第二型曲面積分論文

1、PAGE PAGE 18目錄 TOC o 1-2 h z u HYPERLINK l _Toc292723941 1 引言 PAGEREF _Toc292723941 h 1 HYPERLINK l _Toc292723942 2 文獻綜述 PAGEREF _Toc292723942 h 1 HYPERLINK l _Toc292723943 3預備知識 PAGEREF _Toc292723943 h 1 HYPERLINK l _Toc292723944 3.1 第二型曲面積分的定義 PAGEREF _Toc292723944 h 1 HYPERLINK l _Toc292723945 3.

2、2第二型曲面積分的性質(zhì) PAGEREF _Toc292723945 h 2 HYPERLINK l _Toc292723946 4常用計算公式 PAGEREF _Toc292723946 h 2 HYPERLINK l _Toc292723947 5 Mathematica相關知識 PAGEREF _Toc292723947 h 4 HYPERLINK l _Toc292723948 6第二型曲面積分的計算 PAGEREF _Toc292723948 h 5 HYPERLINK l _Toc292723949 6.1 用mathematica計算 PAGEREF _Toc292723949 h

3、 5 HYPERLINK l _Toc292723950 6.2分項投影法 PAGEREF _Toc292723950 h 6 HYPERLINK l _Toc292723951 6.3 參數(shù)法 PAGEREF _Toc292723951 h 8 HYPERLINK l _Toc292723952 6.4利用高斯公式 PAGEREF _Toc292723952 h 8 HYPERLINK l _Toc292723953 6.5定義法 PAGEREF _Toc292723953 h 12 HYPERLINK l _Toc292723954 6.6 解題技巧輪換對稱性 PAGEREF _Toc29

4、2723954 h 14 HYPERLINK l _Toc292723955 7結(jié)論 PAGEREF _Toc292723955 h 15 HYPERLINK l _Toc292723956 7.1 主要觀點 PAGEREF _Toc292723956 h 15 HYPERLINK l _Toc292723957 7.2 啟示 PAGEREF _Toc292723957 h 15 HYPERLINK l _Toc292723958 7.3 局限性 PAGEREF _Toc292723958 h 15 HYPERLINK l _Toc292723959 7.4 努力方向 PAGEREF _Toc

5、292723959 h 16 HYPERLINK l _Toc292723960 參考文獻 PAGEREF _Toc292723960 h 171 引言曲面積分是多元函數(shù)積分學的重要組成局部，在曲面積分的計算中，綜合運用著一元積分與重積分計算思路、方法與技巧，因而顯得更加復雜，繁瑣。在第二型曲面積分的學習過程中，學生必須在理解概念的同時，掌握求第二型曲面積分的方法和技巧。由于第二型曲面積分的的概念抽象費解，計算方法靈活多變，而且涉及的數(shù)學知識面廣，掌握起來有一定難度，本文就第二型曲面積分的的計算方法進行了歸納和總結(jié)，并用計算機輔助求解.2 文獻綜述眾多數(shù)學教育者從不同角度和側(cè)面探討了第二型曲面

6、積分的計算.劉玉璉在文獻?數(shù)學分析講義?中介紹了第二型曲面積分的概念、性質(zhì)，并且給出計算第二型面積分的定理.在文獻?數(shù)學試題精選與大體技巧?中概括了第二型曲面積分被積函數(shù)的類型.薛嘉慶在文獻?高等數(shù)學題庫精編?總結(jié)了根據(jù)被積函數(shù)類型的不同，有不同的計算方法，并且列舉了相應的例子.在文獻?數(shù)學分析簡明教程?中探究第二型曲面積分可以化為定積分來計算公式并給出相應的證明.在文獻?華東師范大學教學系?介紹了在第二型曲面積分的計算中將路徑的參數(shù)方程表示出來，在文獻?高等數(shù)學解題方法與技巧?簡述了做題常用的技巧.陽明盛.林建華在文獻?Mathemactica根底及數(shù)學軟件?中給出了用數(shù)學軟件Mathema

7、ctica解題的調(diào)用格式.3預備知識3.1 第二型曲面積分的定義設S為光滑的有向曲面，Px,y,z,Q(x,y,z),R(x,y,z) 在S上有界，把S任意分成n塊有向曲面，S，i=1,2，n，記S在xy平面上的有向投影為S，(，)為S上任取定的一點, 為每個S的直徑中的最大者,作和數(shù)， (，)S.如果 (，)S總存在，那么稱此極限值為R任有向曲面S上沿xy平面的第二型曲面積分，記為.類似可定義= (，)S,= (，)S,分別為P在有向曲面S上沿yz平面的第二型曲面積分，Q在有向曲面S上沿zx平面的第二型曲面積分，并且稱+=為P,Q,R在有向曲面S上的第二型曲面積分.3.2第二型曲面積分的性質(zhì)

8、第二型曲面積分除曲面可加性外，還具有有向性，即= ,+Rdz= +Rdz,= .3.3第一、第二型曲面積分的關系設空間有向曲面S上任一點的法線正向的方向角為，那么=.4常用計算公式4.1 投影法設P,Q,R是定義在光滑曲面上S上的連續(xù)函數(shù)，且S的方程z=z(x,y) (x,y)DD為S在xy平面上的投影，那么.zdxdy，dxdy，dxdy.其中S取上側(cè)同理，當S的方程為x=x(y,z)時,dydz,dydz.4.2參數(shù)法常用球面參數(shù)和柱面參數(shù)：球面參數(shù)：，可推廣到橢球面.柱面參數(shù)；,其他參數(shù)由于計算復雜使用不多.4.3單一坐標平面投影法 設以Oxy平面為投影面,以Oyz,Ozx平面為投影面情

9、況類似.4.4分項投影法分項投影法是利用第二型曲面積分的線性性：,分別將右式三項投影到Oyz,Ozx,Oxy平面上，由于，.分別投影直接計算二重積分，防止投影到一面上求偏導的計算，此法非常實用，看似復雜，實那么簡單，非常實用.計算中要注意原曲面與投影曲面一一對應，假設不一一對應要分片投影，如一個完整的球投影到xoy平面上，上下半球曲面要分別投影計算.計算中注意利用方向性等性質(zhì)以簡化計算.4.5奧高公式設空間有界去區(qū)域V的邊界為S，函數(shù)P,Q,R在V及S上具有一階連續(xù)偏導數(shù).那么=,其中S取正向.5 Mathematica相關知識5.1曲面表示法(1)直角坐標顯式：z=z(x,y);(2)直角坐

10、標隱式：Fx,y,z;(3)參數(shù)形式：x=x(u.v),y=(u,v),z=(u.v);(4)數(shù)據(jù)形式：即將曲面上的點表示為, ,;.5.2曲面繪制法顯示曲面z=f(x,y)繪圖函數(shù)的調(diào)用格式：Plot3Df(x,y),x,x1,x2,y,y1,y2,可選項例1 繪制函數(shù)z=x+y18(x+y)在區(qū)域-4x4，4y4上的圖形 圖1-4-2024-4-20240200400-4-20245.3 隱式曲面Fx,y,z=0繪圖函數(shù)的調(diào)用格式：ContourPlot3DF(x,y,z),x,x1,x2,y,y1,y2,z,z1,z2,可選項5.4 Integratefx,y,x,a,b,y,c,d:計

11、算累次積分6第二型曲面積分的計算6.1 用mathematica計算例2 求曲面積分，其中S是球面，被平面z=h(0h Identity;a2 = Plot3D1, x, -2, 2, Y, -2, 2, DisplayFunction - Identity;Showa1, a2, AxesLabel - x, y, z, AspectRatio - Automatic, DisplayFunction - $DisplayFunction圖2易知，曲面S在xoy平面上的投影區(qū)域D是，根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點，采用極坐標計算曲面積分：zx_, y_ := Sqrtb2 - x2 - y2;

12、d = 1/zx, y*Sqrt1 = Dzx, y, x2 + Dzx, y, y2/x - r*Cost, y - r*SintIntegrated*r, t, 0, 2pi, r, Sqrtb2 - h2.6.2分項投影法例3 計算積分，為球面x取外側(cè). 解：對積分，分別用記前半球面和后半球面的外側(cè).那么有： ,D: y,: ,D: y,因此, = . 對積分, 分別用和記右半球面和左半球面的外側(cè), 那么有: ;: .因此, += . 對積分, 分別用和記上半球面和下半球面的外側(cè), 那么有: ;: .因此, =+ = .綜上, =.例4 計算積分I=，其中S是三個坐標面與平面x+y+z=

13、1圍成的四面體的外外表.解：分析：S由四面光滑曲面S, S， S， S組成，其中S, S， S分別是xoy,zox,yoz平面上的三角形，S是平面x+y+z=1圍成在第一卦線中的局部.于是I=(+)x=I+ I+ I+ I解法1：由于S在yoz和zox兩個坐標面上的投影為線段I= 又由于S在xoy平面，于是I=0同理可得I，I=0I= =4 = =.于是I= I+ I+ I+ I=.6.3 參數(shù)法例5 計算積分 ，其中S是球面x在x局部取外側(cè)解：對S：x 在x局部取上下側(cè)得z=D=(x,y),于是令 =圖36.4利用高斯公式Gauss公式： 注意公式只對閉合曲面成立，Gauss公式將第二型曲面

14、積分轉(zhuǎn)化為三重積分，被積函數(shù)向量場散度容易求得，有時十分方便求解.如果空間曲面較為復雜但只差一個簡單曲面或平面即可構(gòu)成閉合曲面，那么可利用補面法進行計算，此時也應特別注意方向的判斷.例6 計算,其中是邊長為b的正立方體外表并取外側(cè)解 應用高斯公式，所求曲面積分等于圖4o=例7 設空間區(qū)域由曲面與平面圍成，其中為正常數(shù).記外表的外側(cè)為的體積為證明分析：由于求證的是給定的曲面積分等于某個區(qū)域的體積值，而高斯公式給出了曲面積分與該曲面包含的區(qū)域上的某個三重積分間的關系，考慮到體積值可用相應的三重積分表示，應選用高斯公式進行證明.證明：設 那么由高斯公式知 由于 那么.例8計算曲面積分I=，其中為曲面

15、z=1-x的上側(cè)解：添加平面，取下側(cè)那么是一個封閉曲面，取外側(cè)，設所圍成的空間區(qū)域為P=xz,Q=2yz,R=3xy由奧高公式I=圖5注：1Gauss公式的條件是：封閉、外側(cè)、片倒是連續(xù)，三者缺一不可. 2正確確定P,Q,R三個函數(shù)，并注意分別對那個變量求偏導數(shù)曲面積分計算技巧. 假設積分曲面關于想，x,y,z具有輪換對稱性，那么,例9 計算曲面積分，其中s是球面.解：分析：假設按照常規(guī)方法來解，計算量相當大，如果用對稱函數(shù)的特性就非常簡捷. 球面關于x,y,z具有對稱性=圖66.5定義法 當單位法向量容易求得，易于表達時可考慮用定義法.例10 計算，其中S是橢球面，外側(cè). 此題可利用參數(shù)法，

16、單一坐標平面投影法，分項投影法等多種方法計算，難度不大，答案是.例11計算I=，其中是錐面x (0 ),cos為錐面的外法線的方向余弦.解：(解法1)如圖：圖7：z=(0 )，下側(cè)在xoy面上的投影D：x,dS=.zcos,I=解法2利用第一、第二型曲面積分的關系設空間有向曲面S上任一點的法線正向的方向角為，那么=.I= =.例12計算1為錐面z=在0局部的下側(cè)；2為錐面z=與平面z=1所圍曲面的內(nèi)側(cè).解：如下列圖圖8(1)：z=，0，下側(cè) D：,=-,=-=.2=+ ：z=，0，上側(cè), ：，下側(cè),圖9D：.=-=-.小結(jié)：將第二型曲面積分化為二重積分的方法一代：將曲面的方程代入被積函數(shù);二投

17、：將曲面投影到坐標平面;三定號：由曲面的側(cè)來決定取正號還是負號;四換域：改變積分域，曲面變?yōu)橥队坝?6.6 解題技巧輪換對稱性例13計算I=，其中是球面的外側(cè)解：由輪換對稱性I=,=4.例14 計算曲面積分，其中s是球面.解：分析：假設按照常規(guī)方法來解，計算量相當大，如果用對稱函數(shù)的特性就非常簡捷球面關于x,y,z具有對稱性, =.7結(jié)論7.1 主要觀點第二型曲面積分的被積函數(shù)類型有多種，學生在做題的時候?qū)W生容易受思維的局限，對于哪一種的類型不知用何種方法，此外，對于有些類型的題可以一題多解，雖然用其中一種能解決，但有時顯得繁瑣，這是可以思考它其它種解法，這樣使解題變得簡單.隨著技術的開展，我

18、們還可以借助數(shù)學軟件Mathematica進行求解使得計算簡單.7.2 啟示文章對第二型曲面積分中被積函數(shù)類型做了一個系統(tǒng)的歸納，這對在做題時容易辨析用何種方法計算及靈活使用計算技巧，從而能進一步提高學生的解題能力，對公式定理的記憶也有較大的幫助.7.3 局限性由于第二型曲面積分計算靈活性較大，在文章中解題技巧不能一一歸納出.另外，Mathematica在例題中的應用沒能一一寫出，本文僅針對幾個典型例題進行了分析.7.4 努力方向除了文中所述的理論知識外，由于第二型曲面積分的解題方法技巧是復雜多變的，而且要有一定的實踐經(jīng)驗為根底.在今后的學習和實踐中將不斷的深入研究，結(jié)合具體的實踐經(jīng)驗，以彌補

19、文章中的許多缺乏之處.參考文獻1劉玉璉.數(shù)學分析講義M. 北京：高等教育出版社，2022:11-19.2富景龍.數(shù)學試題精選與大體技巧 M.北京：高等教育出版社，2000:89-99.3薛嘉慶.高等數(shù)學題庫精編理工類M.沈陽：東北大學出版社，2000:198-200.4劉國均，陳紹業(yè).數(shù)學分析簡明教程M.北京：高等教育出版社，2002:111-119.5丁曉慶編.21世紀高等院校教材工科數(shù)學分析M. 北京：科學出版社，2022:61-75.6劉蓮芬.曲線積分和曲面積分的教學探索J.重慶交通學院學報，1988,(7):3-4 7余孝華.一類可直接化為累次積分的曲面積分J.大學數(shù)學，1999,(5):2-6.8王景克. 高等數(shù)學解題方法與技巧M. 北京：中國林業(yè)出版社，2002:111-119.9線積分與曲面積分解題技巧J.有色金屬高教研究，1