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1、3.4 基本不等式第1課時 基本不等式的推導(dǎo)及其證明 如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo),會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的,顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車,代表中國人民熱情好客. 你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎?合作探究 這樣,4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為 設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a、b, 那么正方形的邊長為 . 將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖,在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形. zxxk 由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個不等式: 當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有
2、結(jié)論1:證明: 作差比較 a2+b2-2ab=(a-b)2 當(dāng)ab時,(a-b)20 得 a2+b22ab 當(dāng)a=b時,(a-b)2=0 得 a2+b2=2ab 特別地,如果a0,b0,我們用 、 分別代替上面結(jié)論中的a、b,可得證明同前面結(jié)論1結(jié)論2基本不等式的幾何意義 在右圖中,AB是圓的直徑,點C是AB上的一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD. 你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎? 易證tADtDB,那么 D2AB即D.由于CD不大于圓的半徑 所以 其中當(dāng)且僅當(dāng)點C 與圓心重合,即ab時,等號成立.的幾何意義是“半徑不小于半弦” zxxk因此,基本
3、不等式 如果把 看作是正數(shù)a、b的等差中項,把 看作是正數(shù)a、b的等比中項,那么該定理可以敘述為:兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項. 基本不等式 代數(shù)意義 為a、b的算術(shù)平均數(shù), 為幾何平均數(shù),那么兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 基本不等式的推廣: 若 則 叫做n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù), 叫做n個正數(shù)的幾何平均數(shù).n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). 例1. 求證證明:當(dāng)且僅當(dāng)a= 即a=1時,等號成立.當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=b時,等號成立.證明:由于x、y都是正數(shù),根據(jù)基本不等式得例2.已知x、y 都是正數(shù),求證: (xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.(xy)(x
4、2y2)(x3y3)x3y3.三式相乘得當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立.例3 設(shè)a0,b0,且a+b=1,求證:證明一(分析法)(4a+1)(4b+1) 916ab+4a+4b+19 證明二(綜合法)從而 + 例4.若x0,y0,且x+y=2,求x2+y2的最小值解:x2+y22xy, 2(x2+y2)(x+y)2x+y=2,x2+y22即x2+y2的最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取得最小值.1.基本不等式的推導(dǎo)及其意義2.利用基本不等式證明簡單不等式課堂小結(jié) 2.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地,甲車一半時間的速度為a,另一半時間的速度為b;乙車用速度a行走了一半路程,用速度b行走了另一半路程,若ab,則兩車到達(dá)B地的情況是( ) (A)甲車先到達(dá)B地 (B)乙車先到達(dá)B地 (C)同時到達(dá) (D)不能判定 1.“a0且b0”是“ ”成立的( ) (A)充分而非必要條件 (B)必要而非充分條件 (C)充要條件 (D)既非充分又非必要條件 AA小試牛刀3.已知a、b、c都是正數(shù),求證(ab)(bc)(ca)abc證明:由于a、b、c都是正數(shù),根據(jù)基本
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