2022屆遼寧省鞍山市第一中學高三下學期六模考試數學試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 21 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 21 頁2022屆遼寧省鞍山市第一中學高三下學期六?？荚嚁祵W試題一、單選題1已知，則的虛部為（）A2BC1D【答案】C【分析】利用復數的除法運算，計算復數z即可作答.【詳解】依題意，所以的虛部為1.故選：C2設全集，集合，則實數的值為（）A0B-1C2D0或2【答案】A【分析】利用給定條件，結合元素的互異性直接列式計算作答.【詳解】由集合知，即，而，全集，因此，解得，經驗證滿足條件，所以實數的值為0.故選：A3角的終邊過點，

2、則（）ABCD【答案】B【分析】化簡得，再利用三角函數的坐標定義求出即得解.【詳解】解：，由題得，所以.故選：B4冬奧會的兩個吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結合，體現了冰雪運動和現代科技特點冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設計創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福小明在紀念品商店買了6個“冰墩墩”和3個“雪容融”，隨機選了3個寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個數的平均值為（）A1B2C3D1.5【答案】B【分析】設小華收到的“冰墩墩”的個數為，則,求出對應的概率即得解.【詳解】解：設小華收到的“冰墩墩”的個數為，則.則；.所以.故選：B

3、5用模型擬合一組數，若，設，得變換后的線性回歸方程為，則（）A12BCD7【答案】B【分析】由已知，可根據，先計算出，然后把樣本中心點帶入線性回歸方程為中計算出，從而得到線性回歸方程，然后將方程化為指數形式，通過待定系數法分別對應出、的值，即可完成求解.【詳解】由已知，所以，所以，由題意，滿足線性回歸方程為，所以，所以，此時線性回歸方程為，即，可將此式子化為指數形式，即為，因為模型為模型，所以，所以.故選：B.6若，則，這三個數的大小關系為（）ABCD【答案】C【分析】取，可得出，這三個數的大小，即可得出答案.【詳解】因為， 所以取，則，所以.故選：C.7數列中，的值為（）A761B697C5

4、18D454【答案】D【分析】由，結合等比數列的定義和通項公式可求出，結合二項式定理可求出的值.【詳解】解：因為，又，所以以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，則又，所以，故選：D8已知且，若任意，不等式均恒成立，則的取值范圍為（）ABCD【答案】A【分析】令，將問題轉化為恒成立，利用導數研究單調性，討論并結合指數函數性質判斷最值符號，進而轉化為時恒成立，再次構造中間函數研究恒成立求參數范圍.【詳解】由題設，令，則恒成立，令，則，當時，遞減；當時，遞增；所以，故遞增，當，即時，不合題意；當，即時，要使恒成立，則恒成立，令且，則，當時，遞減；當時，遞增；所以，故在上遞增，而，此時時，即恒成立.

5、綜上，的取值范圍為.故選：A【點睛】關鍵點點睛：首先將問題轉化為恒成立，利用導數并討論結合指數函數性質判斷最值符號，進一步轉化為在上恒成立.二、多選題9下列命題為真命題的是（）A函數在定義域內是單調增函數B函數的表達式可以改寫為C是最小正周期為的偶函數D若一扇形弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為【答案】BD【分析】利用正切函數的單調性可判斷A選項；利用誘導公式可判斷B選項；利用特殊值法可判斷C選項；利用扇形的面積公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數在定義域內不單調，A錯；對于B選項，B對；對于C選項，設，因為，則，所以，函數不是最小正周期為的函數，C錯；對于D選項，設扇形的半徑為，則，可

6、得，因此，該扇形的面積為，D對.故選：BD.10甲和乙兩個箱子中各有質地均勻的9個球，其中甲箱中有4個紅球，2個白球，3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球，2個黑球，先從甲箱中隨機取出一球放入到乙箱中，分別以，表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再從乙箱中隨機取出一球，以B表示取出的球是紅球的事件，則（）AB與相互獨立B，兩兩互斥CD【答案】BC【分析】根據獨立事件的定義判斷A，根據互斥事件的定義判斷B，由條件概率公式計算出概率判斷C，由互斥事件與獨立事件概率公式計算概率判斷D【詳解】事件的發(fā)生與事件的發(fā)生有影響，因此事件的發(fā)生與事件不獨立，A錯；中任何兩個事件都不可能同時發(fā)生，因此

7、它們兩兩互斥，B正確；，C正確；，D錯故選：BC11如圖，已知二面角的棱上有不同兩點和，若，則（）A直線和直線為異面直線B若，則四面體體積的最大值為2C若，則二面角的大小為D若二面角的大小為，則過、四點的球的表面積為【答案】ACD【分析】由異面直線的定義可判斷A；面且，此時四面體體積的最大值，求出即可判斷B；在平面內過A作BD的平行線AE，且使得，連接，四邊形是一個矩形，是二面角的一個平面角，由余弦定理求出即可判斷C；取的中點，的中點，取的中點，連接，易知是二面角的一個平面角，則，過作平面的垂線和平面的垂線，交于點，即為外接球球心，求出，即可求出，可判斷D.【詳解】對于A，由異面直線的定義知A

8、正確；對于B，要求四面體體積的最大值，則面且，此時四面體體積的最大值：,故B不正確；對于C，在平面內過A作BD的平行線AE，且使得，連接，四邊形是一個矩形，是二面角的一個平面角，且面AEC，所以面AEC，從而.在中，由余弦定理可知：所以.故C正確；對于D，因為二面角的大小為，如下圖，所以平面與平面所成角的大小為，取的中點，的中點，為的外心，取的中點，連接，則所以是二面角的一個平面角，則，過作平面的垂線和過作平面的垂線，交于點，即為外接球球心，所以面， 面， 連接 ， ，所以易證得：與全等，所以，所以在直角三角形，則過、四點的球的表面積為.故D正確.故選：ACD12已知點在所在的平面內，則下列命

9、題正確的是（）A若為的垂心，則B若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C若為銳角三角形且外心為，且，則D若，則動點的軌跡經過的外心【答案】ACD【分析】A利用三角形相似及數量積的幾何意義判斷：B構建直角坐標系，由向量數量積的坐標表示列式求最值；C由已知得，進而可知與中點共線，結合外心的性質有垂直平分即可判斷；D將等式兩側同時點乘并化簡得，即可判斷.【詳解】A：如下圖，則為垂心，易知：，所以，則，根據向量數量積的幾何意義知：，同理，所以，正確；B：構建以中點為原點的直角坐標系，則，若，所以，由，則，當時的最小值為，錯誤； C：由題設，則，所以，若為中點，則，故，故共線，又，即垂直平分，所以，正

10、確；D：由題設，則，所以，若為中點，則，故，所以的軌跡經過的外心，正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：A根據垂心性質，三角形相似關系、數量積的幾何意義得到；B構建直角坐標系，應用數量積的坐標表示列式判斷；C、D根據外心的性質，應用數形結合化簡題設向量的線性關系式判斷.三、填空題13與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線方程為_【答案】【分析】求出橢圓的焦點，則可得雙曲線的焦點，然后設雙曲線方程為，由離心率求出，再由求出，從而可求出雙曲線的方程【詳解】由可得焦點坐標為，由題意設雙曲線方程為，則，得，所以，所以雙曲線方程為，故答案為：14設矩形的周長為，把它沿對角線對折后，設交于點，此時點記作，如圖

11、所示，設，則的面積的最大值為_【答案】4.5【分析】由題設可得，結合基本不等式得到關于的一元二次不等式并求解集，結合的面積即可得最大值，注意成立條件.【詳解】由題意，而，所以，而矩形的周長為，則，整理得，僅當等號成立，所以，而，可得，則，而的面積，故最大值為，此時.故答案為：15點在橢圓上，不在坐標軸上，直線與交于點，直線與軸交于點，設，則的值為_【答案】1【分析】設直線的直線方程為，聯立橢圓方程求出的坐標，即得解.【詳解】解：設直線的直線方程為，聯立橢圓方程化簡得，所以或，當時，所以.當時，所以，所以，所以直線的方程為當時，所以. 所以，因為，所以，所以.故答案為：1四、雙空題16在考查某中

12、學的學生身高時，已知全校共600名學生，其中有400名男生，200名女生，現從全校的學生身高中用分層抽樣的方法抽取30名學生的身高作為樣本，樣本中男生身高的平均數為170，方差為16，女生身高的平均數為164，方差為25，則利用樣本估計總體的平均值為_，估計總體的方差為_【答案】 168 27【分析】先得到抽取30名學生中，男生數和女生數，再利用公式求解.【詳解】解：易知抽取30名學生中，男生有20名，女生有10名，則樣本估計總體的平均值為，估計總體的方差為，故答案為；168，27五、解答題17在，且；.兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答.在中，內角的對邊分別為，已知(1)求；(2)

13、已知函數，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選擇根據向量共線的坐標表示得到，再由正弦定理將邊化角，結合誘導公式及二倍角公式計算可得；若選擇根據同角三角函數的基本關系及正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）由（1）可得，由的取值范圍求出的取值范圍，再結合余弦函數的性質計算可得；【詳解】(1)解：若選擇：因為，且，所以，由正弦定理得，因為，所以，所以，又因為，所以，即.因為，所以，所以，所以，所以.若選擇：，可得.整理可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因為，所以.(2)解：由（1）知：，可得函數，因為，所以，可得，所以，所以的最小值為.18教育部門最近出臺了“雙減”政策，

14、即有效減輕義務教育階段學生過重作業(yè)負擔和校外培訓負擔，持續(xù)規(guī)范校外培訓（包括線上培訓和線下培訓）“雙減”政策的出臺對校外的培訓機構經濟效益產生了嚴重影響某大型校外培訓機構為了規(guī)避風險，尋求發(fā)展制定科學方案，工作人員對2021年前200名報名學員的消費金額進行了統(tǒng)計整理，其中數據如表消費金額（千元）人數305060203010以頻率估計概率，假設該大型校外培訓機構2021年所有學員的消費金額可視為服從正態(tài)分布，分別為報名前200名學員消費的平均數以及方差（同一區(qū)間的花費用區(qū)間的中點值替代）(1)求和的值；(2)試估計該機構學員2021年消費金額為的概率（保留一位小數）；(3)若從該機構2021年

15、所有學員中隨機抽取4人，記消費金額為的人數為，求的期望和方差參考數據：；若隨機變量，則，【答案】(1)8；8(2)0.8(3)【分析】（1）根據表中數據，利用平均數和方差公式求解；（2）根據（1）的結論，利用原則求解；（3）根據得，利用二項分布公式求解.【詳解】(1)解：由題意得，；(2)由（1）得，所以(3)由題意及（2）得，所以，19已知等比數列的公比，且，等差數列的前項和為，且有，.（1）求數列，的通項公式；（2）設，是數列的前項和，對任意正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用已知條件列關系求出基本量，進而得到通項公式即可；（2）利用錯位相減法

16、求和，再討論n的奇偶性分離參數，利用最值解決恒成立問題.【詳解】解：（1）等比數列中， 故，又，所以，故；等差數列中，即，又，故，所以，故；（2）因為，故，則，兩式作差得：故，所以恒成立，當n是偶數時，不等式即，易見是遞增數列，故時取得最小值，所以，當n是奇數時，不等式即，易見是遞減數列，故時取得最大值，所以，綜上可知，實數的取值范圍是.【點睛】方法點睛：數列求和的方法（1）倒序相加法：如果一個數列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項

17、和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列:或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數列的前項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.20圖是直角梯形，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大??；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據長度關系可證得為等邊三角形，取中點，

18、由等腰三角形三線合一和勾股定理可證得、，由線面垂直和面面垂直的判定可證得結論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設存在且，由共線向量可表示出點坐標，利用點到面的距離的向量求法可求得，進而由二面角的向量求法求得結果.【詳解】(1)在圖中取中點，連接，四邊形為矩形，又，為等邊三角形；又，為等邊三角形；在圖中，取中點，連接，為等邊三角形，又，又，平面，平面，平面，平面平面.(2)以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，設棱上存在點且滿足題意，即，解得：，即，則，設平面的法向量，則，令，則， 到平面的距離為，解得：，又平面的一個法向量，又二面角為銳二面角，二面角的大小為.21已知點為拋物線：上一點，為拋物線的焦點，的最小值為1，(1)求拋物線的方程；(2)若過點且不垂直于軸的兩條直線，分別與拋物線交于點，和點，點，均在軸上方，過且垂直于軸的直線分別交直線，于點和點證明：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據將AF轉化為A點到準線的距離容易求出p；（2）作圖，分別設直線和 的方程，點C，D，M，N，G，H的坐標，聯立方程，求出G點和H的橫坐標之間的關系即可.【詳解】(1)解：，當時，取得最小值為，拋物線的方程為；(2)設直線：，直線：，設，直線：，當時，同理可得