時間序列分析簡介

1、時間序列分析簡介最早的時間序列分析可以追溯到7000年前的古埃及引言尼羅河漲落的情況古埃及的農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展埃及燦爛的史前文明按照時間的順序把隨機(jī)事件變化發(fā)展的過程記錄下來就構(gòu)成了一個時間序列隨機(jī)序列：按時間順序排列的一組隨機(jī)變量時間序列的定義觀察值序列：隨機(jī)序列的n個有序觀察值，稱之為序列長度為n的觀察值序列時間序列分析方法描述性時序分析統(tǒng)計時序分析描述性時序分析案例 太陽黑子的活動統(tǒng)計時序分析頻域分析方法時域分析方法原理時域分析方法事件的發(fā)展慣性序列值之間的關(guān)系統(tǒng)計規(guī)律目的時域分析方法尋找統(tǒng)計規(guī)律擬合數(shù)學(xué)模型預(yù)測未來走勢時間序列的預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗純隨機(jī)性檢驗寬平穩(wěn)序列特征統(tǒng)計量均值方差自協(xié)方差

2、自相關(guān)系數(shù)寬平穩(wěn)序列寬平穩(wěn)序列的特征協(xié)方差結(jié)構(gòu)的平移不變性常數(shù)均值常數(shù)方差實際應(yīng)用的普遍性平穩(wěn)性的檢驗 圖檢驗方法統(tǒng)計檢驗方法時序圖檢驗自相關(guān)圖檢驗單位根檢驗時序圖檢驗 根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個常數(shù)值附近隨機(jī)波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及周期自相關(guān)圖檢驗 平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會很快地衰減向零例子 例1. 檢驗1964年1999年中國紗年產(chǎn)量 序列的平穩(wěn)性時序圖自相關(guān)圖例子 例2.檢驗1962年1月1975年12月平均 每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列的平穩(wěn)性時序圖自

3、相關(guān)圖例子 例3.檢驗1949年1998年北京市每年 最高氣溫序列的平穩(wěn)性時序圖自相關(guān)圖純隨機(jī)序列沒有記憶的序列過去的行為對將來的發(fā)展絲毫沒有影響純隨機(jī)序列是沒有任何分析價值的序列純隨機(jī)序列白噪聲序列的性質(zhì)純隨機(jī)性方差齊性 例子 例4.隨機(jī)產(chǎn)生1000個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 白噪聲序列觀察值.時序圖自相關(guān)圖純隨機(jī)性檢驗檢驗原理Barlett定理純隨機(jī)性檢驗假設(shè)條件純隨機(jī)性檢驗檢驗統(tǒng)計量Q統(tǒng)計量LB統(tǒng)計量純隨機(jī)性檢驗判別原則當(dāng)檢驗統(tǒng)計量大于 分位點，或該統(tǒng)計量的P值小于 時，則可以以 的置信水平拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序列，否則，就接受原假設(shè)，即認(rèn)為該序列為白噪聲序列。例子 例4.(續(xù))

4、檢驗結(jié)果延遲 統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454結(jié)論：接受原假設(shè)即該序列是白噪聲序列例子 時序圖例5.對1950年1998年北京市城鄉(xiāng)居民 定期儲蓄所占比例序列的平穩(wěn)性與純 隨機(jī)性進(jìn)行檢驗 自相關(guān)圖檢驗結(jié)果延遲 統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量值P值延遲6期75.460.0001延遲12期82.570.0001結(jié)論：拒絕原假設(shè)即該序列是非白噪聲序列平穩(wěn)非白噪聲序列的建模及預(yù)測平穩(wěn)時間序列分析差分運算一階差分p階差分k步差分延遲算子延遲算子與差分運算k階差分k步差分線性差分方程 AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Aver

5、age Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）AR模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為p階自回歸模型，簡記為AR(p)AR(p)序列中心化變換令今后都簡化為對中心化模型進(jìn)行分析AR模型p階自回歸系數(shù)多項式AR模型平穩(wěn)性判別 圖示法特征根判別法平穩(wěn)域判別法例子 例1.考察如下四個模型的平穩(wěn)性時序圖圖示法時序圖時序圖時序圖特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的特征根都在單位圓內(nèi)AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別AR(p)模型的平穩(wěn)域AR(1)模型的平穩(wěn)域AR(2)模型的平穩(wěn)域例子 例2.考察如下四個模

6、型的平穩(wěn)性模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)平穩(wěn)AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復(fù)指數(shù)衰減例子 例3.考察如下AR模型的自相關(guān)圖平穩(wěn)AR模型偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性例4.考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖MA模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為q階移動平均模型，簡記為MA(q)MA模型q階移動平均系數(shù)多項式例子 例5.考察如下MA模型的相關(guān)性質(zhì)自相關(guān)圖自相關(guān)圖偏自相關(guān)圖偏自相關(guān)圖MA模型的可逆性自相關(guān)系數(shù)的不唯一性自相關(guān)系數(shù)和模型之間不是一一對應(yīng)給模型增加約束條件可逆性條件MA(q)模型的可逆條件特征根判別MA(q)模型可逆的充要條件是它的特征根都在單位圓內(nèi)MA(q)模型可逆

7、的充要條件是移動平均系數(shù)多項式的根都在單位圓外MA(q)模型的可逆條件可逆域判別MA(q)模型的可逆域MA(1)模型的可逆域MA(2)模型的可逆域ARMA模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為ARMA(p,q)ARMA模型平穩(wěn)條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件:可逆條件ARMA(p,q)模型的可逆條件:例子 例6.擬合下列模型ARMA(1,1), 并直觀地 考察該模型自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系 數(shù)的性質(zhì)。 自相關(guān)系數(shù)拖尾性自相關(guān)圖偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性偏自相關(guān)圖模型自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)AR(p)拖尾P階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾ARMA模型相關(guān)性特征平穩(wěn)序列

8、建模 建模步驟模型識別參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測平穩(wěn)非白噪聲序列計算樣本相關(guān)系數(shù)模型識別參數(shù)估計模型檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化序列預(yù)測YN建模步驟 計算樣本相關(guān)系數(shù)樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)選擇模型拖尾p階截尾AR(p)q階截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)模型識別模型識別的困難由于樣本的隨機(jī)性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的ACF或PACF仍會呈現(xiàn)出小值振蕩的情況由于平穩(wěn)時間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)的增加，ACF與PACF都會衰減至零值附近作小值波動當(dāng)ACF或PACF在延遲若干階之后衰減為小值波動時，什么情況下該看作相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作相

9、關(guān)系數(shù)在延遲若干階之后正常衰減到零值附近作拖尾波動呢？ 模型定階經(jīng)驗方法如果樣本(偏)自相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，而后幾乎95的自相關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍以內(nèi)，而且通常由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然。這時，通常視為(偏)自相關(guān)系數(shù)截尾。截尾階數(shù)為d。例子 例7.選擇合適的ARMA模型擬合1950年 1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲蓄 比例序列。時序圖延遲 統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量值P值延遲6期75.460.0001延遲12期82.570.0001該序列是非白噪聲序列自相關(guān)圖自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)圖偏自相關(guān)系數(shù)1階截尾AR(1)模型例子 例8.選擇合適的ARMA模型擬

10、合美國科羅 拉多州某一加油站連續(xù)57天的 OVERSHORT序列 時序圖自相關(guān)圖自相關(guān)系數(shù)1階截尾偏自相關(guān)圖偏自相關(guān)系數(shù)拖尾MA(1)模型矩估計極大似然估計最小二乘估計參數(shù)估計例子 例7續(xù).確定1950年1998年北京市城鄉(xiāng) 居民定期儲蓄比例序列擬合模型的 口徑 擬合模型:AR(1)估計方法:極大似然估計模型口徑:例子 例8續(xù).確定美國科羅拉多州某一加油站連 續(xù)57天的OVERSHORTS序列擬合 模型的口徑 擬合模型:MA(1)估計方法:最小二乘估計模型口徑:模型檢驗?zāi)Ｐ偷娘@著性檢驗整個模型對信息的提取是否充分參數(shù)的顯著性檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)構(gòu)是否最簡殘差項是否含有相關(guān)信息每一個參數(shù)是否顯著非零模型的

11、顯著性檢驗檢驗?zāi)康臋z驗?zāi)Ｐ偷挠行?對信息的提取是否充分判定原則殘差序列是否為白噪聲序列檢驗對象殘差序列參數(shù)的顯著性檢驗檢驗?zāi)康膭h除不顯著參數(shù)使模型結(jié)構(gòu)最精簡 判定原則每一個未知參數(shù)是否顯著非零檢驗對象模型參數(shù)例子 例7續(xù).檢驗1950年1998年北京市城鄉(xiāng) 居民定期儲蓄比例序列擬合模型的 顯著性 延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值檢驗結(jié)論65.830.3229擬合模型顯著有效1210.280.50501811.380.8361殘差白噪聲檢驗檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值46.120.0001顯著6.720.0001顯著參數(shù)顯著性檢驗例子 例8續(xù).對OVERSHORTS序列的擬合模型 進(jìn)行檢驗 檢驗參數(shù)t統(tǒng)

12、計量P值結(jié)論均值3.750.0004顯著10.600.0001顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論63.150.6772模型顯著有效129.050.6171殘差白噪聲檢驗參數(shù)顯著性檢驗?zāi)Ｐ蛢?yōu)化問題提出當(dāng)一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。優(yōu)化目的選擇相對最優(yōu)模型 例子 例9.擬合某一化學(xué)反應(yīng)序列時序圖白噪聲檢驗結(jié)果自相關(guān)系數(shù)2階截尾MA (2)模型偏自相關(guān)系數(shù)1階截尾AR (1)模型檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值39.840.0001顯著2.660.0099顯著-2.540.0134顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論62.280.6842模型顯著有效124.460.92421810.790.82252413.710.9115模型一的殘差白噪聲檢驗?zāi)Ｐ鸵坏膮?shù)顯著性檢驗MA (2)有效檢驗參數(shù)t統(tǒng)計量P值結(jié)論均值55.550.0001顯著-3.670.0005顯著延遲階數(shù)LB統(tǒng)計量P值結(jié)論64.600.4670模型顯著有效1