2022年人教版中考數(shù)學(xué)壓軸題解題模型-幾何圖形之半角模型含解析匯報(bào)

1、- -幾何圖形之半角模型主題半角模型教學(xué)容教學(xué)目標(biāo)1.把握正方形的定義,弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系；2.把握正方形的性質(zhì)定理1 和性質(zhì)定理2；3.正確運(yùn)用正方形的性質(zhì)解題；4.通過(guò)四邊形的附屬關(guān)系滲透集合思想；5.通過(guò)懂得四種四邊形在聯(lián)系,培育同學(xué)辯證觀點(diǎn)；學(xué)問(wèn)構(gòu)造正方形的性質(zhì)由于正方形是特別的平行四邊形,仍是特別的矩形,特別的菱形,所以它具有這些圖形性質(zhì)的綜合,因此正方形有以下性質(zhì)由同學(xué) 正方形性質(zhì)定理 1：正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等；和老師一起總結(jié)；正方形性質(zhì)定理 2：正方形的兩條對(duì)角線相等并且相互垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；說(shuō)明：定理 2 包括了平行四邊形,

2、矩形,菱形對(duì)角線的性質(zhì),一個(gè)題設(shè)同時(shí)有四個(gè)結(jié)論,這是該 定理的特點(diǎn),在應(yīng)用時(shí)需要哪個(gè)結(jié)論就用哪個(gè)結(jié)論,并非把結(jié)論寫(xiě)全；小結(jié)：1正方形與矩形,菱形,平行四邊形的關(guān)系如上圖2正方形的性質(zhì)：正方形對(duì)邊平行；正方形四邊相等；正方形四個(gè)角都是直角；正方形對(duì)角線相等,相互垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；- - word.zl- -典型例題精講例 1如圖,折疊正方形紙片 ABCD ,先折出折痕 BD ,再折疊使 AD 邊與對(duì)角線 BD 重合,得折痕 DG ,使 AD 2,求 AG 【解析】：作 GM BD,垂足為 M由題意可知 ADG=GDM,那么 ADG MDG DM=DA=2 AC=GM 又易知： G

3、M=BM 而 BM=BD-DM=22 -2=2 2 -1,PB10,并且 P 點(diǎn)到 CD 邊的距離也等于10,求正方AG=BM=2 2 -1例 2 如圖, P 為正方形 ABCD 一點(diǎn),PA形 ABCD 的面積？【解析】：過(guò) P 作 EFAB 于 F 交 DC 于 E AMEF , .垂足為 M ,設(shè) PFx ,那么EF10 x ,BF1 10 2x 由PB2PF2BF2可得：102x2110 x24故x6S ABCD2 16256例 3. 如圖, E 、 F 分別為正方形ABCD 的邊 BC 、 CD 上的一點(diǎn),AMAB ,那么有 EFBEDF ,為什么？AE、AF 只要能說(shuō)明ABE【解析】

4、：要說(shuō)明 EF=BE+DF ,只需說(shuō)明 BE=EM ,DF=FM 即可,而連結(jié) AME , ADF AMF 即可理由：連結(jié) AE 、AF由 AB=AM ,ABBC,AM EF,AE 公用, ABE AME BE=ME 同理可得,ADF AMF DF=MF EF=ME+MF=BE+DF- word.zl- - -例4 如 以 下 圖 E 、 F 分 別 在 正 方 形 ABCD 的 邊 BC 、 CD 上 , 且EAF45, 試 說(shuō) 明EFBEDF ；ABC,那么ADF ABG 【解析】：將 ADF 旋轉(zhuǎn)到 AF=AG , ADF= BAG ,DF=BG EAF=45 且四邊形是正方形, ADF

5、 BAE=45 GAB BAE=45 即 GAE=45 AEF AEG SAS EF=EG=EB BG=EB DF例 5. 如 圖 , 在 正 方 形 ABCD 的 BC 、 CD 邊 上 取 E 、 F 兩 點(diǎn) , 使EAF 45, AG EF 于 G . 求證： AG AB【解析】：欲證 AG=AB ,就圖形直觀來(lái)看,應(yīng)證 Rt ABE 與 Rt AGE 全等,但條件不夠 . EAF=45 怎么用呢 ？明顯 1 2=45 ,假設(shè)把它們拼在一起,問(wèn)題就解決了 . 【證明】：把 A FD 繞 A 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 90 至 AHB. EAF=45 , 1 2=45 . 2=3, 1 3=45 . 又由旋

6、轉(zhuǎn)所得 AH=AF ,AE=AE. AEF AEH. 例 6.1 如圖 1,在正方形 ABCD 中,點(diǎn) E , F 分別在邊 BC , CD 上, AE ,BF 交于點(diǎn) O ,AOF90.求證： BECF . 2 如圖 2,在正方形 ABCD 中 ,點(diǎn) E , H , F ,G 分別在邊 AB , - - word.zl-圖 2 - -BC ,CD , DA 上 , EF ,GH 交于點(diǎn) O ,FOH90,EF4. 求 GH 的長(zhǎng) . 1.點(diǎn) E ,H , F ,G 分別在矩形 ABCD 的邊 AB , BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于點(diǎn) O , FOH 90 , EF 4 . 直

7、接寫(xiě)出以下兩題的答案：如圖 3,矩形 ABCD 由 2 個(gè)全等的正方形組成 ,求 GH 的長(zhǎng)；如圖 4,矩形 ABCD 由 n 個(gè)全等的正方形組成,求 GH 的長(zhǎng) 用 n 的代數(shù)式表示 .圖 3 圖 4 【解析】1 證明：如圖1,四邊形 ABCD 為正方形,AB= BC,ABC= BCD=90 , EAB+ AEB=90 . EOB=AOF90 , FBC+AEB=90 , EAB=FBC,圖 1 N M ABE BCF ,BE= CF2 解：如圖 2,過(guò)點(diǎn) A 作 AM/ GH 交 BC 于 M,過(guò)點(diǎn) B 作 BN/ EF 交 CD 于 N,AM 與 BN 交于點(diǎn) O/ ,那么四邊形AMHG

8、 和四邊形 BNFE 均為平行四邊形,圖 2 OEF=BN ,GH=AM , FOH90 , AM/ GH,EF/BN , NO/ A=90 , 故由 1得, ABM B, AM= BN,GH=EF=43 8 4n穩(wěn)固訓(xùn)練【雙基訓(xùn)練】1. 如圖6,點(diǎn) A 在線段 BG 上,四邊形ABCD 與 DEFG 都是正方形, .其邊長(zhǎng)分別為3cm 和 5cm ,那么CDE 的面積為 _2 cm - word.zl- - -6 7 2你可以依次剪 6 正方形紙片,拼成如圖 7 所示圖形 .假如你所拼得的圖形中正方形的面積為 1,且正方形與正方形的面積相等,.那么正方形的面積為 _3.如圖 9,正方形 AB

9、CD 的面積為 35 平方厘米, E 、 F 分別為邊 AB 、 BC 上的點(diǎn) AF 、 CE 相交于 G ,并且ABF 的面積為14 平方厘米,BCE 的面積為5 平方厘米, .那么四邊形 BEGF 的面積是_4.如圖, A 、 B 、 C 三點(diǎn)在同一條直線上,AB2BC ；分別以AB 、 BC 為邊作正方形 ABEF 和正方形 BCMN ,連接 FN ,EC ；求證： FNEC ；AG 于E , BFAG 于 F 5.如圖, ABCD 是正方形 G 是 BC 上的一點(diǎn), DE1求證：ABFDAE；A E F G D 2求證： DEEFFBB C 【縱向應(yīng)用】6. 在正方形 ABCD 中,1

10、2 BAEG2 1F求證：OF1BE2- DC- word.zl- -7. 在正方形 ABCD 中,12 AEDF , D1 2GA求證：OG1CEE2HO8. 如圖13,點(diǎn) E 為正方形ABCD 對(duì)角線 BD 上一點(diǎn) , EFBC , CFBDEGCDAE求證： AEFGGBFC139.：點(diǎn) E 、 F 分別正方形ABCD 中 AB 和 BC 的中點(diǎn),連接AF 和 DE 相交于點(diǎn) G , FDCGHAD 于點(diǎn) H . DE；AH一、求證： AF二、假如AB2,求 GH 的長(zhǎng)；三、求證： CGCDEGB【練習(xí)題答案】16cm 22363420 cm 2面積法274.證明： FN=EC ；證明：

11、在正方形 ABEF 和正方形 BCMN 中,AB=BE=EF ,BC=BN , FEN= EBC=90 AB=2BC - - word.zl- -EN=BC FEN EBC FN=EC ；5.略6.提示：留意到根本圖形中的 AE=AF. 一.兩次應(yīng)用角平分線定理和 CE=CF 可證二.過(guò)點(diǎn) O 作 OG DE 和 CO=CG,CF=CE 可證 . 3,過(guò)點(diǎn) O 作 OH BE, OF= OH= 1 BE27.提示：一條線段的一半或 2 倍這兩者的位置關(guān)系有哪兩種8.提示：延長(zhǎng) AE 交 GF 于點(diǎn) M, DC,使 CH=DG, 連接 HF, 證四邊形對(duì)角互補(bǔ) ,法 2：延長(zhǎng) FE,AE 證全等

12、三角形9.1略 243作 CMDG, 證 DM=AG=0.5DG 5專題1定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形；2特點(diǎn)：邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等；角：四個(gè)角都是 90 ；對(duì)角線：對(duì)角線相互垂直；對(duì)角線相等且相互平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；3主要識(shí)別方法：1：對(duì)角線相等的菱形是正方形2：對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形3：四邊相等,有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形4：一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形5：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形；不管原四邊形的外形怎樣轉(zhuǎn)變,中點(diǎn)四邊形的 外形始終是平行四邊形；正方形

13、的中點(diǎn)四邊形是正方形；典例精講例 1. ：如圖, P 是正方形 ABCD 點(diǎn),PADPDA15- word.zl-求證：PBC 是正三角形- - -【證明】：如以下圖做DGC 使與 ADP 全等,A P D 可得 PDG 為等邊 ,從而可得 DGC APD CGP, 得出 PC=AD=DC, 和 DCG= PCG15 0 所以 DCP=300 ,從而得出PBC 是正三角形E D B B C 的 外例 2. 如圖,分別以ABC 的 AC 和 BC 為一邊,在ABC側(cè)作正方形ACDE 和正方形 CBFG ,點(diǎn) P 是 EF 的中點(diǎn)求證：點(diǎn) P 到邊 AB 的距離等于AB 的一半【證明】：過(guò)E,C,

14、F 點(diǎn)分別作AB 所在直線的高EG ,CI,A C G FH；可得 PQ=EG2FH ；F P 由 EGA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFH CBI,可得 FH=BI ；Q 從而可得 PQ=AI2BI =AB ,2從而得證；例4. 如 圖 , 四 邊 形 ABCD 為 正 方 形 , DEAC,AEAC , AE 與 CD 相交于 F 求證： CECF 【證明】：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ADE ,到 ABG ,連接 CG. 由于 ABG= ADE=900+450=1350從而可得 B,G,D 在一條直線上,可得AGB CGB；推出 AE=AG=AC=GC,可得AGC 為等邊三角形；AGB=300,既

15、得 EAC=300,從而可得 A EC=750；又 EFC= DFA=450+300=750. 可證： CE=CF ；A F D E B C 例 6. 設(shè) P 是正方形 ABCD 一邊 BC 上的任一點(diǎn),PFAP , CF 平分DCE 求證： PAPF - word.zl- - -【證明】：作FGCD, FEBE,可以得出GFEC 為正方形；令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X ；tan BAP=tan EPF=X = Z,可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y X Z即 ZY-X=XY-X ,既得 X=Z ,得出ABP PEF ,得到 PAPF ,得證；A D F

16、B P C E D 例 7. ： P 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 的一點(diǎn),求 PAPBPC 的最小值A(chǔ)PD【證明】：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 60 0 ,可得PBE 為等邊三角形；BC既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF 在一條直線上,即如以下圖：可得最小PA+PB+PC=AF ；既得 AF=132 1= 23 = 42 3422= 32 1= 2 3 212= 622；例 8. P 為正方形 ABCD 的一點(diǎn),并且PAa ,PB2 a ,PC3 a ,求正方形的邊長(zhǎng)【證明】順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABP 90 0 ,可得如以下圖：- word.zl- - -既得正方形邊長(zhǎng)L = 22222a= 52 2 a；22ADPB C【雙基訓(xùn)練】1.如圖,四邊形 ABCD 是正方形,對(duì)角線 AC 、 BD 相交于 O ,四邊形 BEFD 是菱形,假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 6,那么菱形的面積為 _2.如圖, ABCD 是正方形, E 為 BF 上一點(diǎn), 四邊形 AFEC .恰是一個(gè)菱形, .那么 EAB =_ 【縱向應(yīng)用】- - word.zl- -3.如圖,四邊形ABCD 是邊長(zhǎng)為 a 的正方形,點(diǎn)G , E 分別是邊 AB , BC 的中點(diǎn),AEF90,且 EF 交正方形外角的平分線CF