2022屆北京市首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期三模練習(xí)數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 22 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 22 頁2022屆北京市海淀區(qū)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期三模練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、單選題1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)（）A1BC2D【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算公式對已知式子進(jìn)行整理，結(jié)合所給點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出.【詳解】解：，由題意知，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了已知復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.2若全集，,則（）ABCD【答案】D【分析】由條件可得，然后可判斷

2、出答案.【詳解】因?yàn)?所以，所以故選：D3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（）ABCD【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)分別判斷四個選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，故A不符合題意；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合題意；對于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是奇函數(shù)，又，令，令，

3、所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不符合題意.故選：C.4如果實(shí)數(shù)，滿足：，則下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】D【分析】直接利用賦值法和不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)c=0時，ac2=bc2，故選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時，a2b2c2錯誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)a=1，b=0，時，a+c2b錯誤；對于選項(xiàng)D，直接利用不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用求出，故選項(xiàng)D正確故選：D【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5在圓中，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（）ABCD【答案】B【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而求出最短、最長弦，即可得

4、解；【詳解】解：圓，即，圓心為，半徑，又，所以過點(diǎn)的最長弦，最短弦，且最短弦與最長弦互相垂直，所以；故選：B6設(shè)函數(shù)，其中.若，且相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離大于，則（）ABCD【答案】B【分析】由題意求得，再由周期公式求得，最后由若求得值，即可得解【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩個零點(diǎn)之間的距離大于，所以的最小正周期大于，所以，又，所以，則，即，由，得，因?yàn)?，所以取，得，故選：B7已知等差數(shù)列，則“”是“”成立的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差

5、為，當(dāng)時，故充分性成立；若，即，即，所以，即，所以或，故必要性不成立，故“”是“”成立的充分不必要條件；故選：A8如圖，在正方體中，為棱上的動點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A直線與直線相交B當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為D三棱錐的體積為定值【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可得平面，進(jìn)而可判斷A；利用勾股定理和反證法即可判斷B；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法和反證法即可判斷C；根據(jù)等體積法即可判斷D.【詳解】A：由題意知，平面，平面所以平面，又平面，所以與不相交，故A錯誤；B：連接，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，又，所以，若點(diǎn)在平面的射影為，則

6、平面，垂足為，所以，設(shè)正方體的棱長為2，則，在中，所以，即不成立，故B錯誤；C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，連接，則，所以異面直線與所成角為直線與所成角，設(shè)正方體的棱長為2，若存在點(diǎn)使得與所成角為，則，所以，所以，又，得，解得，不符合題意，故不存在點(diǎn)使得與所成角為，故C錯誤；D：如圖，由等體積法可知，又，為定值，所以為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：D.9已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，則在區(qū)間上的最大值的取值范圍是（）ABCD【答案】D【解析】先求出，進(jìn)而可知，由，可知區(qū)間，且該區(qū)間長度為2，然后畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而可得到在上的圖象，結(jié)合圖象可求得在區(qū)間上的最大值的取值范圍.【詳解】由題意，當(dāng)時

7、，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，則，因?yàn)椋詤^(qū)間，且該區(qū)間長度為2.作出函數(shù)的圖象，如圖1，進(jìn)而可得到在上的圖象，如圖2，根據(jù)圖象可知在區(qū)間上的最大值的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.10已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：若，則有一個零點(diǎn)；若，則有三個零點(diǎn)；，使得在上是增函數(shù)；在上是增函數(shù).其中所有正確結(jié)論的序號是（）ABCD【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)分段研究函數(shù)的單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理依次判斷命題即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)，對于，當(dāng)時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增

8、，且，所以函數(shù)有一個零點(diǎn)，故正確；對于，若，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，則單調(diào)遞增，如圖，所以，所以函數(shù)在上有2個零點(diǎn)，綜上，當(dāng)時函數(shù)有3個零點(diǎn)，故正確；對于，當(dāng)，即時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，所以當(dāng)時，所以，單調(diào)遞減；當(dāng)時，所以，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以不存在，使得在R上是增函數(shù)，故錯誤；對于，當(dāng)，即時，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，則單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，結(jié)合命題的分析可知當(dāng)時函數(shù)在R上單調(diào)遞增，綜上，在R上是增函數(shù)，故正確；故選：C.二、填空題11在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_.（

9、用數(shù)字作答）【答案】【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再令，求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式為令，解得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：12若，請寫出一組符合題意的_.【答案】、（答案不唯一）【分析】本題屬于開放性問題，只需填寫符合題意的答案即可，再利用兩角差的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，或，不妨令、；故答案為：、（答案不唯一?3點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的夾角的取值范圍是_.【答案】【分析】根據(jù)向量得模的幾何意義可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，再利用圓的切線可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，如圖：由

10、圖可知，當(dāng)與圓相切時，最大，也就是與夾角最大，此時，所以，所以與夾角的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的減法法則和向量的模的幾何意義，考查了向量的夾角，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.14顆粒物過濾效率是衡量口罩防護(hù)效果的一個重要指標(biāo)，計(jì)算公式為，其中 表示單位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量（單位：），表示經(jīng)口罩過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量（單位：）某研究小組在相同的條件下，對兩種不同類型口罩的顆粒物過濾效率分別進(jìn)行了4次測試，測試結(jié)果如圖所示圖中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測試時的值，縱坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測試時的值該研究小組得到以下結(jié)論：在第1種口罩的4次測試

11、中，第4次測試時的顆粒物過濾效率最高;在第2種口罩的4次測試中，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高;在每次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率高;在第3次和第4次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率低其中，所有正確結(jié)論的序號是_【答案】【解析】先根據(jù)題意分析得直線的斜率越大，顆粒物過濾效率越小，再看圖逐一分析結(jié)論即可.【詳解】依題意，知直線的斜率越大，顆粒物過濾效率越小. 看圖分析如下：在第1種口罩的4次測試中，四條直線中，直線斜率最大，故最小，第4次測試時的顆粒物過濾效率最低，則錯誤；在第2種口罩的4次測試中，四條直線中，直線斜率最小，故

12、最大，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高，則正確；在第1次和第2次測試中，直線斜率大于斜率，即第1種口罩的顆粒物過濾效率高，在第3次和第4次測試中，斜率大于直線，斜率，即第2種口罩的顆粒物過濾效率高，故錯誤，正確.故答案為：.三、雙空題15已知雙曲線的焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為2，則雙曲線的離心率是_；若點(diǎn)是雙曲線的漸近線上一點(diǎn)，且，則的面積為_.【答案】 2 【分析】直接求出a、c，即可求出離心率；利用幾何法求出，直接求出面積.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為，實(shí)軸長為2，所以，所以離心率.因?yàn)?，所以，所以直線l：，即為雙曲線的一條漸近線.不妨設(shè)點(diǎn)是l上一點(diǎn)，且，則.因?yàn)椋琌為的中點(diǎn)，所以，所以為等邊三角形，

13、所以，由勾股定理解得：.所以的面積為.如圖示:故答案為：2；.四、解答題16如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見解析；（2）【詳解】試題分析：（I）易證DC1BD,再根據(jù)勾股定理證DC1DC,從而可證得DC1平面DCB,得到DC1BC.(II)求二面角關(guān)鍵是作出二面角的平面角，取A1B1的中點(diǎn)為M，連結(jié)C1M、DM,證明C1DM是A1BDC1的平面角即可.（）證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形D是AA1的中點(diǎn)， DC = DC1又 AC=AA1， DC12 + DC2 =CC12， DC1DC又 DC1BD，且DC1DC=D， DC1平面DCB

14、DC1BC（） 由（）知，DC1BC，又CC1BC， DC1CC1=C1 BC平面CDC1， B1C1BC B1C1平面CDC1 B1C1A1C1，A1C1B1為等腰直角三角形取A1B1的中點(diǎn)為M，連結(jié)C1M、DM 直棱柱的底面A1B1C1側(cè)面AB1，C1MA1B1 C1M平面AB1，C1MBD由（）知，DC1平面DCB，DC1BD又C1MDC1=C1，BD平面C1MD ，MDBDC1DM是A1BDC1的平面角在RtC1MD中，C1M=A1C1，sinC1DM= =， C1DM=30o二面角A1BDC1的大小為30o【解析】本小題主要考查了線線，線面，面面之間的垂直與平行關(guān)系，以及二面角等知識

15、.點(diǎn)評：掌握線線，線面，面面平行與垂直的判定與性質(zhì)是求解空間的角與距離的關(guān)鍵.求角的步驟為：一作，二證，三指，四求.17已知的內(nèi)角的對邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個條件：條件：；條件；條件.這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長.【答案】(1)；(2)條件正確，(i)；(ii).【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡計(jì)算可得，即可求得B；(2)利用余弦定理即可推出條件不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出，結(jié)合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程組即可.【詳解】(1)，得Z，由，得；(2)若條

16、件正確，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合題意，故條件不正確，則條件正確；(i)由，得，解得，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，即?ii)由正弦定理，得，即，因?yàn)槠椒剑?，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，又，上述兩式相除，得，解得，所?18“十一”黃金周某公園迎來了旅游高峰期，為了引導(dǎo)游客有序游園，該公園每天分別在時，時，時，時公布實(shí)時在園人數(shù)下表記錄了月日至日的實(shí)時在園人數(shù)：日日日日日日日時在園人數(shù)時在園人數(shù)時在園人數(shù)時在園人數(shù)通常用公園實(shí)時在園人數(shù)與公園的最大承載量（同一時段在園人數(shù)的飽和量）之比來表示游園舒適度，以下稱為“舒適”，已知該公園的最大承載量是萬

17、人（）甲同學(xué)從月日至日中隨機(jī)選天的下午時去該公園游覽，求他遇上“舒適”的概率；（）從月日至日中任選兩天，記這兩天中這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）根據(jù)月日至日每天時的在園人數(shù)，判斷從哪天開始連續(xù)三天時的在園人數(shù)的方差最大？（只需寫出結(jié)論）【答案】（）；（）的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望；（）從10月3日開始連續(xù)三天時的在園人數(shù)的方差最大【分析】（）由題意得，在園人數(shù)為萬人以下為“舒適”，由此根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可；（）從月日至日中，這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，得的取值可能為0，1，2，且服從超幾何分布，由此可求出答案；（）根據(jù)

18、方差的定義觀察波動幅度，由此可得出結(jié)論【詳解】解：以下稱為“舒適”，該公園的最大承載量是萬人，在園人數(shù)為萬人以下為“舒適”，（）月日至日的下午時去該公園游覽，“舒適”的天數(shù)為3天，甲同學(xué)遇上“舒適”的概率；（）從月日至日中，這個時間的游覽舒適度都為“舒適”的有4日、6日、7日，的取值可能為0，1，2，且服從超幾何分布，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望；（）從10月3日開始連續(xù)三天時的在園人數(shù)的方差最大【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查古典概型的概率計(jì)算公式，考查方差的定義，屬于基礎(chǔ)題19已知橢圓過點(diǎn)，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過、作直線的垂線，垂

19、足分別為、，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)求證：四邊形為梯形【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合離心率的定義和的平方關(guān)系，求得的值，進(jìn)而得到橢圓的方程.（2）分析可得四邊形為梯形的充分必要條件是，設(shè),可轉(zhuǎn)化為證明，然后聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理證得此式，即證得結(jié)論.【詳解】(1)解：由已知得,解得,橢圓的方程.(2)證明：由（1）的結(jié)論可知，橢圓的左焦點(diǎn),設(shè),則,.，.直線與橢圓交于、兩點(diǎn)， 由于直線與直線不平行，四邊形為梯形的充分必要條件是，即，即,即,上式又等價于，即（）.由,得, ，（）成立，四邊形為梯形.20已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對任意

20、，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時，求導(dǎo)可得，再結(jié)合切線的幾何意義，即可求解（2）設(shè)，則，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分和兩種情況討論，即可求解【詳解】(1)解：當(dāng)時，函數(shù)，定義域?yàn)椋?又，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；(2)解：若在上恒成立，即在上恒成立，可令，則，令，可解得，當(dāng)時，即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，即時，在上恒成立，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，又，即，不滿足恒成立，故舍去，綜上可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了不等式恒成立問題，考查了

21、分類討論思想.21設(shè)且，集合，若對的任意元子集，都存在，滿足：，且為偶數(shù)，則稱為理想集，并將的最小值記為.(1)當(dāng)時，是否存在理想集？并說明理由.(2)當(dāng)時，是否存在理想集？若存在，求出；若不存在，請說明理由.(3)求.【答案】(1)不存在，理由見解析；(2)存在，；(3)【分析】（1）根據(jù)理想集的定義，分3元子集、4元子集分別說明判斷作答.（2）根據(jù)理想集的定義，結(jié)合（1）中信息，說明判斷5元子集，6元子集作答.（3）根據(jù)理想集的定義，結(jié)合（1）（2）中信息，判斷的所有6元子集都符合理想集的定義作答.【詳解】(1)解：依題意，要為理想集，當(dāng)時，顯然，有，而不是偶數(shù)，即存在3元子集不符合理想集定義，而，在中任取3個數(shù)，有4種結(jié)果，；，它們都不符合理想集定義，所以當(dāng)時，不存在理想集.(2)解：當(dāng)時，由（1）知，存在3元