數(shù)學史概論第五講課件

1、一、 中世紀的歐洲第 5講. 沖破黑暗文藝復興與近代數(shù)學的興起三、 解析幾何的誕生二、 向近代數(shù)學的過渡大約在公元500年左右才開始出現(xiàn)新文化公元511世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期出現(xiàn)一些水平低下的算術和幾何教材： 博埃齊：選編了幾何、算術等教科書,幾何僅包含原 本的第一卷和第三、四卷的部分命題，以及一些簡單的測 量術；算術則是根據(jù)四百年前尼科馬庫斯的一本淺易的 著作編寫的。比德(V.Bede,674735)、熱爾拜爾(Gerbert,約9501003)等人也討論過數(shù)學. 前者研究過算術中的指算，據(jù)說后者可能把印度-阿拉伯數(shù)字帶入歐洲。 直到12世紀，歐洲數(shù)學才出現(xiàn)復蘇的跡象。這種復蘇是由于受

2、翻譯、 傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激開始。文藝復興的意大利成為東西方文化的熔爐.古代學術傳播西歐的路線如圖5.1所示一、中世紀的歐洲 數(shù)學著作的翻譯：阿德拉特：幾何原本、花拉子米 天文表；普拉托：巴塔尼天文學、狄奧多 修斯球面幾何以及其它著作羅伯特：花拉子米代數(shù)學等杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻譯 成拉丁文.包括大匯編,原 本,圓錐曲線論,圓的度 量等斐波那契： 算盤書(Abaci, 1202) 印度-阿拉伯數(shù)碼，分數(shù)算法，開方 法，二次和三次方程，不定方程， 以及幾何原本和希臘三角學的 大部分內容 兔子問題： 有人想知道一年內一對兔子可繁殖成多少對，便筑了一道圍墻把一對兔子關在里面。已知一

3、對兔子每一個月可以生一對小兔子，而一對兔子出生后第二個月就開始生小兔子。假如一年內沒有發(fā)生死亡，則一對兔子一年內能繁殖成多少對？ 斐波納契數(shù)列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233二、向近代數(shù)學的過渡1.1 三、四次方程求解： 費羅(S. Ferro, 14651526)： 發(fā)現(xiàn)形如 的三次方程的代數(shù)解法，并將解法秘密傳給他 的學生費奧 塔塔利亞:宣稱可以解形如 的三次方程,并最終將解法傳授與卡爾丹1 代數(shù)學論數(shù)字與度量（15561560）：數(shù)學百科全書和16世紀最好的數(shù)學著作之一卡爾丹：大術(或大法1545年) 三次方程 x3 = px + q (p , q

4、 0 ) 的解法： 實質是考慮恒等式：(ab)3 + 3ab(ab) = a3b3 若選取 a 和b，使 3ab= p，a3b3 = q， （*） 由（*）不難解出a 和b， 于是得到 a b 就是所求的 x . 后人稱之為卡爾丹公式。 卡爾丹還對形如 x3 = px + q (p , q 0 )的方程給出了解的公式： x = a + b 其中 對于帶有二次項的三次方程，通過變換總可以將二次項消去，從而變成 卡爾丹能解的類型。 費拉里(L. Ferrari,15221565)：四次方程求解 其解法是利用一個變換： 將一般四次方程 簡化為 (這總可以做到) 由此進一步得到 于是，對于任意的z，有

5、 再選擇適當?shù)?z ，使上式右邊成為完全平方式，實際上使 即可。這樣就變?yōu)閦的三次方程。 費拉里所討論的四次方程類型主要有以下幾種卡爾丹：將塔氏方法推廣到一般情形的三次方程， 給出幾何證明；認識到三次方程有三個根，四 次方程有四個根；對三次方程求解中的所謂“ 不可約”情形感到困惑，認為復根是成對出現(xiàn) 的；卡爾丹還發(fā)現(xiàn)了三次方程的三根之和等于 x2項的系數(shù)的相反數(shù)，每兩根乘積之和等于x 項的系數(shù)，等等 1572年,意大利數(shù)學家邦貝利在其所著教科書代 代數(shù)中引進虛數(shù)，用以解決三次方程不可約情況，并以dimRq11表示 -11。 牛頓在其普遍的算術中證明復根成對出現(xiàn) 荷蘭人吉拉德代數(shù)新發(fā)現(xiàn)(1629

6、) 作進一步的推斷：對于n次多項式方 程，如果把不可能的(復數(shù)根)考慮在內，并包括重根，則應有n 個根。 根與系數(shù)的關系問題后來由韋達、牛頓和格列高里等人作出系統(tǒng)闡述。 * 法國代數(shù)學：韋達：分析方法入門(1591)、論方程的整理與修正(1615)、有效 的數(shù)值解法(1600)等方程論著作 給出代數(shù)方程的近似解法與代數(shù)方程的多項式分解因式解法。笛卡兒：1637年,首次應用待定系數(shù)法將四次方程分解成兩個二次方程求 解.幾何學中提出因式分解定理：f (x) 能為 (x-a) 整除,當且僅當a 是 f (x) = 0的一個根;未加證明敘述了n次多項式方程應有 n個根的論斷, 以 及 “笛卡兒符號法則

7、”:多項式方程f (x) = 0 的正根的最多個數(shù)等于系 數(shù)變 號的次數(shù),負根的最多個數(shù)等于兩個正號與兩個負號連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù). 韋達：分析引論(1591) 第一次有意識地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號,輔音 字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符號 性代數(shù)稱作“類的算術”.同時規(guī)定了算術與代數(shù) 的分界,認為代數(shù)運算施行于事物的類或形式,算 術運算施行于具體的數(shù).使代數(shù)成為研究一般類型 的形式和方程的學問,因其抽象而應用更為廣泛. 韋達的符號代數(shù)保留著齊性原則，要求方程中各項都 是“齊性”的，即體積與體積相加，面積與面積相加.1.2 符號代數(shù)的引入 韋達的這種做法受到后人的贊賞，并被吉拉德的代數(shù)新

8、發(fā)現(xiàn)和奧特雷德(Oughtred, 15751660）的實用分析術所繼承。特別是通過后者的著作使得采用數(shù)學符號的風氣流行起來。對韋達所使用的代數(shù)法的改進工作是由笛卡兒完成的，他首先用拉丁字母的前幾個（a, b, c, d, ）表示已知量，后幾個（x, y, z, w, ）表示未知量，成為今天的習慣。 到十七世紀末，歐洲數(shù)學家已普遍認識到，數(shù)學中特意使用符號具有很好的功效。并且使數(shù)學問題具有一般性。 部分文藝復興時期出現(xiàn)的縮寫代數(shù)符號：帕西奧里（意，14451517年）（意，1994） 1494年算術集成：繼斐波那契之后第一部內容全面的數(shù)學書貓捉老鼠問題 ：一只老鼠在60英尺高的白楊樹頂上，一只

9、貓在樹腳下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上又上升1/6英尺；貓每天往上爬1英尺，晚上又滑下1/4英尺；這棵樹在貓和老鼠之間每天長1/4英尺，晚上又縮1/8英尺。試問貓要多久能捉住老鼠？符號使用者時間方根RFibonacci (11701250, 意)1202年加，減p, mPacioli (約14451517, 意)1494年加，減+ , -J.Widman（德）1489年減Oughtred（英）1631年等于=R. Recorde（英）1557年等于Vieta（法）1591年等于Descartes（法）1637年乘Oughtred（英）1631年乘Oughtred（英）1631年運算或關

10、系比例：Oughtred（英）1631年除J.H.Rahn (16221676, 瑞士)1659年大于,小于, T. Harriot（15601621,英）16世紀方括號,大括號 , Vieta （法）1593年根號C.Rudolff （奧地利）16世紀n根號A.Girard（15931632,荷）16年乘冪xnxnOresme14世紀乘冪xnBombelli （法）乘冪axnanChuquet （法）1484年指數(shù)a3a3Pierre Herigone （法）1634年指數(shù)a3aaaT. Harriot（15601621,英）指數(shù)axaxDescartes （法）1637年n2 三角學波伊爾

11、巴赫： 把托勒玫的天文大成譯成拉丁文，并編制了十分精確的正弦表。雷格蒙塔努斯： 論各種三角形歐洲第一部脫離天文學的三角學專著 全書分五卷，前兩卷論平面三角, 后三卷論球面三角, 給出了球面三角 正弦定理和邊的余弦定理。 方位表：制定高達5位的三角函數(shù)表, 除正余弦表外, 還有正切表。 首次對三角學作出完整、獨立的闡述,使其開始在歐洲廣泛傳播。維爾納(Werner,14681528)：論球面三角(1514) 改進了將雷格蒙塔努斯的思想。雷提庫斯： 將傳統(tǒng)的弧與弦的關系, 改進為角的三角函數(shù)關系, 并采用了六個函數(shù) (正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，編制了間隔為10“的10位 和15位正弦表

12、。韋達：將平面三角與球面三角知識系統(tǒng)化.在標準數(shù)學(1579)和斜截 面(1615) 中, 把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起, 其中包括自己得到的正切公式： 建立解球面三角形的方法與一套公式, 給出幫助記憶這些公式的今天 所謂的“納皮爾法則”. 這些球面三角公式大都是托勒玫建立的, 但 也有 韋達自己的公式, 如 （A為鈍角） 尤為重要的是韋達還將一套三角恒等式改成代數(shù)形式。 16世紀，三角學已從天文學中分離出來，成為一個獨立的數(shù)學分支。 3 從透視學到射影幾何 圓錐曲線在天文學上的應用，促使人們需要重新審視希臘人的圓錐曲線，以及其它高等曲線。天文觀測的需要，光學又日益成為文藝復興

13、時期的一個重要課題。文藝復興時期的幾何創(chuàng)造其動力來自藝術。 中世紀宗教繪畫具有象征性和超現(xiàn)實性。文藝復興時期，描繪現(xiàn)實世界成為繪畫的重要目標.畫家們在將三維現(xiàn)實世界 由于繪畫、制圖的刺激導致透視學的興起, 從而誕生了投影幾何學。 布努雷契：由于對數(shù)學對興趣而認真研究透 視法，他試圖運用幾何方法進行繪畫。 阿爾貝蒂：論繪畫(1511) 早期數(shù)學透視 法的代表作。引入投影線、截影等概念， 還討論了截影的數(shù)學性質，成為射影幾何 發(fā)展的起點。繪制到二維的畫布上時,面臨的問題： （1）一個物體的同一投影的兩個截影有什么共同的性質？ （2）從兩個光源分別對兩個物體投影得同一物影,那么這兩個物體有何共同的幾

14、何性質？蒙娜麗莎達芬奇自畫像 德沙格(G.Desargues, 15911661)： 系統(tǒng)討論透視法的第一人. 他研究投影法的動機是希望證明阿波羅尼奧斯 圓錐曲線的定理. 1636年發(fā)表第一篇關于透視法的論文. 代表作是1639年發(fā) 表的試論錐面截一平面所得結果的初稿,書中引入70多個投影幾何術 語, 有些很古怪, 如投影線叫“棕”, 標有點的直線叫“干”, 其上有三點成對合關系 的直線叫“樹” 等等。 創(chuàng)造性思想： 從焦點透視的投影與截影原理出 發(fā), 對平行線引入無窮遠點的概念, 繼而獲得無窮遠線的概念; 討論了今天所謂的笛沙格定理: 投影三角形 ABC 和ABC 的對應邊(或 延長線)交點

15、Q、R、P共線。反之，對應 邊交點共線的三角形，對應頂點連線 AA、BB、CC共點O 。 德沙格在他朋友鮑瑟1648年發(fā)表的一本關于透視法著作的附錄中,發(fā)表了三角形其它一些射影性質的結論,其中包含投影變換下交比不變性定理。A B C DQRPABCCABOOA BCD一直線上的四點A、B、C、D間的線段構成的比 定義為它們的交比. 笛沙格從投影觀點考慮，證明了投影線的每個截線上的交比都相等。 從對合點問題出發(fā)首次討論了調和點組的理論。笛沙格利用射影原理證明了：在圓錐曲線的內接四邊形中，任一不過頂點的直線與圓錐曲線以及與完全四邊形對邊相交的四對點具有對合關系。在對合概念的基礎上引入共軛點與調和點

16、組的概念，認為對合、調和點組關系在投影變換下具有不變性。在調和點組概念基礎上，笛沙格進一步研究了極點與極帶理論。利用這些理論處理了阿波羅尼奧斯的圓錐曲線，他將圓錐曲線的直徑視作無窮遠點的極帶，通過投影和截影這種新的證明方法，統(tǒng)一處理了不同類型的圓錐曲線。 法國另一位數(shù)學家帕斯卡（Blaise Pascal, 16231662）十六歲時就開始也研究投射與取景法, 他曾接受笛沙格的建議 把圓錐曲線的許多性質簡化為少數(shù)幾個基本命題, 1640年完成著作略論圓錐曲線, 不久失傳, 后于1779 年被重新發(fā)現(xiàn). 在射影幾何方面他最突出的成就是所謂的帕斯卡定理:圓錐曲線的內接六邊形對邊交點共線. （1）一

17、個數(shù)學對象從形狀連續(xù)變化到另一形狀； （2）變換與變換不變性； （3）幾何新方法僅關心幾何圖形的相交與結構關系，不涉及度量。 十七世紀數(shù)學家們的時尚是理解自然和控制自然,用代數(shù)方法處理數(shù)學問題一般更為有效,也特別容易獲得科技所需要的數(shù)量結果,而射影幾何學家的方法是綜合的,而且得出的結果也是定性的,不那么有用.因此,射影幾何產(chǎn)生后不久,很快就讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分,終由這些學科進一步發(fā)展出在近代數(shù)學中占中心地位的其它學科.笛沙格、帕斯卡、希爾等人的工作與結果也漸被人們所遺忘,遲至十九世紀才又被人們重新發(fā)現(xiàn). 拉伊爾: (P. de la Hire,16401718) 圓錐曲線(1685)中

18、首先證明了有關調和點組的圓的性質, 再通過投影和取截影, 將這些性質推廣到圓錐曲線上, 證明了阿波羅尼烏斯的364個關于圓錐曲線的定理中的300個. 其結果并未超過笛沙格與帕斯卡的工作, 最突出的地方在于極點理論方面有所創(chuàng)新, 獲得并且證明了命題：若一點Q在直線p上移動, 則該點Q 的極帶將繞那直線 p 的極點 P 轉動. 德沙格等人把這種投影分析方法和所獲得的結果，視為歐幾里得幾何的一部分，從而在十七世紀人們對二者不加區(qū)別。但我們應該認識到，當時由于這一方法而誘發(fā)了一些新的數(shù)學思想和觀點：4 計算技術與對數(shù) 科學成果在工程技術上的應用以及實踐上的需要,對計算技術提出了前所未有的要求. 如：地

19、理探險與海洋貿易需要更為準確的天文知識; 以精確觀測為基礎的新天文學說需要精密的天文數(shù)表, 特別是三角函數(shù)表;日益發(fā)展起來的銀行業(yè)務和商務活動也需要更好的計算技術. 由于算術方面的推動, 數(shù)域開始得到拓寬, 人們能夠對分數(shù)、正負數(shù)、無理數(shù)及連分數(shù)有了一定的認識并作適當?shù)奶幚? 1585年荷蘭數(shù)學家史蒂文發(fā)表的論十進制算術系統(tǒng)探討十進數(shù)及其運算理論, 并提倡用十進制小數(shù)來書寫分數(shù), 還建議度量衡及幣制中也廣泛采用十進制. 這種十進位值制的采用又為計算技術的改進準備了必要條件。 對數(shù)的發(fā)明和應用：由于天文和航海計算的強烈需要，為簡化天文、航海方面所遇到繁復的高位數(shù)值計算，自然希望將乘除法歸結為簡單

20、的加減法，這種設想受到人們熟知的三角公式 的啟示，或許受到斯蒂費爾在他的綜合算術（1544）中所發(fā)現(xiàn)的幾何級數(shù) 1, r, r2, r3, 與其指數(shù)構成的算術級數(shù)0, 1, 2, 3, 之間對應關系及運算性質的啟示。 納皮爾(J.Napier)： 在球面天文學的三角學研究中首先發(fā)明對數(shù)方法. 奇妙的對數(shù)定理說明書(1614) 闡述了對數(shù)方法. 他考察一個點P沿直線AB(長度為107單位)運動,其速度在每一點P上正比于剩余距離PB = y;再假定一個點Q沿無限直線CD勻速運動,速度等于第一點在A處的速度, CQ = x; 且P與Q分別同時從A、C出發(fā)(如圖); 那么定義 x 是 y 的對數(shù)。 A

21、PyBCDQx圖 納皮爾最初讓 x 和 y 這兩組數(shù)是按公式 對應, 其中a = 107，e 是自然對數(shù)的底，當 時，并不能得到 ，而是得到 。納皮爾的目的是想用對數(shù)解決平面和球面三角問題，因此他作了以分弧為間隔的090角正弦的對數(shù)表。 布里格斯(Henry Briggs,15611631)：與納皮爾合作, 決定采用y =10 x , 則 時得到 , 獲得今天所謂的“常用對數(shù)”. 由于我們的數(shù)系是十進的, 從而它在數(shù)值計算上具有優(yōu)越性. 對數(shù)算術(1624)編制了1-2000以及90000-100000的14位常用對數(shù)表。 比爾吉(Jobst Brgi, 15521632) :1600年也獨立

22、地發(fā)明了對數(shù)方法以簡化天文計算。其對數(shù)思想的基礎是斯蒂費爾的級數(shù)對應思想，屬于算術性質而略異于納皮爾的做法。不過他的發(fā)明遲至1620年才得到發(fā)表。對數(shù)的發(fā)明大大減輕了計算工作量，很快風靡歐洲。拉普拉斯(Laplace, 17491827)曾贊譽：“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學家的壽命”?？梢哉f，到十六世紀末、十七世紀初，整個初等數(shù)學的主要內容基本定型，文藝復興促成的東西方數(shù)學的融合，為近代數(shù)學的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。三、 解析幾何的誕生 近代數(shù)學本質上可以說成是變量數(shù)學。 生產(chǎn)力對科學技術提出的要求： 機械的普遍使用引起了對機械運動的研究；世界貿易的高漲促使航海事 業(yè)的空前發(fā)

23、達，而測定船舶位置問題要求準確地研究天體運行的規(guī)律； 武器的改進刺激了彈道問題的探討，等等； 十六世紀, 對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題, 這就迫切地需要一種新的數(shù)學工具, 從而導致了變量數(shù)學亦即近代數(shù)學的誕生。 解析幾何 變量數(shù)學的第一個里程碑是解析幾何的誕生. 解析幾何的基本思想是在平面上引進所謂“坐標”的概念, 并借助這種坐標在平面上的點和有序實數(shù)對(x , y)之間建立一一對應的關系. 代數(shù)方程 f (x , y) = 0對應于平面曲線. 奧雷斯姆：解析幾何最重要的前驅 論形態(tài)幅度中提出的形態(tài)幅度原理(或稱圖線原理), 甚至已接觸到直角坐標系中用曲線表示函數(shù)的圖象, 奧雷斯

24、姆借用“經(jīng)度”、“緯度”這兩個地理學術語來敘述他的圖線, 相當于縱坐標與橫坐標. 不過他的圖線概念是模糊的, 至多是一種圖表, 還未形成清晰的坐標與函數(shù)圖象的概念。 笛卡兒: 更好地指導推理和尋求科學真理的方法論(1637) 三個附錄:幾何學,屈光學和氣象學, 解析幾何的發(fā)明包含在幾何學中. 笛卡爾出發(fā)點是帕普斯(Pappus)問題： 設在平面上給定3條直線 l1 、l2 和 l3，從平面上的點C 作點作三條直線分別與l1 、l2 、l3交于P、R、Q，交角分別等于已知角1 、2 和3，求使CPCR = k CQ 2的點C的軌跡。如果給定四條直線(如圖)，則求使 這一問題稱作帕普斯四直線問題.

25、 問題還可以類似地推廣到 n 條直線的情形.帕普斯曾宣稱, 當給定的直線是三條或四條時,所得的軌跡是一條圓錐曲線。 的C點的軌跡。l2 l3 l4l1E A x P GyRDCQHFS幾何學第二卷證明了四直線問題的帕普斯結論。其做法是：記AP為x，PC為y，經(jīng)簡單的幾何分析，他用已知量表出CR、CQ 和CS 的值，代入CPCR = CSCQ，就得到一個關于x和y的二次方程： y 2 = A y + B x y + C x + D x 2 (* )其中A、B、C、D是由已知量組成的簡單代數(shù)式。笛卡爾指出，任給x一個值，就得到一個關于y的二次方程，從這個方程可以解出y，根據(jù)幾何學第一卷所給的方法，

26、用圓規(guī)直尺將y畫出。如果我們取無窮多個x值，就得到無窮多個y值，從而得到無窮多個點C，所以這些點C的軌跡就是方程（*）代表的曲線。 笛卡兒在這里選定一條直線(AG)作為基線(相當于一根坐標軸)，以點A為原點，x值是基線的長度，從A點量起；y值是另一條線段的長度，該線段從基線出發(fā)，與基線交成定角。于是，笛卡兒建立了歷史上第一個傾斜坐標系。幾何學第三卷還給出直角坐標系的例子。有了坐標系和曲線方程的思想，笛卡兒又提出了一系列新穎的想法，如：曲線的次數(shù)與坐標軸選擇無關；坐標軸選取應使曲線方程盡量簡單；利用曲線的方程表示來求兩條不同曲線的交點；以及曲線的分類等等。 笛卡兒幾何學的方法論背景:幾何學作為笛

27、卡兒哲學著作方法論的附錄，意味著他的幾何學發(fā)現(xiàn)乃至其它方面的發(fā)現(xiàn)都是在其方法論原理指導下獲得的。其方法論原理的本旨是尋求發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，他認為在一切領域中可以建立一種普適的推證真理的方法，這個方法就是數(shù)學方法，稱之為“通用數(shù)學”。由此出發(fā)提出一種大膽的計劃，即： 任何的問題數(shù)學問題代數(shù)問題方程求解為了實現(xiàn)這一計劃，笛卡兒首先通過“廣延” (對有形物廣延的一種推廣)的比較將一切度量問題化為代數(shù)方程問題.為此需要確定比較的基礎，即定義“廣延”單位，以及建立“廣延”符號系統(tǒng)及其算術運算，特別是要給出算術運算與幾何圖形之間的對應。 當然，笛卡兒的方法論著作并沒有告訴人們，在將一切問題化歸為代數(shù)方程

28、問題后將如何繼續(xù)，這還是幾何學需要完成的任務。笛卡爾運用算術或代數(shù)術語將一切幾何問題化為關于一個未知線段的單個代數(shù)方程： z = b z2 = a z + b z3 = a z2 + b z + c z4 = a z3 + b z2 + c z + d 幾何學的主要篇幅或者說主要目標就是討論如何給出這些方程的標準解法(由線段作圖畫出)。笛卡兒依次對此進行分類解答： (1) 一、二次方程； (2) 三、四次方程； (3) 五、六次方程； 幾何學第一卷對于最簡單的第（1）類方程，討論了三種形式的二次方程： z2 = a z + b2 z2 = a z + b2 z2 = a z b2 并分別給出作

29、圖（解）。本質上是利用圓與直線的交點。 以z2 = a z + b為例，笛卡兒作一直角三角形NLM，使其一邊LM = b，另一邊LN = a /2，延長斜邊MN至O，使NO = NL，則OM即所求線段 z（如圖）。 aONPL b M2圖 笛卡兒發(fā)明坐標幾何的最終目標是解決高次方程的作圖問題在幾何學第三卷的后半部分，他利用得到的坐標幾何工具，解決了三、四次方程的作圖(利用圓與拋物線的交點)和五、六次方程的作圖(利用圓與比拋物線更高一次的所謂“笛卡兒拋物線”的交點)，并指出，可以依此類推地解決更高次方程的作圖問題。 笛卡兒幾何學的整個思路與傳統(tǒng)的方法大相徑庭.笛卡兒在方法論中尖銳地批判了亞里士多德的“三段論”法則,認為三段論法則“只