光電子：第二章例題和習(xí)題

1、第二章例題和習(xí)題例題2.1 波導(dǎo)模式有一平面介質(zhì)波導(dǎo)，波導(dǎo)芯的厚度為20m，光波長為900nm。已知它符合方程(2.3)的波導(dǎo)條件。對于TE模全內(nèi)反射時的表達式為用圖示解法求所有模式的入射角。你的結(jié)論是什么？解 用，可以將方程(2.3)的波導(dǎo)條件寫成即(2.50)當?shù)扰紨?shù)時，左邊仍然是它本身；但當?shù)绕嬲麛?shù)時，它就變成了一個余切函數(shù)。所以這個問題的解就分成為奇數(shù)和偶數(shù)兩種。圖2.11作出了方程右邊對也就是左邊的關(guān)系圖。因為臨界角，所以只求出了范圍內(nèi)的解。例如，m=0和m=1的截距分別為和。利用關(guān)系式(2.13)還可以計算出場滲入包層的深度。利用方程(2.12)和(2.13)模式入射角及對應(yīng)的場滲

2、入到包層的深度。在最大模數(shù)時，場滲入到包層中的深度相當顯著。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9() 89.2 88.3 87.5 86.7 85.9 85.0 84.2 83.4 82.6 81.9(m) 0.691 0.702 0.722 0.751 0.793 0.866 0.970 1.15 1.57 3.83圖2.11 平面介質(zhì)波導(dǎo)中模式的圖解求法很顯然，每選擇一個，對方程(2.12)左邊的正切函數(shù)就有一個截距，直到。這有十個模。方程(2.12)的精確解表明，對于TE模來說，基模的入射角實際上是89.172。如果使用第一章介紹的TM模的相變化，就可求得TM模的基模入射角為89.1

3、70，幾乎和TE模的相一致。例題2.2 V數(shù)和模式數(shù)有一自由空間源波長為的平面介質(zhì)波導(dǎo)，寬度為100m，折射率分別為和。試估計它所支持的模式數(shù)，并將你的結(jié)果同由下式計算的結(jié)果進行比較。(2.51)式中是一個整數(shù)函數(shù)，也就是把x的小數(shù)部分舍去掉。解 全內(nèi)反射的相變化不可能大于，所以小于1。對于一個多模波導(dǎo)來說，可以將方程(2.9)寫成已知，和，可以計算出那么，或。也就是共有49個模式，因為還必須包括的模式。用方程(2.14)計算得例2.3 光波導(dǎo)的折射率分布按所謂無界拋物線函數(shù)分布，即 (1)由于這里假設(shè)折射率在范圍內(nèi)按拋物線函數(shù)分布，所以這時式中的a已不具有芯層厚度的意義，它只是一個參量，是一

4、個無量綱的參量，而且總小于。這個分布使得時n=0，而時，顯然這不符合實際情況。但叢它可以得到簡單的解，有助于我們理解光線傳播的概念，而且對其中那些不大的所謂傍軸光線，所得結(jié)果是相當精確的。在光波導(dǎo)中，我們主要關(guān)心的也就是傍軸光線，所以這樣的假設(shè)有討論的價值。由于沒有芯層和敷層的界面，所以所有的光線都是束縛的。其折返點位置由方程解出為 (2)由(2)式可知，當波導(dǎo)參量a，確定以后，折返點位置完全取決于起始傾斜角z(0)。z(0)越大，xtp就越大，光線就愈加遠離波導(dǎo)中心軸。把(1)式代入式，可得將(2)式代入，得到作變換，則有也就是 (3)從上式可以看到，光線的路徑是正弦曲線，其半周期長度可以直

5、接從(3)式中令正弦函數(shù)的宗量得到，即 (4)于是可以將路徑方程寫成 (5) 圖2.14 半周期長度zp與z(0)的關(guān)系由(4)式可以看到，光線路徑的半周期長度在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)確定以后完全由起始傾斜角z(0)決定，z(0)越大，半周期長度越小，如圖2.22所示。半周期的光程可積分得出，將(1)式代入，得到作變換，則有 (6)式中即為(4)式所確定的半周期長度。光線在z軸方向傳播單位距離的時延為 (7)顯然，這種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)，光線的起始傾斜角不同，即不同，其傳播時延也不同，即存在著傳播時延差。如果仍將作為波導(dǎo)芯層的邊界，則是約束光線的臨界路徑。由(2)式可以求得此臨界路徑的起始傾斜角滿足而沿波導(dǎo)軸線傳

6、播的光線，。分別將這些數(shù)據(jù)進行處理，即可得到這兩條路徑的傳播時延差為 (8)在得到上式時，用了1的假設(shè)?？梢钥吹叫緦诱凵渎拾磼佄锞€函數(shù)變化時，其時延差是芯層折射率均勻的波導(dǎo)時延差的倍。由于1，所以折射率按拋線函數(shù)分布的波導(dǎo)的多徑色散效應(yīng)明顯地小于均勻波導(dǎo)。例2 雙曲正割折射率分布，即波導(dǎo)折射率分布函數(shù)為 (9)這種分布在時。與前面的例1類似，波導(dǎo)內(nèi)所有的光線都是束縛光線。可以解得光線的折返點坐標為 (10)為了運算方便，令，得到 (11)由其中，作變換，可得上式又可寫成也就是 (12) (13)可以看到，在這種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)中，光線的路徑是一組周期性曲線。在z軸方向的半周期長度，由(13)是很容

7、易得到為 (14)圖2.15 雙曲正割型折射率分布波導(dǎo)中的光線的自聚焦現(xiàn)象從(14)式可以看到，雙曲正割型折射率分布的光波導(dǎo)中光線的半周期長度zp與光線的起始傾斜角z(0)無關(guān)，它由波導(dǎo)參數(shù)a、完全確定。這是一個重要的結(jié)論，它表明從光波導(dǎo)軸線上同一點出發(fā)，但傾斜角z(0)不同的各條光線盡管沿不同的路徑傳播，但經(jīng)半個周期后又會在同一點相聚。這就是光波導(dǎo)中的所謂的自聚焦現(xiàn)象，如圖2.15所示。作類似于前面的變量代換，可以得到半周期光程為 (15)則光線的傳播時延為 (16)從(2.83)式可以看到傳播時延與光線的起始傾角z(0)無關(guān)，也就是說，同一時刻從始端出發(fā)沿不同路徑傳播的光線，必將同時到達終

8、端。因而這種結(jié)構(gòu)的光波導(dǎo)中不存在多徑色散問題。例3 芯層折射率按冪指函數(shù)分布的光波導(dǎo)，其折射率分布可以表示圖2.16 各種值時的折射率分布曲線 (17)式中是一個正的常數(shù)，可以稱為折射率指標數(shù)。由于不一定是偶數(shù)，所以式中用了，以保證折射率是以x = 0的面為對稱分布。各種不同的值下的折射率分布曲線如圖2.16所示。= 2即為例中的拋物線分布；時即為均勻分布或階躍分布；例中的雙曲正割型分布與時的拋物線型分布比較接近。所以(17)式的折射率分布具有普遍意義?？梢越獾谜鄯迭c坐標為 (18)對于束縛光線，因而應(yīng)有 即 (19)在1時，(19)式可以近似寫成 (20)上式說明在1時，只有起始傾斜角z(0

9、)很小的光線，也就是所謂傍軸光線才能成為束縛光線。除了= 2的特例以外，光線的路徑積分得不到顯示。z軸方向的半周期長度及光程，可以用函數(shù)表示 (21) (22) 圖2.17 歸一化時延差c/n1 與的關(guān)系(=0.01)光線在z軸方向的傳播時延則為 (23)比較前述各式，可以看到，前面兩式分別是后面兩式在= 2時的特例。(21) (23)三式的推導(dǎo)過程較為繁冗，這里略去了。容易證明，當?shù)娜≈当?略小時，沿不同路徑傳播的光線的傳播時延差最小。我們將這個的取值稱之為最優(yōu)值，記為opt。這里我們直接給出opt的值 (24)在=opt時，光線沿z軸方向傳播單位距離，不同路徑的傳播時延差則為n1 2 /8

10、c (25)比較，可以看到當值從opt變到= 2時，時延差幾乎提高了一個數(shù)量級，也就是說時延差是值的敏感函數(shù)。歸一化的時延差c/n1與的關(guān)系如圖2.17所示。例題 多模光纖有一多模階躍折射率光纖，光纖芯的折射率，直徑為100m，光纖包層的折射率為，如果光源波長為，求該光纖中允許的模式數(shù)。解 將a=50m，和代入V數(shù)的表達式，求得該光纖的V數(shù)為因為，所以光纖的模式數(shù)為這是一個非常大的數(shù)，在該光纖中有很多模式傳播。例題 單模光纖有一單模階躍折射率光纖，光纖芯的折射率，光纖包層的折射率為，如果光源波長為，求該光纖中光纖芯的半徑。解 當時，可以實現(xiàn)單模傳輸。這樣或求得。這根光纖非常小，為了很容易和光源

11、或另外一根光纖發(fā)生耦合，必須使用特殊的耦合技術(shù)。同時必須注意到，因為光纖芯的半徑和波長處于同一個數(shù)量級，因此，嚴格地說，很難用幾何光纖圖來描述光傳播。例題 單模截止波長有一階躍折射率光纖，光纖芯的折射率，光纖包層的折射率為，光纖芯的直徑為7m，求該光纖單模傳輸時的截止波長。如果是在波長為使用，它的V數(shù)和模式場直徑又是多少？解 因為是單模傳輸，所以將a=3.5m，代入并重排得到波長短于上述數(shù)字就會導(dǎo)致多模傳輸。在時，模式場直徑為例題 群速和群延遲有一單模階躍折射率光纖，光纖芯的折射率，光纖包層的折射率為，光纖芯的半徑為a=3m，在波長為=1.5m時使用。已知可以用下式近似地求得基模正則化傳播常數(shù)

12、(2.100)求傳播常數(shù)。假如將操作波長改變一個很小的量，比如說0.01%，重新計算傳播常數(shù)。然后計算在=1.5m時的群速vg以及1km光線的群延遲g。解 弱導(dǎo)波光纖的方程(2.22)可以重新寫成(2.101)根據(jù)給定的光纖特性，可以計算V數(shù)，然后用方程(2.23)計算b。根據(jù)b，用方程(2.24)中的，可以計算。此外，。這樣，。代入方程(2.23)得。由方程(2.24)得，。計算結(jié)果列于表2.1中。表2.1計算結(jié)果 V (m-1) (rad s-1) (m-1) 1.91008 4188790 1.2566241015 0.3860859 6.044796106 1.909897 41883

13、71 1.2565111015 0.3860211 6.044189106群速為1km光纖群延遲g為4.83s。例題 多模光纖和總接受角有一階躍折射率光纖，光線芯的直徑為100m，折射率為，包層的折射率為。計算該光纖的數(shù)值孔徑，從空氣發(fā)射來的光線的接受角，以及當光源波長為時的模式數(shù)。解 數(shù)值孔徑為由得，所以總接受角是28。根據(jù)數(shù)值孔徑，V數(shù)可以寫成模式數(shù)。例題 單模光纖有一典型的單模階躍折射率光纖，光纖芯的直徑為8m，折射率為。正則化指數(shù)差為0.3%，包層的直徑為125m。計算該光纖的數(shù)值孔徑和接受角。該光纖的單模截止波長是多少？解 數(shù)值孔徑為代入和，得到由，得接受角為單模傳播的條件是，對應(yīng)的

14、最小波長為說明波長短于1.18m就會發(fā)生多模傳輸。例題 材料色散按照慣例，發(fā)射光源光譜波長寬度和色散指的是半功率寬度而不是從一個極端到另一個極端的寬度。假如叫做線寬的1/2是半寬高強度對光譜波長的寬度，而1/2是半強度點之間輸出光強度對時間信號的寬度。估計由發(fā)光二極管(LED) 發(fā)出的線寬為100nm的波長為1.55m的光在石英光纖中每千米的材料色散效應(yīng)。如果是激光二極管發(fā)出的線寬為2nm的相同波長的光在石英光纖中每千米的材料色散效應(yīng)又會怎樣？解 由圖2.26，在波長為1.55m時，材料色散系數(shù)Dm=+22ps km-1 nm-1。對于LED，1/2=100nm。所以1km22 ps km-1

15、 nm-1100nm=2200ps 或2.2ns對于激光二極管，1/2=2nm，故而 1km22 ps km-1 nm-12nm=44ps 或0.044ns兩種光源的色散效應(yīng)之間有明顯的差別。但是從圖2.26可以看出，總的色散將很小。事實上，假如光線的色散適當移動，使得在波長為1.55m時，Dm+Dw=0，那么從激光二極管激發(fā)的光源的色散只有幾個皮秒(但決不為零)。例題 材料色散、波導(dǎo)色散和總色散圖2.29 光纖芯材為SiO2-13.5%GeO2的光纖的材料色散系數(shù)和波導(dǎo)色散系數(shù)單模光纖，其芯材為SiO2-13.5%GeO2。材料色散系數(shù)和波導(dǎo)色散系數(shù)見圖2.29。有一光纖使用線寬為2nm的波

16、長為1.5m激光光源激發(fā)。如果，光纖芯的直徑2a=8m，每千米光纖的色散是多少？在=1.5m時，要求總色散為零，光纖的芯徑應(yīng)為多少？解 在圖2.29中，=1.5m時，Dm=+10ps km-1 nm-1；當2a=8m，Dw=6ps km-1 nm-1，因此總色散系數(shù)為 ps km-1 nm-1所以每千米光纖的總色散為4 ps km-1 nm-12nm=8 ps km-1 =1.5m時，當Dm+Dw=0即Dw=10ps km-1 nm-1時，總色散為零。從圖2.23中在2.5a4范圍內(nèi)Dw與波長之間的關(guān)系曲線可以看出，2a6m。應(yīng)當強調(diào)的是，盡管=1.5m時，Dm+Dw=0，這只是一個波長，而輸

17、入的光是在一個波長范圍內(nèi)，所以實際上總色散絕不會是零。在本題的情況下，=1.5m和2a6m時，總色散會最小。例題 比特速率和色散一根光纖在工作波長為1.5m時，總色散系數(shù)為8ps km-1 nm-1。假如用激光二極管作激發(fā)源，光源的FWHP線寬為2nm。計算比特率和距離的積BL、10km光纖的電學(xué)帶寬和光學(xué)帶寬。解 對于FWHP色散，ps km-1假定是高斯光脈沖形狀，RZ比特率和距離的積BL為Gbs-1km10km光纖的電學(xué)帶寬和光學(xué)帶寬分別為GHz和GHz例題 梯度折射率光纖中的色散和比特速率有一梯度折射率光纖，纖芯直徑為50m，折射率為，包層的折射率為。如果光源發(fā)射器為繼光二極管，線寬很

18、窄，光纖的工作波長為=1300nm，問該光纖的比特速率與距離的積是多少？如果換成多摸階躍折射率光纖，輸出光脈沖接近矩形，這里是全寬。比特速率與距離的積又是多少？解 正則化折射率差為1km光纖的色散為所以計算中忽略了所有材料色散，而且還假定折射率完全符合優(yōu)化截面，意味著實際上的比特速率距離積會差一些(例如，值只要偏離優(yōu)化值15%就會導(dǎo)致這個積變差十倍。假如是一根纖芯和包層折射率相同的多模階躍折射率光纖，那么全色散可以粗略地表示為要計算比特速率距離積，需要比梯度折射率光纖將近小1000倍。注意：因為隨著光纖長度增長，色散也線性增加，所以多模光纖的比特速率距離積好像仍然是常數(shù)，意味著。盡管這在短距離

19、范圍(幾千米)內(nèi)比較符合，但是在較長的距離內(nèi)，比特速率距離積肯定不是常數(shù)，一般，其中是一個介于0.5和1之間的指數(shù)。原因是，由于光纖很多不完善因素，就存在模式混合而降低了脈沖增寬的程度。例題 雷利散射限在波長為=1550nm左右的窗口，純石英有如下特性：Tf=1730C (軟化溫度)；T=710-11m2N-1 (高溫時)；在=1550nm時，n=1.4446。求由于雷利散射引起的衰減。解 可以簡單地用式(2.125)計算雷利散射衰減以dB每千米為單位的衰減為這個數(shù)字就是在=1550nm時石英玻璃芯光纖的可能最低衰減。例題 沿光纖的衰減由激光二極管發(fā)射到一單模光纖中的光功率近似為1mW。在輸出

20、端的光監(jiān)測器要求最小功率為10nW才能提供清晰的信號(在噪音以上)。該光纖在1.3m使用，其衰減系數(shù)為0.4dB km-1。求不加中繼器(重新產(chǎn)生信號)的最大光纖長度是多少？解 根據(jù)式(2.46)，于是=12500m=125km實際上還有一些額外的光纖損耗如光纖彎曲損耗，會使得這個長度有所降低。對于長距離通訊來說，在每隔50到100km后，信號必須用光放大器放大，最后用中繼器。例題 光纖拉制在某光纖生產(chǎn)過程中，用一根長110cm，直徑為20mm的光纖預(yù)制件來拉制光纖。如果光纖拉制速率為5m s-1，預(yù)制件的最后10cm不拉，光纖的直徑為125m，問從這根預(yù)制件可以拉制的光線最大長度是多少？拉制

21、光纖需花多少時間？解 因為光纖和光纖預(yù)制件的密度相同，質(zhì)量不變，所以拉制前后的體積也不變。設(shè)df和dp分別是光纖和預(yù)制件的直徑，Lf和Lp分別是光纖和被拉的預(yù)制件的長度，那么即=25600m因為拉制速度為5m s-1，所以所花時間(以小時計)為=1.4hr一般拉制速率為5-20m s-1，所以上述時間是實際生產(chǎn)中最長的時間。習(xí)題2.1介質(zhì)條形波導(dǎo)(a)假如光線1和光線2如圖2.3中所示，請推導(dǎo)出波導(dǎo)條件。(b)假如光線1和光線2如圖2.4中所示，證明當它們在c點相遇離波導(dǎo)中心距離為y時兩光線的相位差為：m=k12(a-y)cosm-m(c)利用波導(dǎo)條件，證明：m=m(y)=m-(m+m)2.2

22、 條形波導(dǎo)中的TE波場分布假設(shè)兩個平行的光線1和2如圖2.4所示發(fā)生相互干涉，給出相位為m=m(y)=m-(m+m)兩光線交于c點，c點距波導(dǎo)中心為y，芯厚度為20m，n1=1.455，n2=1.440，光波長為1.3m，作圖標出介質(zhì)波導(dǎo)在前三種模式下的電場分布E(y)。2.3. 介質(zhì)條形波導(dǎo)中的TE,TM模一平面介質(zhì)條形波導(dǎo)，芯厚20m，n1=1.455，n2=1.440，光波長為1.3m，已知波導(dǎo)條件如2.1節(jié)中的方程(3)，且TE模和TM模全內(nèi)反射的相位變化和的表達式分別為tan(m)=和tan(m)=用圖解法分別求出TE和TM基模的角度，并比較它們沿波導(dǎo)方向的傳播常數(shù)。2.4. 群速我

23、們可以用一種便利的數(shù)學(xué)軟件包Mathview或Mathematica來計算某個給出的由頻率決定的模的群速。已知模的傳播系數(shù)=k1sin,當k1= n1/c波導(dǎo)條件中的方程tan(a)=所以 (1)頻率由下式給出 (2)和是的函數(shù)，所以群速為即 (3)圖2.45 平面介質(zhì)波導(dǎo)中不同模式的群速度與角頻率的關(guān)系對于某一給定的m值，方程(2)和(3)可以用圖解法求解。對每個值，可以畫出Vg和的關(guān)系圖來計算出和Vg。圖2.45給出了一個例子。請用一個便利的數(shù)學(xué)軟件包或其他手段得到同樣的Vg和的行為關(guān)系，討論模式間色散，并說明方程(2)在2.2節(jié)中是否適用.2.5 條形介質(zhì)波導(dǎo)一個條形波導(dǎo)，在兩AlGaA

24、s薄層中間有一個厚度為0.2m的GaAs薄層，GaAs的折射率為3.66，AlGaAs的折射率為3.40，假設(shè)折射率不隨波長改變。求在波導(dǎo)中傳播的單模截止波長是多少？波長為870nm的光線在GaAs層中傳播，滲透到AlGaAs層中的消逝波是多少?并求出在這種情況下光線的模式場距離是多少？2.6 條形介質(zhì)波導(dǎo)一個波導(dǎo)芯厚為2a=10m的條形介質(zhì)波導(dǎo)，n1 =3，n2 =1.5，解出例2.1.1中的方程(11)對TE0和TE1得到0和1來選擇波長,對每個波長計算和m,并畫出m和的坐標圖,對同一個圖給出斜率c/n1和c/n2,將作出的圖和圖2.10比較。m1520253040455070100150

25、200077.874.5271.568.763.961.759.7453.246.439.936.45165.258.1551.645.535.532.0230.17-2.7 條形介質(zhì)波導(dǎo)一個芯厚為10m的平面條形介質(zhì)波導(dǎo)，n1=1.4446，n2=1.440，對波長為1.0m和5m的光線分別計算V的值，模式角m (m=0)，穿透深度和模式場距離(MSD=2+2)，把你的計算結(jié)果同2計算出的MSD進行比較。2.8 多模光纖一個芯直徑為100m的多模光纖，在波長為850nm的芯介質(zhì)的折射率為1.475，包層折射率為1.455,光纖的工作波長為850nm。計算光纖的V數(shù)并估計模式數(shù)、光纖在單模情況

26、下的波長、其數(shù)值孔徑、最大接受角和模式色散和比特率與光纖長度之積，已知=0.29。2.9 單模光纖 某光纖由SiO2-13.5%GeO2組成，芯徑為8m，折射率為1.468，包層折射率為1.464，工作波長為1300nm，由半寬高為2nm的激光源控制。計算這種光纖的V數(shù)，判斷是否為單模光纖？當光纖為多模時其波長為多少？其數(shù)值孔徑呢？最大接受角多大？計算材料色散和波導(dǎo)色散，并估算光纖的比特率光纖長度(BL)的值。2.10單模光纖的設(shè)計根據(jù)第一章的問題1.3，Sellmeier方程給出了純SiO2和SiO2-13.5mol. %GeO2的的關(guān)系。當GeO2攙雜由0變化到13.5mol%時，折射率線

27、性增加，單模階躍折射率光纖要求有如下性質(zhì)：NA=0.1，芯徑為9m，芯材為SiO2-13.5%GeO2。設(shè)計包層的組成。2.11材料色散 Ng1為階躍折射率光纖芯材的群折射率，那么它的基模色散時間(群延遲)為：Ng由波長決定，材料的色散系數(shù)Dm大約為，利用第一章的問題1.3的Sellmeier方程評價=1.55m的光線在純SiO2和SiO2-13.5%GeO2玻璃中的色散情況。2.12波導(dǎo)色散波導(dǎo)色散是因傳播系數(shù)由取決于波長的V數(shù)決定而引起的。即使折射率不變，沒有材料色散，也會有波導(dǎo)色散。假設(shè)n1，n2與波長(或波矢量k)無關(guān)，模lm的傳播系數(shù)為，k=2/，其中為自由空間波長。正則化傳播系數(shù)b

28、和k滿足關(guān)系(參見2.3.4)：=n2k1+b (1) 群速定義為：求證：模式的傳播時間(或群延遲)為： (2)已知V的定義為 (3) (4)求證： (5)波導(dǎo)色散系數(shù)為 (6)圖2.46給出了與V的關(guān)系，當1.5V2.4時，所以 (7)簡化為 (8)用方程(2)的Ng2代替方程(8)中的n2于是有： (9)考慮一個芯徑為8m的光纖，芯折射率為1.468，包層折射率為1.464，工作波長為1300nm。假如用一個發(fā)射波長為1.3m，光譜線寬為2nm激光器作為輸入光脈沖，用方程(6)和(9)估算光纖每公里的波導(dǎo)色散.2.13折射率分布色散圖2.46 階躍折射率光纖中與V的關(guān)系在單模階躍折射率光纖

29、中，總色散主要由要材料色散和波導(dǎo)色散產(chǎn)生。然而，還有一種附加的色散機制叫做折射率分布色散(Profile Dispersion)，來源于基模的傳播系數(shù)，也依賴光纖芯及包層之間的折射率之差。考慮一個波長在范圍內(nèi)變化的光源，耦合到階躍折射率光纖中，可以認為波長在入射波長的范圍變化，假定折射率為n1，n2，那么由波長決定，單位長度傳播時間或群延遲時間g為 (1)因為與n1、和V相關(guān)，將g看作是一個關(guān)于n1， (也就是n2)和V的函數(shù)，波長變化后，將改變它們的大小，利用偏微分規(guī)則有 (2)數(shù)學(xué)變得很復(fù)雜，但式(2)等效于總色散=材料色散(引起)+波導(dǎo)色散(引起)+縱向色散(引起)。其中最后一項由于取決

30、于，雖然很小，但不為0。盡管上述式(2)是過度簡化，但仍然提供一種探索問題的方法，總的模內(nèi)(總)色散系數(shù)Dch由Dch=Dm+Dw+Dp (3)給定，其中Dm，Dw，Dp分別為材料色散系數(shù)、波導(dǎo)色散系數(shù)和折射率分布色散系數(shù)，波導(dǎo)色散系數(shù)由2.12題中的式(8)給定，折射率分布色散系數(shù)近似為： (4)其中b是正則化傳播系數(shù)，與V的關(guān)系如圖2.46所示，?？紤]一個光纖芯直徑為8m的光纖， 光纖芯和包層在波長為1.55m的折射率和群指數(shù)分別為n1=1.4504，n2=1.4450，Ng1=1.4676， Ng1=1.4625，d/d=161 m-1。估算該波長時入射光單位nm線寬光纖每千米的波導(dǎo)色散

31、和折射率分布色散。2.14梯度折射率光纖一梯度折射率光纖，芯直徑為30m，芯中心折射率為1.474，包層的折射率為1.453，假設(shè)光纖中耦合一個激光二極管，它發(fā)射波長為1300nm，光譜線寬為3nm的激光，假定在該波長下光纖的材料色散系數(shù)為-5pskm-1nm-1，計算總色散系數(shù)并估算比特率光纖長度，它與相同半徑， n1，n2的多模光纖比較會怎樣呢?如果用光譜寬度1/2=80nm的發(fā)光二極管作光源，總色散和最大比特率為多少?如果模式間()是折射率分布為的梯度折射率光纖的均方色散，0為最佳折射率分布，那么同時它又由2.8節(jié)給定，計算當比0大10%的色散和比特率光纖長度。2.15分層介質(zhì)的平面波導(dǎo)

32、(近似于梯度折射率光纖)圖2.47的平面介質(zhì)波導(dǎo)，它的折射率隨y0在，處變?yōu)閚1， n2， n3因此折射率隨y從0到y(tǒng)，一次減小一級，就像圖中描述的那樣。圖2.47 階躍折射率介質(zhì)波導(dǎo)考慮波導(dǎo)只有兩層A和B，從O點開始，第一束光線在A點經(jīng)全內(nèi)反射后到達O， 第一束光線的發(fā)射角A也就是全內(nèi)反射的臨界角，光線B以一個更小的角度發(fā)射，在b點穿透介質(zhì)2，在介質(zhì)2和介質(zhì)3的束縛下，傳播到達B點，光線B在B的發(fā)射角為B，也是介質(zhì)2和介質(zhì)3發(fā)生全內(nèi)反射的臨界角。當n1， n2， n3滿足什么關(guān)系時光線A，B可以同時到達O點，這樣我們就觀察不到延時？同樣的，如果兩束光線同時到達O點，它們必須同時到達全內(nèi)反射點

33、A和B。(a) 證明：第一束光線從O傳輸?shù)紸所花的時間為 (1)(b) 證明：第二束光線從O傳輸?shù)紹所花的時間為 (2)(c) 已知n隨，處的階躍變化滿足關(guān)系式 (3) 其中是一個單數(shù)(小于1)，是一個描述截面指數(shù)隨y變化的指數(shù)，顯然，y=0時，n=n1，證明： (4)其中 (5)(d) 當tOA-tOB=0時，兩束光線同時到達O，利用關(guān)系式(1)和(2)以及(4)(5)描述的折射率關(guān)系，證明：當兩束光線同時到達時存在如下關(guān)系式： (6)當介質(zhì)層厚度變小，則0，證明：當0時，=2.067是方程(6)的解。你有什么結(jié)論嗎?為了獲得最小模式間色散，你將推薦使用哪一種梯度折射率光纖?畫出一種基本的截面折射率分布圖。 以上處理的理論限制是什么? 0是一個有效假設(shè)嗎?當k不為0而是一個很小的數(shù)時，將會怎樣?2.16梯度折射率棒透鏡圖2.48 梯度折射率棒透鏡梯度折射率(GRIN)棒透鏡，是一根玻璃棒，它的折射率從中心軸最大值處呈拋物線變化，它就像