混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1、。混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)The Design of Mixture Experiments主要參考文獻(xiàn)：1、欒軍 .現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)優(yōu)化方法.上海：上海交通大學(xué)出版社，19952、茆詩松等 .回歸分析及其試驗(yàn)設(shè)計(jì).上海：華東師范大學(xué)出版社,1981一、混料問題與混料試驗(yàn)( 欒軍 , 1995 ；茆詩松等 , 1981)日常生活中和工業(yè)生產(chǎn)上經(jīng)常遇到 配方配比 一類的問題，即所謂混料問題。這里所說的 混料是指由若干不同成分的元素混合形成一種新的物品 。由不同成分組成的鋼、鐵、鋁、藥方、飼料以及燃料等都是混料，某些分配問題，如企業(yè)的材料、資金、設(shè)備和人員等的分配也可看著混料問題。混料試驗(yàn) 就是通過 實(shí)物試驗(yàn)或非

2、實(shí)物試驗(yàn) ，考察各種混料成分與試驗(yàn)指標(biāo)之間的關(guān)系 。例如，人們吃的糕點(diǎn)是將面粉、水、油、糖發(fā)酵及某些香料混合后經(jīng)烘烤制成的，考察這些成分對糕點(diǎn)的柔軟性、口味等試驗(yàn)指標(biāo)的影響所進(jìn)行的試驗(yàn)就是混料試驗(yàn)。 應(yīng)該指出，混料試驗(yàn)中的混料成分至少應(yīng)有三種，并且混料成分中的不變成分不應(yīng)作為混料成分?；炝显囼?yàn)設(shè)計(jì) ，不同于以前所介紹的各種試驗(yàn)設(shè)計(jì)。混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的試驗(yàn)指標(biāo)只與每種成分的含量有關(guān)，而與混料的總量無關(guān)，且每種成分的比例必須是非負(fù)的，且在01 之間變化，各種成分的含量之和必須等于1（即 100%）。也就是說，各種成分不能完全自由地變化，受到一定條件的約束。設(shè)： y 為試驗(yàn)指標(biāo)， x i i1,2, p

3、 是第 i 種成分的含量，則混料問題的約束精選資料，歡迎下載。條件，即混料條件 為：xi0, i 1,2, pp（1）xi x1x2xp1i 1其中 xi 稱為混料成分 或混料分量 ，即混料試驗(yàn)中的 試驗(yàn)因素 ?；炝显囼?yàn)設(shè)計(jì)是一種受特殊條件約束的回歸設(shè)計(jì)，它是通過合理地安排混料試驗(yàn)，以 求得各種線性或非線性回歸方程的技術(shù)方法。它具有試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)少、計(jì)算簡便、容易分析、迅速得到最佳混料條件 等優(yōu)點(diǎn)?；炝蠗l件（ 1）決定了混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)不能采用一般多項(xiàng)式作為回歸模型，否則會由于混料條件的約束而引起信息矩陣的退化。混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)常采用Scheff 多項(xiàng)式回歸模型 。例如， 一般的三元二次回歸方程為33bii

4、 xi2yb0bi xibijxi x j(2)i 1i ji 1而混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，三分量二次回歸方程應(yīng)為3ybi xibijxix j(3)i 1i j比較式（2）和式（3）可知，Scheff 多項(xiàng)式?jīng)]有常數(shù)項(xiàng)和平方項(xiàng)。 這是因?yàn)椋?將約束條件xi 1代入式（ 2），即可推導(dǎo)得到式（ 3）。i 1通常，混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的p 分量 d 次多項(xiàng)式回歸方程， 其 Scheff 多項(xiàng)式（或稱為規(guī)范多項(xiàng)式）為p一次式（ d=1）：ybi xi(4)i 1精選資料，歡迎下載。p二次式（ d=2）：ybi xibij xix j(5)i 1i j三次式（ d=3）：pybi xibij xi x jrij x

5、i x j ( xix j)bijk xi x j xk(6)i 1i jijij k式中 rij 為三次項(xiàng) xi x j( xi x j ) 的回歸系數(shù)。由此看來， 混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)的 (p, d) Scheff多項(xiàng)式回歸方程中，待估計(jì)的回歸系數(shù)的個數(shù)，比一般的p 因素 d 次多項(xiàng)式回歸方程要少 。例如，對于混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)（ p, d）的回歸方程式（ 5），無常數(shù)項(xiàng)和二次項(xiàng)。于是，減少了p+1個回歸系數(shù)，所以至少可以少做p+1 次試驗(yàn)。混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)由 H. Scheff 于 1958 年首先提出 ，至今已有 40 多年。由于這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及科學(xué)試驗(yàn)有密切的關(guān)系，所以無論在理論研究中，

6、還是實(shí)際應(yīng)用中都有了很大的發(fā)展。在工業(yè)試驗(yàn)方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混紡纖維、醫(yī)藥、食品等的配方和生產(chǎn)制造都廣泛地應(yīng)用混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。二、單（純）形格子設(shè)計(jì)（茆詩松等， 1981；欒軍， 1995）引言（1）單（純）形在混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法中， 單純形格子設(shè)計(jì)是最早出現(xiàn)的， 是 Scheff 于 1958年提出的。它是混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)中最基本的方法，其它一些方法都要用到單純形格子設(shè)計(jì) 。在混料問題中，各分量x i (i=1,2, p)的變化范圍受混料條件式（1）精選資料，歡迎下載。pxi 1 為 p 維平面，而（ x1, x2, xp）為 p 維平面上的制約。 在幾何上 ，稱i1點(diǎn)的坐標(biāo) 。在

7、 p 維平面上滿足 0 x1 , x2 , , x p 1 的區(qū)域構(gòu)成一個圖形稱為 單形（或單純形）。單形上的點(diǎn)，若其 p 個坐標(biāo)中有一個坐標(biāo) x i =1 , 而其余的 p-1 個坐標(biāo) x j =0 (j i), 則這種點(diǎn)稱為 單形的頂點(diǎn) 。因此， 在 p 因子混料試驗(yàn)中，單形的頂點(diǎn)有 p 個。例如， p=3 時(shí)，單形的三個頂點(diǎn)為（1，0，0）、（0，1，0）和（ 0，0，1）。所以單型的圖形為一等邊三角形，如圖1（a）所示。（2）單形上點(diǎn)的坐標(biāo)下面，以 p=3 為例討論 單形上點(diǎn)的坐標(biāo) 問題。對于三因子混料試驗(yàn)， 這個試驗(yàn)的單形是一個等邊三角形，其三個頂點(diǎn)分別為A（ 1，0，0）、B（0，

8、1，0）和 C（0，0，1）。設(shè) P（x1、x2、x3）為這單形的 內(nèi)點(diǎn)，定義 x1 表示 P 點(diǎn)到邊 BC的距離， x2 為 P 點(diǎn)到邊 AC的距離， x3 為 P 點(diǎn)到邊 AB的距離。為簡單起見，使用時(shí)不再畫出三個坐標(biāo)軸，只畫出一個等邊（正）三角形，如圖 1（b）所示。x1A(1, 0, 0)A(1, 0, 0)x3x2oP(x1, x2, x 3)C(0, 0, 1)B(0, 1, 0)x1C(0, 0, 1)x2 B(0, 1, 0)x3(a)(b)圖 1p=3時(shí)的單形精選資料，歡迎下載。x1+x2+x3 = 正三角形的高 = 1 ）取此等邊（正）三角形的高為 1，則由初等幾何學(xué)可知，

9、 ABC內(nèi)任一點(diǎn) P到三個邊的距離之和為1，即x1 x2 x31 或3xi 1i 1所以，三因子混料試驗(yàn)可以用等邊三角形這樣一個單形上的點(diǎn)表示。一般情況下，對 p 因子混料試驗(yàn) ，其 p 個頂點(diǎn)分別為 A1（1，0，0， ，0）、A2（0，1， 0， ， 0）、 、 A p（0，0，0， ， 1）。設(shè) P（x1, x 2, , x p）為單形的內(nèi)點(diǎn)，定義 x1，x2， ， xp 分別表示 P 點(diǎn)到 A2 Ap 面的距離、 A1A3 Ap 面的距離、 、 A1 Ap-1 面的距離，并取 p-1 維空間內(nèi)正多邊形的高為 1 正多邊形又稱為正規(guī)單（純）形 。于是，我們就建立了 p 因子混料試驗(yàn)的單形

10、坐標(biāo)系。單（純）形格子點(diǎn)的概念對于由混料條件式（ 1）構(gòu)成的 正規(guī)單（純）形因素空間 ，當(dāng)采用式（ 5）、式（6）等完全型規(guī)范多項(xiàng)式 回歸模型時(shí)， 試驗(yàn)點(diǎn) 可以取在正規(guī)單（純）形格子點(diǎn)上，構(gòu)成 單（純）形格子設(shè)計(jì) 。對于三因素（ p=3 時(shí)）的格子點(diǎn)集 ，其單（純）形是一個高為 1 的等邊三角形，它的三個頂點(diǎn)的全體稱為 一階格子點(diǎn)集，記為 3 ，1 ，如圖 2（a）所示。x1 = 1x1 = 1x1 = 1x2 = 1x3 = 1x2 = 1x3= 1x2 = 1 x3 = 1精選資料，歡迎下載。(a) 3, 1(b) 3, 2(c) 3, 3圖 2單（純）形格子點(diǎn)分布圖將高為 1 的等邊三角

11、形的三條邊各二等分，則該三角形的三個頂點(diǎn)與三條邊的中點(diǎn)的全體稱為 二階格子點(diǎn)集，記為 3 ，2 ，如圖 2（b）所示。其中共有6 個點(diǎn)，各點(diǎn)坐標(biāo)如表1 所示。將等邊三角形的各邊進(jìn)行三等分， 對應(yīng)分點(diǎn)連成與各邊平行的直線， 在等邊三角形上形成許多格子，則這些格子頂點(diǎn)的全體稱為 三階格子點(diǎn)集，記為 3 ， 3 ，如圖 2（c）所示，其中共有 10 個點(diǎn)。各點(diǎn)坐標(biāo)如表 2 所示。表1 3，2 各點(diǎn)坐標(biāo)（三因素二階格子點(diǎn)集坐標(biāo)）坐標(biāo)點(diǎn)號x1x2x3110020103001411022510122601122精選資料，歡迎下載。表2 3，3 各點(diǎn)坐標(biāo)（三因素三階格子點(diǎn)集坐標(biāo)）坐標(biāo)點(diǎn)號x1x2x31100

12、2010300142103351203362013371023380213390123310111333精選資料，歡迎下載。四因素二階格子點(diǎn)集，記為4 ，2 ，其中共有 10 個點(diǎn)，各點(diǎn)坐標(biāo)見表3。表 34，2 各點(diǎn)坐標(biāo)（四因素二階格子點(diǎn)集坐標(biāo)）坐標(biāo)點(diǎn)號x1x2x3x4110002010030010400015110022610102271001228011022901012210001122一般情況下， p 因素 d 階格子點(diǎn)集記為 p ，d ，其中 p 表示單（純）形頂點(diǎn)的個數(shù)， d 表示單（純）形邊長被等分的段數(shù)，并且總的點(diǎn)數(shù)為C pdd 1 。3、單（純）形格子設(shè)計(jì)法精選資料，歡迎下載

13、。Scheff 提出的單（純）形格子設(shè)計(jì)，具有以下兩個特點(diǎn) ：（1）、每個 p ，d 設(shè)計(jì)所要做的 試驗(yàn)次數(shù) 為 C dp d 1 ，恰好等于完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸方程 如式（ 5）、式（ 6）所示 中的回歸系數(shù)的個數(shù)。因而單（純）形格子設(shè)計(jì)是 飽和設(shè)計(jì) ，是一種優(yōu)化設(shè)計(jì) 。代表試驗(yàn)的點(diǎn)對稱地排列在單形上，構(gòu)成單形的一個格子，稱為 p ，d 格子 。每一點(diǎn)的 p 個坐標(biāo)代表 p 個因素的成分值，它們加起來的和等于1；（2）、試驗(yàn)點(diǎn)的成分與模型的次數(shù)（或階數(shù)）d 有關(guān)，我們約定每一成分 xi10, 1, 2 , d 1 ,1 。并且在設(shè)計(jì)中因素成分量的各取值為的倍數(shù)，即 xidddd種配合都使用到

14、。單（純）形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)， 與相應(yīng)的完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸方程的階數(shù)（或次數(shù)） d 的關(guān)系，見表 4。表 4 單（純）形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)（ Cpd d 1 ） dP234361015410203551535706215612683612033010552207154、回歸系數(shù)的計(jì)算精選資料，歡迎下載。在單（純）形格子設(shè)計(jì)中， 每個回歸系數(shù)的值只取決于所對應(yīng)的一些格子上的觀測值，而與其它設(shè)計(jì)點(diǎn)上的觀測值無關(guān)，故使得用最小二乘法計(jì)算回歸系數(shù)變得很簡單 。各回歸系數(shù)均可表達(dá)為相應(yīng)設(shè)計(jì)點(diǎn)上觀測值的簡單線性組合。 例 13 ，2 單形格子設(shè)計(jì) 是三因素二次單形格子設(shè)計(jì)，即p=3 ，d=2， 響應(yīng)方

15、程（又稱Scheff 多項(xiàng)式或規(guī)范多項(xiàng)式或正則多項(xiàng)式）為：33?bi xibij xi x jyi 1i jb1x1b2 x2b3 x3 b12 x1x2b13 x1x3b23 x2 x3成分的取值 xi， 1，1。此時(shí)單形格子設(shè)計(jì)及試驗(yàn)結(jié)果如表5 所示。02表 5單形格子 3, 2設(shè)計(jì)及試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號x1x2x3觀測值1100y12010y23001y34110y4225101y5226011y622為了求出模型中系數(shù)的估計(jì)，可以通過把同一號的試驗(yàn)成分值分別代入上述模型中的 x1、x2 和 x3，并把觀測值yi 代入對應(yīng)的 y?i ，這樣便得到一組方程，解這組方程便可獲得回歸系數(shù)的估計(jì)值。將

16、第 1 號試驗(yàn)（ 1，0，0）代入（ x1，x2，x3），便得到精選資料，歡迎下載。y1b1同理可得b2y2 ，b3y3b124 y42 y12 y2b134y52 y12 y3b234y62 y22 y3例 24 ，2 單形格子設(shè)計(jì) p=4 ，d=2 未知參數(shù)的個數(shù) C pdd 1C422 1C52 541021單形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)個數(shù)也是10。成分的取值 xi =0， 1 ，1。2此時(shí)的單形格子設(shè)計(jì)如表3 所示，并將 10 個試驗(yàn)觀測值放在最后一列。4 ，2 單形格子設(shè)計(jì)的規(guī)范多項(xiàng)式（即響應(yīng)方程）為：444?bi xibij xi x jyi 1ijij與前面一樣，可得估計(jì)參數(shù)如下：b1y

17、1 ，b2y2 ，b3 y3 ，b4y4b124y52y12 y2 ，b134 y62y12 y3b144y72 y12y4 ，b234 y82 y22 y3b244 y92 y22 y4 ，b344y10 2 y3 2y4精選資料，歡迎下載。例 33 ，3 單形格子設(shè)計(jì) p=3 ，d=3， 未知參數(shù)的個數(shù) =C pdd1 C5354310321試驗(yàn)次數(shù)也是 10，成分的取值 xi0，12，1。3，3響應(yīng)方程為?333bi xibij xi x jij xi x j(xix j )b123 x1 x2 x3yi 1i ji j此時(shí)的單形格子設(shè)計(jì)， 如表 2 所示。將 10 個試驗(yàn)觀測值填入表中

18、最后一列。同理可得待估系數(shù)如下：b y ， b2y2 ，b3y3 ，b129 (y4y5y1 y2 )114b139y7 y1y3 ),b239y9y2y3 )( y6( y8441227 ( y5y4 )9 ( y1y2 ) ，1327 ( y7y6 )9 ( y1y3 ) ，44442327 ( y9y8 )9 ( y2y3 ) ，44b12327 y109 ( y1y2y3 )27 ( y4y5y6y7y8 y9 )24單形格子設(shè)計(jì)的很大 優(yōu)點(diǎn)是：響應(yīng)函數(shù)（即規(guī)范多項(xiàng)式） 各項(xiàng)的意義很容易理解。在上面的系數(shù)估計(jì)公式中可以看出， 一次項(xiàng) 的系數(shù) bi 只受單形的第 i 個頂點(diǎn)上觀測值的影響

19、。 一次項(xiàng) bi xi 反映了純組分（只有一個坐標(biāo) xi 為 1，其余均為零）的響應(yīng) 。若響應(yīng)曲面是一個平面，則方程p?（7）ybi xii 1精選資料，歡迎下載。表示成分與觀測值（響應(yīng)值）的線性組合（即xi y 之間的線性組合）。二次項(xiàng)系數(shù) bij 僅受單形中連接第i 個和第 j 個頂點(diǎn)的棱上試驗(yàn)點(diǎn)觀測值的影響。全體二次項(xiàng)bij xi x j 表示響應(yīng)曲面與式 （ 7）所表示的平面之間的離ij差。應(yīng)當(dāng)指出 的是，二次項(xiàng) bij xi x j 不能單純理解為 xi 和 x j 的交互效應(yīng)，這是因?yàn)樗鼈兪芗s束條件式（ 1）的限制，不能獨(dú)立地變動，所以它們只表示一種 非線性混合的關(guān)系 。當(dāng) bij

20、 0 時(shí)，Scheff 稱這種非線性混合關(guān)系為 協(xié)調(diào)的 ；而當(dāng)bij 2 時(shí)，某些混料試驗(yàn)中格子點(diǎn)的非零坐標(biāo)不相等，這種非對稱性 反映到估計(jì)響應(yīng)函數(shù)（即回歸多項(xiàng)式或規(guī)范多項(xiàng)式）的系數(shù)時(shí)，就會出現(xiàn)某些觀測值對回歸方程影響大，而某些觀測值對回歸方程影響小。 此外，單形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)還是比較多（用 C dp d 1計(jì)算）。為了改進(jìn)上述兩個缺點(diǎn)，Scheff （1958）提出單（純）形重心設(shè)計(jì)，對單（純）形格子設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)，使混料試驗(yàn)中格子點(diǎn)的非零坐標(biāo)相等。精選資料，歡迎下載。在一個 p 因子單形重心設(shè)計(jì)中，試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)目是2 p1，包括：p 個頂點(diǎn)（ 1，0， ， 0）， ，（0，0， ， 1），共

21、有 C 1pp 個點(diǎn)；兩個頂點(diǎn)的重心點(diǎn)（ 1 , 1,0, ,0 ）， ，（ 0,0,11, ），共有 C p2 個點(diǎn)；2222三個頂點(diǎn)的重心點(diǎn)（1,1,1,0,0 ）， ，（ 0,0,0, 1 , 1 , 1 ），共有 C p3 個點(diǎn)；333333p 個頂點(diǎn)的重心點(diǎn)（1 , 1, , 1），共有 C pp1個點(diǎn)。ppp顯然，單形重心設(shè)計(jì)的全部點(diǎn)的坐標(biāo)不依賴于d。當(dāng) p=3 時(shí)，單形重心設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)目 =23 1 7 ，包括：以（ 1，0，0）為代表的 C1p C31 3個點(diǎn)；以（1,1,0 ）為代表的 Cp2C32323 個點(diǎn)；222以（ 1, 1, 1）為代表的 C p3C333!1個點(diǎn)

22、。3333!所以，總的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)目為N C31C32C333317.試驗(yàn)點(diǎn)分布和試驗(yàn)方案，見圖3和表 7。x1=1圖 3試驗(yàn)點(diǎn)分布圖x2=1x3=1表 7試驗(yàn)方案試驗(yàn)點(diǎn)x1x2x3y1100y1精選資料，歡迎下載。2010y271/31/31/3y1233001y341/21/20y1251/201/2y13601/21/2y23顯然，當(dāng) p=3 時(shí)，有xi0,(i1,2,3)x1x2x31(10)例53 ，3 單形重心設(shè)計(jì)三元三次回歸方程 （p=3 和 d=3 時(shí)），即3,3 單形重心設(shè)計(jì) 的回歸方程為：3ybi xibij xi x jb123 x1 x2 x3（11）i 1i j上式中回歸

23、系數(shù)的計(jì)算公式為（回歸系數(shù)的推導(dǎo)與單形格子設(shè)計(jì)相同）biyi ,(i 1,2,3)bij4 yij2( yi y j ),(i , j1,2,3,ij )（12）b123 27 y123 3( y1y2y3 )12( y12y13y23 )一般情況下， p 因素單形重心設(shè)計(jì)的總試驗(yàn)次數(shù)為N C1pCp2Cp3Cpp2 p1（13）通常，對 p, d單形重心設(shè)計(jì)，各個回歸系數(shù)的計(jì)算通式為：bDrr(1) rt t r 1 yt ( Dr ),(r1,2, , d )（14）1 t r式中 D r p 個成分中某 r 個的集合；y(D ) r個成分中取出 tt個的全部 Cr 個組合的試驗(yàn)指標(biāo)值的總

24、tr和。（注：如果對上式通式不理解，那么也可象單形格子設(shè)計(jì)一樣，針對具體情況，自己推導(dǎo)具體的計(jì)算公式）精選資料，歡迎下載。例64 ，3 單形重心設(shè)計(jì)當(dāng) p=4 和 d=3 時(shí)，即 4, 3單形重心設(shè)計(jì) 的回歸方程為444ybi xibij xi y jbijk xi x j xk（15）i 1i ji jk上式中各回歸系數(shù)，按式（14）計(jì)算如下：r=1 時(shí)，則 t=1,bi1(1)1111 1yi yi ,(i1,2,3,4)r=2 時(shí)，則 t=2 和 1,bij2(1) 2222 1yij( 1)21121( yiy j )4yij2( yiy j),(i, j1,2,3,4,ij )r=3

25、 時(shí)，則 t=3 、2 和 1，bijk 3(1)3333 1yijk(1)3 2231(yijyiky jk )(1)3 113 1( yiy j yk )27yijk3( yiy jyk)12( yijyiky jk ) ，( i , j, k1,2,3,4,ijk )回歸系數(shù)的總數(shù) 2 p1241 15，也就是要做 15次試驗(yàn)，而 4 ，3 單形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)為20 次（ C pdd1C6320 ）。顯然，單形重心設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)，比單形格子設(shè)計(jì)的要少 。4, 3單形重心設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)表，見表8。精選資料，歡迎下載。表 84 ，3 單形重心試驗(yàn)設(shè)計(jì)表試驗(yàn)號X1X2X3X4測試值 y1100

26、0y120100y230010y340001y451100y122261010y132271001y142280110y232290101y2422100011y3422111110y123333121101y124333131011y134333140111y234333151111y12344444表 8 中的第 15 號試驗(yàn)可以省去不做，因?yàn)? ，3 單形重心設(shè)計(jì)是四元三精選資料，歡迎下載。次模型，即式（ 15）中已設(shè)有 b1234 x1 x2 x3 x4 一項(xiàng)。一般情況下，當(dāng)我們考慮 p ，d 單形重心試驗(yàn)設(shè)計(jì)（ p 元 d 次）時(shí)，若 d p，截尾模型時(shí)可以省去單形重心設(shè)計(jì)中后面的一

27、些設(shè)計(jì)點(diǎn)。通常， p ，d 單形重心設(shè)計(jì)的響應(yīng)曲面方程為：p?bij xi xjbijk xi x j xkb12 p x1 x2 xp（16）ybi xii 1i j2、單（純）形重心設(shè)計(jì)實(shí)例 例 7用單形重心設(shè)計(jì)檢驗(yàn)兩種評分法無差異的假設(shè)是否成立RM評分法是在試驗(yàn)室里對燃料抗震性能使用的一種評分方法，而實(shí)際中采用的是道路行駛性能評分法。今欲設(shè)計(jì)一組試驗(yàn)，系統(tǒng)地改變?nèi)剂系奶匦詠頇z驗(yàn)這兩種評分方法無差異的假設(shè)是否成立。本試驗(yàn)考核的指標(biāo)yi 為兩種評分法之差值。試驗(yàn)燃料的三個成分為：x1 石蠟環(huán)烷； x2 二芳香烴； x3 二烯烴。試驗(yàn)的約束條件為：xi0,(i1,2,3)x1x2x31（17）

28、本試驗(yàn)選用 3 ，3 單形重心設(shè)計(jì)，試驗(yàn)次數(shù)為：N 2 p1 231 7試驗(yàn)方案及結(jié)果如表9 所示。精選資料，歡迎下載。表 93，3 單形重心設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案及結(jié)果試驗(yàn)號x1x2x3y1100y1= 4.62010y2= 4.93001y3= 0.841/21/20y12 = 4.851/201/2y13 = 3.8601/21/2y23 = 3.071/31/31/3y123= 3.7根據(jù)式（ 12）或式（ 14），可求出回歸系數(shù)：b1y14.6,b2y24.9,b3y30.8b124 y122( y1y2 )44.82( 4.64.9)0.2b134 y132( y1y3 )43.82(4.6

29、 0.8) 4.4b234 y232( y2y3 )43.02(4.90.8)0.6b12327y1233( y1y2y3 ) 12( y12y13y23 )273.73(4.64.90.8)12(4.83.83.0)8.4將回歸系數(shù)代入方程式（11），得精選資料，歡迎下載。3ybi xibij xi x jb123 x1 x2 x3i1i j（18）b1 x1b2 x2b3 x 3b12 x1 x2b13 x1x3 b23 x2 x3 b123 x1x2 x3所以y 4.6x1 4.9x2 0.8x 3 0.2 x1x2 4.4x1 x3 0.6x2 x3 8.4x1 x2 x3（19）討論

30、：1） 如果根據(jù)實(shí)際情況認(rèn)為響應(yīng)值相差半個單位 （即 y=0.5 ）是顯著的，那么只含 x1 的石蠟環(huán)烷的燃料和只含 x2 的二芳香烴的燃料有幾乎相等的響應(yīng)值，因測試值中 y1 與 y2 的差小于 0.5 （y1= 4.6x 1 = 4.6 1 = 4.6, y2 = 4.9x2= 4.9 1 = 4.9,yy4.64.90.3 ）。但它們都大大地超過只含x3 的二12烯烴燃料的響應(yīng)值 y3 (y3 = 0.8 x3 = 0.8 1 =0.8 0,所以存在著一種協(xié)調(diào)的非1313線性混合關(guān)系， b13 x1 x3項(xiàng)的極大值 =4.411，所以這一項(xiàng)對響應(yīng)值21.12的影響很大。（3）由于 b123= -8.4 3000的等高線全部落在x1x2x3 坐標(biāo)系內(nèi)部。為滿足試驗(yàn)要求，還應(yīng)求出在下列條件xi0(i1,2,3)3xi1(i 1,2,3)i 1x1x1 (min)粘合劑用量越少越好！y3000彈性模數(shù)大于 3000 ！約束下的 適宜配料比 。精選資料，歡迎下載。x124502550265027502850295030003050 x2x3圖