第二型曲面積分論文

1、PAGE PAGE 18目錄 TOC o 1-2 h z u HYPERLINK l _Toc292723941 1 引言 PAGEREF _Toc292723941 h 1 HYPERLINK l _Toc292723942 2 文獻(xiàn)綜述 PAGEREF _Toc292723942 h 1 HYPERLINK l _Toc292723943 3預(yù)備知識(shí) PAGEREF _Toc292723943 h 1 HYPERLINK l _Toc292723944 3.1 第二型曲面積分的定義 PAGEREF _Toc292723944 h 1 HYPERLINK l _Toc292723945 3.

2、2第二型曲面積分的性質(zhì) PAGEREF _Toc292723945 h 2 HYPERLINK l _Toc292723946 4常用計(jì)算公式 PAGEREF _Toc292723946 h 2 HYPERLINK l _Toc292723947 5 Mathematica相關(guān)知識(shí) PAGEREF _Toc292723947 h 4 HYPERLINK l _Toc292723948 6第二型曲面積分的計(jì)算 PAGEREF _Toc292723948 h 5 HYPERLINK l _Toc292723949 6.1 用mathematica計(jì)算 PAGEREF _Toc292723949 h

3、 5 HYPERLINK l _Toc292723950 6.2分項(xiàng)投影法 PAGEREF _Toc292723950 h 6 HYPERLINK l _Toc292723951 6.3 參數(shù)法 PAGEREF _Toc292723951 h 8 HYPERLINK l _Toc292723952 6.4利用高斯公式 PAGEREF _Toc292723952 h 8 HYPERLINK l _Toc292723953 6.5定義法 PAGEREF _Toc292723953 h 12 HYPERLINK l _Toc292723954 6.6 解題技巧輪換對(duì)稱性 PAGEREF _Toc29

4、2723954 h 14 HYPERLINK l _Toc292723955 7結(jié)論 PAGEREF _Toc292723955 h 15 HYPERLINK l _Toc292723956 7.1 主要觀點(diǎn) PAGEREF _Toc292723956 h 15 HYPERLINK l _Toc292723957 7.2 啟示 PAGEREF _Toc292723957 h 15 HYPERLINK l _Toc292723958 7.3 局限性 PAGEREF _Toc292723958 h 15 HYPERLINK l _Toc292723959 7.4 努力方向 PAGEREF _Toc

5、292723959 h 16 HYPERLINK l _Toc292723960 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc292723960 h 171 引言曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要組成局部，在曲面積分的計(jì)算中，綜合運(yùn)用著一元積分與重積分計(jì)算思路、方法與技巧，因而顯得更加復(fù)雜，繁瑣。在第二型曲面積分的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生必須在理解概念的同時(shí)，掌握求第二型曲面積分的方法和技巧。由于第二型曲面積分的的概念抽象費(fèi)解，計(jì)算方法靈活多變，而且涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)面廣，掌握起來有一定難度，本文就第二型曲面積分的的計(jì)算方法進(jìn)行了歸納和總結(jié)，并用計(jì)算機(jī)輔助求解.2 文獻(xiàn)綜述眾多數(shù)學(xué)教育者從不同角度和側(cè)面探討了第二型曲面

6、積分的計(jì)算.劉玉璉在文獻(xiàn)?數(shù)學(xué)分析講義?中介紹了第二型曲面積分的概念、性質(zhì)，并且給出計(jì)算第二型面積分的定理.在文獻(xiàn)?數(shù)學(xué)試題精選與大體技巧?中概括了第二型曲面積分被積函數(shù)的類型.薛嘉慶在文獻(xiàn)?高等數(shù)學(xué)題庫(kù)精編?總結(jié)了根據(jù)被積函數(shù)類型的不同，有不同的計(jì)算方法，并且列舉了相應(yīng)的例子.在文獻(xiàn)?數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程?中探究第二型曲面積分可以化為定積分來計(jì)算公式并給出相應(yīng)的證明.在文獻(xiàn)?華東師范大學(xué)教學(xué)系?介紹了在第二型曲面積分的計(jì)算中將路徑的參數(shù)方程表示出來，在文獻(xiàn)?高等數(shù)學(xué)解題方法與技巧?簡(jiǎn)述了做題常用的技巧.陽(yáng)明盛.林建華在文獻(xiàn)?Mathemactica根底及數(shù)學(xué)軟件?中給出了用數(shù)學(xué)軟件Mathema

7、ctica解題的調(diào)用格式.3預(yù)備知識(shí)3.1 第二型曲面積分的定義設(shè)S為光滑的有向曲面，Px,y,z,Q(x,y,z),R(x,y,z) 在S上有界，把S任意分成n塊有向曲面，S，i=1,2，n，記S在xy平面上的有向投影為S，(，)為S上任取定的一點(diǎn), 為每個(gè)S的直徑中的最大者,作和數(shù)， (，)S.如果 (，)S總存在，那么稱此極限值為R任有向曲面S上沿xy平面的第二型曲面積分，記為.類似可定義= (，)S,= (，)S,分別為P在有向曲面S上沿yz平面的第二型曲面積分，Q在有向曲面S上沿zx平面的第二型曲面積分，并且稱+=為P,Q,R在有向曲面S上的第二型曲面積分.3.2第二型曲面積分的性質(zhì)

8、第二型曲面積分除曲面可加性外，還具有有向性，即= ,+Rdz= +Rdz,= .3.3第一、第二型曲面積分的關(guān)系設(shè)空間有向曲面S上任一點(diǎn)的法線正向的方向角為，那么=.4常用計(jì)算公式4.1 投影法設(shè)P,Q,R是定義在光滑曲面上S上的連續(xù)函數(shù)，且S的方程z=z(x,y) (x,y)DD為S在xy平面上的投影，那么.zdxdy，dxdy，dxdy.其中S取上側(cè)同理，當(dāng)S的方程為x=x(y,z)時(shí),dydz,dydz.4.2參數(shù)法常用球面參數(shù)和柱面參數(shù)：球面參數(shù)：，可推廣到橢球面.柱面參數(shù)；,其他參數(shù)由于計(jì)算復(fù)雜使用不多.4.3單一坐標(biāo)平面投影法 設(shè)以O(shè)xy平面為投影面,以O(shè)yz,Ozx平面為投影面情

9、況類似.4.4分項(xiàng)投影法分項(xiàng)投影法是利用第二型曲面積分的線性性：,分別將右式三項(xiàng)投影到Oyz,Ozx,Oxy平面上，由于，.分別投影直接計(jì)算二重積分，防止投影到一面上求偏導(dǎo)的計(jì)算，此法非常實(shí)用，看似復(fù)雜，實(shí)那么簡(jiǎn)單，非常實(shí)用.計(jì)算中要注意原曲面與投影曲面一一對(duì)應(yīng)，假設(shè)不一一對(duì)應(yīng)要分片投影，如一個(gè)完整的球投影到xoy平面上，上下半球曲面要分別投影計(jì)算.計(jì)算中注意利用方向性等性質(zhì)以簡(jiǎn)化計(jì)算.4.5奧高公式設(shè)空間有界去區(qū)域V的邊界為S，函數(shù)P,Q,R在V及S上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).那么=,其中S取正向.5 Mathematica相關(guān)知識(shí)5.1曲面表示法(1)直角坐標(biāo)顯式：z=z(x,y);(2)直角坐

10、標(biāo)隱式：Fx,y,z;(3)參數(shù)形式：x=x(u.v),y=(u,v),z=(u.v);(4)數(shù)據(jù)形式：即將曲面上的點(diǎn)表示為, ,;.5.2曲面繪制法顯示曲面z=f(x,y)繪圖函數(shù)的調(diào)用格式：Plot3Df(x,y),x,x1,x2,y,y1,y2,可選項(xiàng)例1 繪制函數(shù)z=x+y18(x+y)在區(qū)域-4x4，4y4上的圖形 圖1-4-2024-4-20240200400-4-20245.3 隱式曲面Fx,y,z=0繪圖函數(shù)的調(diào)用格式：ContourPlot3DF(x,y,z),x,x1,x2,y,y1,y2,z,z1,z2,可選項(xiàng)5.4 Integratefx,y,x,a,b,y,c,d:計(jì)

11、算累次積分6第二型曲面積分的計(jì)算6.1 用mathematica計(jì)算例2 求曲面積分，其中S是球面，被平面z=h(0h Identity;a2 = Plot3D1, x, -2, 2, Y, -2, 2, DisplayFunction - Identity;Showa1, a2, AxesLabel - x, y, z, AspectRatio - Automatic, DisplayFunction - $DisplayFunction圖2易知，曲面S在xoy平面上的投影區(qū)域D是，根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)，采用極坐標(biāo)計(jì)算曲面積分：zx_, y_ := Sqrtb2 - x2 - y2;

12、d = 1/zx, y*Sqrt1 = Dzx, y, x2 + Dzx, y, y2/x - r*Cost, y - r*SintIntegrated*r, t, 0, 2pi, r, Sqrtb2 - h2.6.2分項(xiàng)投影法例3 計(jì)算積分，為球面x取外側(cè). 解：對(duì)積分，分別用記前半球面和后半球面的外側(cè).那么有： ,D: y,: ,D: y,因此, = . 對(duì)積分, 分別用和記右半球面和左半球面的外側(cè), 那么有: ;: .因此, += . 對(duì)積分, 分別用和記上半球面和下半球面的外側(cè), 那么有: ;: .因此, =+ = .綜上, =.例4 計(jì)算積分I=，其中S是三個(gè)坐標(biāo)面與平面x+y+z=

13、1圍成的四面體的外外表.解：分析：S由四面光滑曲面S, S， S， S組成，其中S, S， S分別是xoy,zox,yoz平面上的三角形，S是平面x+y+z=1圍成在第一卦線中的局部.于是I=(+)x=I+ I+ I+ I解法1：由于S在yoz和zox兩個(gè)坐標(biāo)面上的投影為線段I= 又由于S在xoy平面，于是I=0同理可得I，I=0I= =4 = =.于是I= I+ I+ I+ I=.6.3 參數(shù)法例5 計(jì)算積分 ，其中S是球面x在x局部取外側(cè)解：對(duì)S：x 在x局部取上下側(cè)得z=D=(x,y),于是令 =圖36.4利用高斯公式Gauss公式： 注意公式只對(duì)閉合曲面成立，Gauss公式將第二型曲面

14、積分轉(zhuǎn)化為三重積分，被積函數(shù)向量場(chǎng)散度容易求得，有時(shí)十分方便求解.如果空間曲面較為復(fù)雜但只差一個(gè)簡(jiǎn)單曲面或平面即可構(gòu)成閉合曲面，那么可利用補(bǔ)面法進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)也應(yīng)特別注意方向的判斷.例6 計(jì)算,其中是邊長(zhǎng)為b的正立方體外表并取外側(cè)解 應(yīng)用高斯公式，所求曲面積分等于圖4o=例7 設(shè)空間區(qū)域由曲面與平面圍成，其中為正常數(shù).記外表的外側(cè)為的體積為證明分析：由于求證的是給定的曲面積分等于某個(gè)區(qū)域的體積值，而高斯公式給出了曲面積分與該曲面包含的區(qū)域上的某個(gè)三重積分間的關(guān)系，考慮到體積值可用相應(yīng)的三重積分表示，應(yīng)選用高斯公式進(jìn)行證明.證明：設(shè) 那么由高斯公式知 由于 那么.例8計(jì)算曲面積分I=，其中為曲面

15、z=1-x的上側(cè)解：添加平面，取下側(cè)那么是一個(gè)封閉曲面，取外側(cè)，設(shè)所圍成的空間區(qū)域?yàn)镻=xz,Q=2yz,R=3xy由奧高公式I=圖5注：1Gauss公式的條件是：封閉、外側(cè)、片倒是連續(xù)，三者缺一不可. 2正確確定P,Q,R三個(gè)函數(shù)，并注意分別對(duì)那個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù)曲面積分計(jì)算技巧. 假設(shè)積分曲面關(guān)于想，x,y,z具有輪換對(duì)稱性，那么,例9 計(jì)算曲面積分，其中s是球面.解：分析：假設(shè)按照常規(guī)方法來解，計(jì)算量相當(dāng)大，如果用對(duì)稱函數(shù)的特性就非常簡(jiǎn)捷. 球面關(guān)于x,y,z具有對(duì)稱性=圖66.5定義法 當(dāng)單位法向量容易求得，易于表達(dá)時(shí)可考慮用定義法.例10 計(jì)算，其中S是橢球面，外側(cè). 此題可利用參數(shù)法，

16、單一坐標(biāo)平面投影法，分項(xiàng)投影法等多種方法計(jì)算，難度不大，答案是.例11計(jì)算I=，其中是錐面x (0 ),cos為錐面的外法線的方向余弦.解：(解法1)如圖：圖7：z=(0 )，下側(cè)在xoy面上的投影D：x,dS=.zcos,I=解法2利用第一、第二型曲面積分的關(guān)系設(shè)空間有向曲面S上任一點(diǎn)的法線正向的方向角為，那么=.I= =.例12計(jì)算1為錐面z=在0局部的下側(cè)；2為錐面z=與平面z=1所圍曲面的內(nèi)側(cè).解：如下列圖圖8(1)：z=，0，下側(cè) D：,=-,=-=.2=+ ：z=，0，上側(cè), ：，下側(cè),圖9D：.=-=-.小結(jié)：將第二型曲面積分化為二重積分的方法一代：將曲面的方程代入被積函數(shù);二投

17、：將曲面投影到坐標(biāo)平面;三定號(hào)：由曲面的側(cè)來決定取正號(hào)還是負(fù)號(hào);四換域：改變積分域，曲面變?yōu)橥队坝?6.6 解題技巧輪換對(duì)稱性例13計(jì)算I=，其中是球面的外側(cè)解：由輪換對(duì)稱性I=,=4.例14 計(jì)算曲面積分，其中s是球面.解：分析：假設(shè)按照常規(guī)方法來解，計(jì)算量相當(dāng)大，如果用對(duì)稱函數(shù)的特性就非常簡(jiǎn)捷球面關(guān)于x,y,z具有對(duì)稱性, =.7結(jié)論7.1 主要觀點(diǎn)第二型曲面積分的被積函數(shù)類型有多種，學(xué)生在做題的時(shí)候?qū)W生容易受思維的局限，對(duì)于哪一種的類型不知用何種方法，此外，對(duì)于有些類型的題可以一題多解，雖然用其中一種能解決，但有時(shí)顯得繁瑣，這是可以思考它其它種解法，這樣使解題變得簡(jiǎn)單.隨著技術(shù)的開展，我

18、們還可以借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica進(jìn)行求解使得計(jì)算簡(jiǎn)單.7.2 啟示文章對(duì)第二型曲面積分中被積函數(shù)類型做了一個(gè)系統(tǒng)的歸納，這對(duì)在做題時(shí)容易辨析用何種方法計(jì)算及靈活使用計(jì)算技巧，從而能進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力，對(duì)公式定理的記憶也有較大的幫助.7.3 局限性由于第二型曲面積分計(jì)算靈活性較大，在文章中解題技巧不能一一歸納出.另外，Mathematica在例題中的應(yīng)用沒能一一寫出，本文僅針對(duì)幾個(gè)典型例題進(jìn)行了分析.7.4 努力方向除了文中所述的理論知識(shí)外，由于第二型曲面積分的解題方法技巧是復(fù)雜多變的，而且要有一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為根底.在今后的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中將不斷的深入研究，結(jié)合具體的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，以彌補(bǔ)

19、文章中的許多缺乏之處.參考文獻(xiàn)1劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義M. 北京：高等教育出版社，2022:11-19.2富景龍.數(shù)學(xué)試題精選與大體技巧 M.北京：高等教育出版社，2000:89-99.3薛嘉慶.高等數(shù)學(xué)題庫(kù)精編理工類M.沈陽(yáng)：東北大學(xué)出版社，2000:198-200.4劉國(guó)均，陳紹業(yè).數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程M.北京：高等教育出版社，2002:111-119.5丁曉慶編.21世紀(jì)高等院校教材工科數(shù)學(xué)分析M. 北京：科學(xué)出版社，2022:61-75.6劉蓮芬.曲線積分和曲面積分的教學(xué)探索J.重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，1988,(7):3-4 7余孝華.一類可直接化為累次積分的曲面積分J.大學(xué)數(shù)學(xué)，1999,(5):2-6.8王景克. 高等數(shù)學(xué)解題方法與技巧M. 北京：中國(guó)林業(yè)出版社，2002:111-119.9線積分與曲面積分解題技巧J.有色金屬高教研究，1