高中數(shù)學(xué)選修1-1配人教A版-課后習(xí)題2.1.2　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.若橢圓x2a2+y25=1(a5)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,則它的焦距為()A.4B.3C.2D.1解析橢圓x2a2+y25=1(a5)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,則2a=6,即a=3,由于b2=5,則c2=a2-b2=4,即c=2,則它的焦距為2c=4,故選A.答案A2.已知橢圓C的短軸長(zhǎng)為6,離心率為45,則橢圓C的焦點(diǎn)F到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為()A.9B.1C.1或9D.以上都不對(duì)解析因?yàn)闄E圓C的短軸長(zhǎng)為6,所以b=3,又因?yàn)殡x心率為e=ca=45,a2=b2+c2,所以a=5,c=4,所以橢圓C的焦點(diǎn)F到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為a+c=9或a-c=1,故選C

2、.答案C3.已知橢圓中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為(-3,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x24+y2=1B.x2+y24=1C.x23+y2=1D.x2+y23=1解析一個(gè)焦點(diǎn)為(-3,0),焦點(diǎn)在x軸上且c=3.長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,2a=22b,即a=2b,(2b)2-b2=3.b2=1,a2=4,故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.答案A4.已知橢圓y2a2+x2=1(a1)的離心率e=255,P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若定點(diǎn)B(-1,0),則|PB|的最大值為()A.32B.2C.52D.3解析由題意可得a2-1a2=2552,解得a2=5,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2

3、5+x2=1.設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),且-1x1,-5y5,則y2=5(1-x2),故|PB|=(x+1)2+y2=(x+1)2+5(1-x2)=-4x2+2x+6=-4x-142+254,當(dāng)x=14時(shí)滿(mǎn)足條件,所以|PB|max=52.答案C5.曲線(xiàn)x225+y29=1與曲線(xiàn)x225-k+y29-k=1(k9)的()A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B.短軸長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等解析由于kb0)的左、右焦點(diǎn),P為直線(xiàn)x=3a2上一點(diǎn),F2PF1是底角為30的等腰三角形,則E的離心率為()A.12B.23C.34D.45解析由題意得|PF2|=|F1F2|,所以232a-c=2c,所以3a=4c

4、,所以e=34.答案C7.以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為2,則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.解析由題意知,當(dāng)橢圓上點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí),三角形的面積取最大值,即有bc=2,a2=b2+c22bc=4(其中b0,c0),a2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取“=”.2a4,即橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為4.答案48.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸長(zhǎng)分成32兩部分,則這個(gè)橢圓的離心率為.解析依題意有(a+c)(a-c)=32,所以a=5c,故離心率為e=ca=15.答案159.(1)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為63,右焦點(diǎn)為(2,0),求橢圓C的方程;(2)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1

5、(ab0)經(jīng)過(guò)1,32,一個(gè)焦點(diǎn)為(3,0),求橢圓C的方程.解(1)由右焦點(diǎn)為(2,0),則c=2,又e=ca=63,所以a=3,b2=a2-c2=1,橢圓C的方程為x23+y2=1.(2)由題意得1a2+34b2=1,a2-b2=3,解得a=2,b=1,所以橢圓C的方程是x24+y2=1.10.已知橢圓x24+y23=1,試問(wèn)在橢圓上是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到橢圓的右焦點(diǎn)F與到直線(xiàn)x=4的距離相等?解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到橢圓的右焦點(diǎn)F與到直線(xiàn)x=4的距離相等.設(shè)M(x,y)(-2x2),則(x-1)2+y2=|x-4|,兩邊平

6、方得y2=-6x+15.又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,于是x=4.但由于-2x2,所以符合條件的點(diǎn)M不存在.能力提升1.若點(diǎn)A(1,m)在橢圓C:x24+y22=1的內(nèi)部,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(-6,6)B.-62,62C.-,-6262,+D.-32,32解析由題意知,124+m220,k1,a0)表示橢圓,費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì):若從橢圓上任意一點(diǎn)P向長(zhǎng)軸AB(異于A,B兩點(diǎn))引垂線(xiàn),垂足為Q,則PQ2AQBQ為常數(shù).據(jù)此推斷,此常數(shù)的值為()A.橢圓的離心率B.橢圓離心率的平方C.短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比D.短軸長(zhǎng)與

7、長(zhǎng)軸長(zhǎng)比的平方解析設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(ab0),取P為橢圓的上頂點(diǎn),則Q為原點(diǎn).PQ=b,AQ=BQ=a,則PQ2AQBQ=b2a2.故選D.答案D4.已知以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(2,0),給出下列四個(gè)條件:短半軸長(zhǎng)為2;長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為22;離心率為22;一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).其中可求得橢圓方程為x28+y24=1的條件有(填序號(hào)).解析只需保證a=22,b=2,c=2即可,而橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(22,0),故可求得橢圓方程為x28+y24=1.答案5.若分別過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)F1,F2所作的兩條互相垂直的直線(xiàn)l1,

8、l2的交點(diǎn)在橢圓上,則此橢圓的離心率的取值范圍是.解析設(shè)兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由橢圓的定義,可得d1+d2=2a.MF1MF2,d12+d22=4c2.(d1+d2)2=d12+d22+2d1d22(d12+d22),當(dāng)且僅當(dāng)d1=d2=a時(shí)等號(hào)成立,即4a22(4c2),a2c,ca22,即e22.又e1,22eb0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),且PF1PF2=c2,求橢圓離心率的取值范圍.解設(shè)P(x0,y0),則PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),所以PF1PF2=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=x02-c2+y02.因?yàn)镻(x0,y0)在橢圓上,所以x02a2+y02b2=1.所以y02=b21-x02a2,所以PF