復(fù)變函數(shù)映射

1、復(fù)變函數(shù)映射第一張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 1. 復(fù)變函數(shù)的定義 2. 映射的概念 3. 反函數(shù)或逆映射3 復(fù)變函數(shù)第二張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1. 復(fù)變函數(shù)的定義與實(shí)變函數(shù)定義相類似定義 第三張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1例2第五張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上， w=f(z)可以看作： 定義域函數(shù)值集合 2. 映射的概念復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w第六張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

2、在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)表達(dá)兩對(duì)變量 u，v 與 x，y 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變 函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）第七張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3解關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射見(jiàn)圖1-11-2旋轉(zhuǎn)變換(映射)見(jiàn)圖2例4解第八張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o圖1-1圖1-2圖2uv(w)o第九張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第十張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022

3、年6月 3. 反函數(shù)或逆映射例 設(shè) z=w2 則稱 為z=w2的反函數(shù)或逆映射為多值函數(shù),2支.定義 設(shè) w =f (z) 的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.第十一張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例 已知映射w= z3 ，求區(qū)域 0argz 在平面w上的象。例第十二張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 1. 函數(shù)的極限 2. 運(yùn)算性質(zhì) 3.函數(shù)的連續(xù)性4 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性第十三張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1. 函數(shù)的極限定義uv(w)oAxy(z)o幾何意義: 當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0 的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f

4、(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的鄰域中第十四張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (1) 意義中 的方式是任意的. 與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高.(2) A是復(fù)數(shù). 2. 運(yùn)算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：定理1(3) 若f(z)在 處有極限,其極限是唯一的.第十五張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理2 以上定理用極限定義證!第十六張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例1例2例3第十七張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3.函數(shù)的連續(xù)性定義定理3第十八張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例4 證明f (z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。證明xy(

5、z)ozz第十九張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 定理4 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為0) 仍為連續(xù)函數(shù); 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。有界性：第二十張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二章 解析函數(shù) 第一節(jié) 解析函數(shù)的概念 第二節(jié) 函數(shù)解析的充要條件 第三節(jié) 初等函數(shù)第二十一張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義 2. 解析函數(shù)的概念2.1 解析函數(shù)的概念第二十二張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 一. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義定義 設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD，如果極限 存在，則稱函數(shù)f (z)

6、在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f (z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作 如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f (z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。第二十三張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (1) z0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。 (2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) 例1第二十四張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(2)求導(dǎo)公式與法則 常數(shù)的導(dǎo)數(shù) c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然數(shù)).證明 對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0，有-實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣第二十五張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè)函數(shù)f (z),g (z) 均可導(dǎo)，則 f (z)

7、g (z) =f (z)g(z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z)第二十六張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( f g(z) =f (w)g(z)， 其中w=g(z)。 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，其中: w=f (z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。思考題第二十七張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3 問(wèn)：函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)？例2解解第二十八張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例4 證明 f (z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。證明第二十九張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (1) 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)

8、處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù) 在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得 多，這是因?yàn)閦0是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于零的原故。 (2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)， 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, 但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。第三十張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月(3)可導(dǎo)與連續(xù)若 w=f (z) 在點(diǎn) z0 處可導(dǎo) w=f (z) 點(diǎn) z0 處連續(xù).?第三十一張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二. 解析函數(shù)的概念定義 如果函數(shù)w=f (z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處 可導(dǎo)，則稱f (z)在z0解析； 如果f (z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱 f (z)在D內(nèi)解析，或稱f (z)是D內(nèi)的解析函數(shù) (全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f (z)在點(diǎn)z0不解析，就稱z0是f (z)的奇點(diǎn)。 (1) w=f (z) 在 D 內(nèi)解析 在D內(nèi)可導(dǎo)。 (2) 函數(shù)f (z)在 z0 點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析。第三十二張，PPT共三十四頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例如(1) w=z2 在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面 上的解析函數(shù)；(2) w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析 函數(shù)； (3) w=zRez 在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見(jiàn)例4)。定理1 設(shè)w=f (z