物理,化學(xué)經(jīng)濟學(xué)實驗課件3210隨機誤差的正態(tài)分布

1、第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-1 3-3 隨機誤差的正態(tài)分布一、 頻率分布 在相同條件下對某樣品中鎳的質(zhì)量分數(shù)（%）進行重復(fù)測定，得到90個測定值如下： 1.60 1.67 1.67 1.64 1.58 1.64 1.67 1.62 1.57 1.60 1.59 1.64 1.74 1.65 1.64 1.61 1.65 1.69 1.64 1.63 1.65 1.70 1.63 1.62 1.70 1.65 1.68 1.66 1.69 1.70 1.70 1.63 1.67 1.70 1.70 1.63 1.57 1.59 1.62 1.60 1.53 1.56 1.58 1

2、.60 1.58 1.59 1.61 1.62 1.55 1.52 1.49 1.56 1.57 1.61 1.61 1.61 1.50 1.53 1.53 1.59 1.66 1.63 1.54 1.66 1.64 1.64 1.64 1.62 1.62 1.65 1.60 1.63 1.62 1.61 1.65 1.61 1.64 1.63 1.54 1.61 1.60 1.64 1.65 1.59 1.58 1.59 1.60 1.67 1.68 1.691第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-2 首先視樣本容量的大小將所有數(shù)據(jù)分成若干組：容量大時分為10-20組，容量小時（n1）

3、 7第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-8 綜上所述，一旦和確定后，正態(tài)分布曲線的位置和形狀也就確定，因此和是正態(tài)分布的兩個基本參數(shù)，這種正態(tài)分布用N（，2）表示。 正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=呈鐘形對稱，且具有以下特點： 1.對稱性 絕對值大小相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相等，因此它們?？赡懿糠只蛲耆嗷サ拖?2.單峰性 峰形曲線最高點對應(yīng)的橫坐標(biāo)x-值等于0，表明隨機誤差為0的測定值出現(xiàn)的概率密度最大。 3.有界性 一般認為，誤差大于 的測定值并非是由隨機誤差所引起的。也就是說，隨機誤差的分布具有有限的范圍，其值大小是界的。 8第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-9 三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

4、分布 由于和不同時就有不同的正態(tài)分布，曲線的形狀也隨之而變化。為了使用方便，將正態(tài)分布曲線的橫坐標(biāo)改用u來表示（以為單位表示隨機誤差），并定義 （3-14）代入（3-13）中得：由于9第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-10 故 u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。此時式（3-13）就轉(zhuǎn)化成只有變量u的函數(shù)表達式： （3-15） 經(jīng)過上述變換，總體平均值為的任一正態(tài)分布均可化為=0，2=1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以N（0，1）表示。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線如圖3-5所示，曲線的形狀與和的大小無關(guān)。10第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-11 圖3-5 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線 11第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理

5、 10-12 四、隨機誤差的區(qū)間概率 正態(tài)分布曲線與橫坐標(biāo)之間所夾的總面積，就等于概率密度函數(shù)從-至+的積分值。它表示來自同一總體的全部測定值或隨機誤差在上述區(qū)間出現(xiàn)概率的總和為100%，即為1。 （3-16） 欲求測定值或隨機誤差在某區(qū)間出現(xiàn)的概率P，可取不同的u值對式（3-16）積分求面積而得到。例如隨機誤差在區(qū)間（u=1），即測定值在區(qū)間出現(xiàn)的概率是： 12第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-13 按此法求出不同u值時的積分面積，制成相應(yīng)的概率積分表可供直接查用。 表3-1中列出的面積對應(yīng)于圖中的陰影部分。若區(qū)間為|u|值,則應(yīng)將所查得的值乘以2。例如：隨機誤差出現(xiàn)的區(qū)間 測定值

6、出現(xiàn)的區(qū)間 概率 u=1 x= 0.34132=0.6826 u=2 x=2 0.47732=0.9546 u=3 x=3 0.49872=0.9974 13第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-14 以上概率值表明，對于測定值總體而言，隨機誤差在2范圍以外的測定值出現(xiàn)的概率小于0.045，即20次測定中只有1次機會。隨機誤差超出3的測定值出現(xiàn)的概率更小。平均1000次測定中只有3次機會。通常測定僅有幾次，不可能出現(xiàn)具有這樣大誤差的測定值。如果一旦發(fā)現(xiàn)，從統(tǒng)計學(xué)的觀點就有理由認為它不是由隨機誤差所引起，而應(yīng)當(dāng)將其舍去，以保證分析結(jié)果準(zhǔn)確可靠。14第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10

7、-15 概率=面積=15第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-16 表3-1 正態(tài)分布概率積分表 |u| 面積 |u| 面積 |u| 面積 0.0 0.0000 1.1 0.3643 2.2 0.4821 0.1 0.0398 1.2 0.3849 2.2 0.4861 0.2 0.0793 1.3 0.4032 2.3 0.4893 0.3 0.1179 1.4 0.4192 2.4 0.4918 0.4 0.1554 1.5 0.4332 2.5 0.4938 0.5 0.1915 1.6 0.4452 2.58 0.4951 0.6 0.2258 1.7 0.4554 2.6 0.

8、4953 0.7 0.2580 1.8 0.4641 2.7 0.4965 0.8 0.2881 1.9 0.4713 2.8 0.4974 0.9 0.3159 1.96 0.4950 3.0 0.4987 1.0 0.3413 2.0 0.4773 0.5000 16第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-17 概率積分面積表的另一用途是由概率確定誤差界限。例如要保證測定值出現(xiàn)的概率為0.95，那么隨機誤差界限應(yīng)為1.96。例1 經(jīng)過無數(shù)次測定并在消除了系統(tǒng)誤差的情況下，測得某鋼樣中磷的質(zhì)量分數(shù)為0.099%。已知=0.002%，問測定值落在區(qū)間0.095%-0.103%的概率是多少？解：根據(jù)得 |u|=2，由表3-1查得相應(yīng)的概率為0.4773，則P（0.095%x0.103%）=0.47732=0.95517第十講 第三章 誤差和分析數(shù)據(jù)和得理 10-18 例2 對燒結(jié)礦樣進行150次全