面力系的簡化步驟如下：選取簡化中心O：題目指定點或自選點

2、（一般選在多個力交點上）建立直角坐標系Oxy主矢：平面力系各力的矢量和，即其中 其中為FR與x軸所夾銳角，所在象限由X、Y符號確定，并畫在簡化中心O上。主矩：平面力系中各力對于任選簡化中心之矩的代數(shù)和，即一個力系的主矢與簡化中心的選取無關(guān)；一般情況下，主矩與簡化中心的選取有關(guān)。簡化結(jié)果討論a. 若：平面力系與一力偶等效，此力偶為平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩Mo度量，這時主矩與簡化中心的選擇無關(guān)。b. 若：平面力系等效于作用線過簡化中心的一個合力FR，且有FR=FR。c. 若：平面力系簡化結(jié)果為一合力FR，其大小、方向與主矢相同，作用線在距簡化中心O為處。d. ，則該力系為平衡力系。3平面力

3、系的平衡條件和平衡方程平面力系平衡的充分必要條件是該力系的主矢和對作用面內(nèi)任意一點的主矩同時為零。其解析表達式有三種形式，稱為平衡方程。1）基本形式 2）二矩式 附加條件為：A、B兩點連線不垂直于x軸3）三矩式 附加條件為：A、B、C三點不共線特殊力系的平衡方程1）共線力系：2）平面匯交力系：4）平面平行力系： 4平面力系平衡方程的應(yīng)用應(yīng)用平衡方程式求解平衡問題的方法稱為解析法。它是求解平衡問題的主要方法。這種解題方法包含以下步驟：根據(jù)求解的問題，恰當?shù)倪x取研究對象：所謂研究對象，是指為了解決問題而選擇的分析主體。選取研究對象的原則是，要使所取物體上既包含已知條件，又包含待求的未知量。對選取的

4、研究對象進行受力分析，正確地畫出受力圖：在正確畫出研究對象受力圖的基礎(chǔ)上，應(yīng)注意適當?shù)剡\用簡單力系的平衡條件如二力平衡、三力平衡匯交定理、力偶等效定理等確定未知反力的方位，以簡化求解過程。建立平衡方程式，求解未知量：為順利地建立平衡方程式求解未知量，應(yīng)注意如下幾點：(a)根據(jù)所研究的力系選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。(b)建立投影方程時，投影軸的選取原則上是任意的，并非一定取水平或鉛垂方向，應(yīng)根據(jù)具體問題從解題方便入手去考慮。c)建立力矩方程時，矩心的選取也應(yīng)從解題方便的角度加以考慮。d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一組線

5、性方程組，這說明一個靜力學題經(jīng)過上述力學分析后將歸結(jié)于一個線性方程組的求解問題。從理論上講，只要所建立的平衡方程組具有完整的定解條件（獨立方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等），則求解并不困難，若要解的方程組相互聯(lián)立，則計算（指手算）耗時費力。為免去這種麻煩，就要求在列平衡方程式時要運用一些技巧，盡可能做到每個方程只含有一個（或較少）的未知量，以便手算求解。5平面簡單桁架內(nèi)力的計算1）桁架：是由若干直桿在端點用鉸連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。若所有桿件都在同一平面內(nèi)稱其為平面桁架。2）在工程中的桁架滿足四點假設(shè)。稱其為理想桁架，這樣桁架的各桿都可以稱為兩端受力作用的二力桿件。3）桁架的堅固性條件和靜定條件

6、：2n=m+34）求平面靜定桁架各桿內(nèi)力的兩種方法。節(jié)點法：逐個考慮桁架中所有節(jié)點的平衡，應(yīng)用平面匯交力系的平衡方程求出各桿的內(nèi)力。截面法：截斷待求內(nèi)力的桿件，將桁架截斷為兩部分，取其中的一部分為研究對象，應(yīng)用平面任意力系的平衡方程求出被截斷各桿件的內(nèi)力。三、重點和難點重點：1.平面任意力系向作用面內(nèi)任一點的簡化及力系的簡化結(jié)果。2.平面任意力系平衡的解析條件及平衡方程的各種形式。3.物體及物體系平衡問題的解法。難點：1、主矢與主矩的概念。 2、利用特殊力系的特點畫出某些約束反力，選擇恰當?shù)钠胶夥匠糖蠼馕粗俊?3、物體系平衡問題中正確選取研究對象及平衡方程。4會用節(jié)點法，截面法求解平面靜定桁

7、架的內(nèi)力四、學習建議對平面力系的簡化方法及簡化結(jié)果應(yīng)闡述透徹。特別指出：主矢和主矩是在對一個力系進行簡化時，為了準確描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不是合力，合力有大小，方向與作用點三個要素，而主矢只具有大小和方向兩個特征，力系的主矢與簡化中心無關(guān)。一般而言，主矩的大小、轉(zhuǎn)向與簡化中心的選取有關(guān)，但是在主矢為零的情況下，主矩與簡化中心無關(guān)。注意對不同的簡化中心的簡化結(jié)果表面上看互不相同，但它們互為等效力系。對物體系統(tǒng)平衡問題中如何選取恰當?shù)难芯繉ο蠛推胶夥匠?，通過典型例題著重了解，并進行歸納總結(jié)。特別指出如下要點：其一，求解物系的平衡問題的關(guān)鍵在于選取研究對象，它需要一定的分析判斷能力，也

8、需要經(jīng)驗的積累。在選取研究對象時，有兩種極端情況：（a）只選取整體為研究對象，在此要注意受力圖中只畫外力，不畫內(nèi)力，本質(zhì)問題是由外力構(gòu)成的力系平衡問題，因此，無法求解系統(tǒng)內(nèi)力，且當未知數(shù)多于三個時，也無法求解全部未知量；(b)將系統(tǒng)中所有剛體相互隔離，取每個剛體單獨作為研究對象，由于是靜定問題，則全部內(nèi)外反力借助全部的平衡方程均可解出，雖思路簡單，但由于求出多個不需求的未知力，使求解工作量增加，且過程繁瑣。因此，一般而言，應(yīng)根據(jù)題目的具體要求，靈活選取研究對象，盡量以最少的研究對象求解系統(tǒng)的平衡問題。其二：在開始求解平衡方程時，如果獨立平衡方程式的個數(shù)少于未知量的個數(shù)，可能出現(xiàn)兩種情況：(a)

9、該問題是靜不定問題；(b)該問題為剛體系統(tǒng)的平衡問題，需再次選擇研究對象。應(yīng)注意的是，此種情形下，雖然不能依據(jù)這些平衡方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一個或兩個未知量。簡單桁架的內(nèi)力計算實際上是平衡方程的工程應(yīng)用，當桁架結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，桿件總數(shù)和節(jié)點數(shù)都比較大的情形下，則無論采用節(jié)點法或截面法，計算量都可能較大。若采用計算機分析方法，則會簡單得多。目前一些工程力學應(yīng)用軟件中，都包含有分析靜定和超靜定桁架內(nèi)力的程序。第2節(jié) 一般力系一、目的和要求1、掌握空間力系向一點簡化的方法，會應(yīng)用解析法求主矢和主矩，明確空間力系合成的四種結(jié)果。2能正確地畫出各種常見空間的約束反力。3、會應(yīng)用各種形式的

10、空間力系平衡方程求解簡單空間平衡問題。4深入理解平面力系的平衡條件及平衡方程的三種形式。5能熟練地計算在平面任意力系作用下物體和物體系統(tǒng)的平衡問題。6、對平行力系中心和重心應(yīng)有清晰的概念，能熟練地應(yīng)用坐標公式求物體的重心。7正確理解靜定與靜不定的概念，會判斷物體系統(tǒng)是否靜定。二、基本內(nèi)容1基本概念1）空間力系向已知點O簡化空間力系向已知點O簡化的一般結(jié)果為一個作用在O點的力和一個力偶，該力矢量等于此力系的主矢。該力偶的力偶矩矢量等于力系對簡化中心O的主矩。主矢與簡化中心的選取無關(guān)。一般情況下，主矩與簡化中心的選取有關(guān)。2）主矢和主矩主矢：力系各力的矢量和，即主矩：力系中各力對于任選簡化中心O之

11、矩的矢量和，即3）靜定和靜不定問題4）合力矩定理空間力系的合力對任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的矢量和，即Mo(FR)=Mo(F)空間力系的合力對任一軸（例如z軸）之矩等于力系中各力對同一軸之矩的代數(shù)和，即Mz(FR)=Mz(F)=(xY-yX)2空間力系合成的最終結(jié)果1）空間力系合成的最終結(jié)果空間力系的最終合成結(jié)果有四種可能：一個合力、一個合力偶、一個力螺旋和平衡，這四種結(jié)果可由力系的主矢和力系對任意一點的主矩來判斷。具體歸納如下：主 矢主 矩最后結(jié)果說 明FRMo=0平 衡Mo0合力偶此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)FR0Mo=0合 力合力作用線通過簡化中心Mo0FRMo合 力合力作用線

12、離簡化中心O的距離為Mo0FRMo力螺旋力系的中心軸通過簡化中心FR與Mo成角力螺旋力系的中心軸離簡化中心O的距離為2）平面力系的簡化步驟如下：選取簡化中心O：題目指定點或自選點（一般選在多個力交點上）建立直角坐標系Oxy求主矢： 其中為FR與x軸所夾銳角，所在象限由X、Y符號確定，并畫在簡化中心O上。求主矩： 逆正順負，畫在圖中簡化結(jié)果討論a. 若：平面力系與一力偶等效，此力偶為平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩Mo度量，這時主矩與簡化中心的選擇無關(guān)。b. 若：平面力系等效于作用線過簡化中心的一個合力FR，且有FR=FR。c. 若：平面力系簡化結(jié)果為一合力FR，其大小、方向與主矢相同，作用線在

13、距簡化中心O為處。d. ，則該力系為平衡力系。3空間力系的平衡條件和平衡方程空間力系平衡的充分與必要條件為：該力系的主矢和對任意點的主矩同時為零。其基本形式的平衡方程為：X=0 Mx(F)=0Y=0 My(F)=0Z=0 Mz(F)=0須指出，空間一般力系有六個獨立的平衡方程可以求解六個未知量。具體應(yīng)用時，不一定使3個投影軸或矩軸互相垂直，也沒有必要使矩軸和投影軸重合，而可以選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一個平衡方程中所含未知量最少，以簡化計算。此外，還可以將投影方程用適當?shù)牧胤匠倘〈?，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。使計算更為簡便?平面力系的平衡條件和平衡方程平面力系平衡的充分

14、必要條件是該力系的主矢和對作用面內(nèi)任意一點的主矩同時為零。其解析表達式有三種形式，稱為平衡方程。1）基本形式 2）二矩式 附加條件為：A、B兩點連線不垂直于x軸3）三矩式 附加條件為：A、B、C三點不共線特殊力系的平衡方程1）共線力系：2）平面匯交力系：3）平面力偶系： 4）平面平行力系： 5空間力系平衡方程的應(yīng)用求解空間力系平衡問題的要點歸納如下：（1）求解空間力系的平衡問題，其解題步驟與平面力系相同，即先確定研究對象，再進行受力分析，畫出受力圖，最后列出平衡方程求解。但是，由于力系中各力在空間任意分布，故某些約束的類型及其反力的畫法與平面力系有所不同。（2）為簡化計算，在選擇投影軸與力矩軸

15、時，注意使軸與各力的有關(guān)角度及尺寸為已知或較易求出，并盡可能使軸與大多數(shù)的未知力平行或相交，這樣在計算力在坐標軸上的投影或力對軸之矩就較為方便，且使平衡方程中所含未知量較少。同時注意，空間力偶對軸之矩等于力偶矩矢在該軸上的投影。（3）根據(jù)題目特點，可選用不同形式的平衡方程。所選投影軸不必相互垂直，也不必與矩軸重合。當用力矩方程取代投影方程時，必須附加相應(yīng)條件以確保方程的獨立性。但由于這些附加條件比較復(fù)雜，故具體應(yīng)用時，只要所建立的一組平衡方程，能解出全部未知量，則說明這組平衡方程是彼此獨立的，已滿足了附加條件。（4）求解空間力系平衡問題，有時采用將該力系向三個正交的坐標平面投影的方法，把空間力

16、系的平衡問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解。這時必須注意正確確定各力在投影面中投影的大小、方向及作用點的位置。6平行力系中心及物體的重心1）平行力系中心只要平行力系中各力的大小及作用點的位置確定，無論平行力系中力的方向如何，其合力作用線必定通過確定的一點，該點稱為平行力系中心。其坐標公式為2）物體的重心物體的重心是該重力的合力始終通過的一點。均質(zhì)物體的重心與中心重合。物體的重心在物體內(nèi)占有確定的位置，與物體在空間的位置無關(guān)。物體重心的坐標公式為三、重點和難點重點：1平面力系、空間匯交力系、空間任意力系、空間平行力系的平衡方程及其應(yīng)用；2各種常見的空間約束，平面固定端約束及約束反力畫法3重心的坐標公式。難點

17、：1、利用特殊力系的特點畫出某些約束反力，選擇恰當?shù)钠胶夥匠糖蠼馕粗俊?2、物體系平衡問題中正確選取研究對象及平衡方程。3空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖。4解空間力系平衡問題時力矩軸的選??；四、教學建議1教學提示對平面力系的簡化方法及簡化結(jié)果應(yīng)闡述透徹。特別指出：主矢和主矩是在對一個力系進行簡化時，為了準確描述力系的特征而引入的重要概念。主矢不是合力，合力有大小，方向與作用點三個要素，而主矢只具有大小和方向兩個特征，力系的主矢與簡化中心無關(guān)。一般而言，主矩的大小、轉(zhuǎn)向與簡化中心的選取有關(guān)，但是在主矢為零的情況下，主矩與簡化中心無關(guān)。注意對不同的簡化中心的簡化結(jié)果表面上看互不相同，但它們互為等效力

18、系。對物體系統(tǒng)平衡問題中如何選取恰當?shù)难芯繉ο蠛推胶夥匠?，?yīng)通過典型例題著重講解，并引導學生進行歸納總結(jié)。特別指出如下要點：其一，求解物系的平衡問題的關(guān)鍵在于選取研究對象，它需要一定的分析判斷能力，也需要經(jīng)驗的積累。在選取研究對象時，有兩種極端情況：（a）只選取整體為研究對象，在此要注意受力圖中只畫外力，不畫內(nèi)力，本質(zhì)問題是由外力構(gòu)成的力系平衡問題，因此，無法求解系統(tǒng)內(nèi)力，且當未知數(shù)多于三個時，也無法求解全部未知量；(b)將系統(tǒng)中所有剛體相互隔離，取每個剛體單獨作為研究對象，由于是靜定問題，則全部內(nèi)外反力借助全部的平衡方程均可解出，雖思路簡單，但由于求出多個不需求的未知力，使求解工作量增加，且過程繁瑣。因此，一般而言，應(yīng)根據(jù)題目的具體要求，靈活選取研究對象，盡量以最少的研究對象求解系統(tǒng)的平衡問題。其二：在開始求解平衡方程時，如果獨立平衡方程式的個數(shù)少于未知量的個數(shù)，可能出現(xiàn)兩種情況：(a)該問題是靜不定問題；(b)該問題為剛體系統(tǒng)的平衡問題，需再次選擇研究對象。應(yīng)注意的是，此種情形下，雖然不能依據(jù)這些平衡方程式求出全部未知量，但有可能求出其中的一個或兩個未知量。適當介紹有關(guān)結(jié)構(gòu)分析軟件，初步培養(yǎng)學生力學建模和解決復(fù)雜物系平衡問題的能力。采用模型或多媒體課件講解建立空間概念。通過與平面任意力系對照和比較的方法，來理解空間任意力