空間解析幾何 多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分 隱函數(shù)偏導數(shù)

1、第十三講：空間解析幾何的強化訓練題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1平面與平面相互垂直，則K= （C）A1 B2 C-1 D-2解： ， ， =0 2過軸和點的平面方程是（B）A B C D解：過軸又即3過點且與直線平行的直線方程是 （D）ABCD解： 4空間直線與平面的位置關(guān)系是 （B）A 相互垂直 B 相互平行，但直線不在平面上 C 既不平行，也不垂直 D 直線在平面上解：（1） 故或，即(2)上點代入:,直線不在平面上5方程表示的二次曲線是（B）A 球面 B 旋轉(zhuǎn)拋物線C 圓錐面 D 圓柱面解：這是面上，拋物線繞Z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)拋物面即6在空間直角坐標系中，方程組代表的圖形是 （

2、A）A圓 B圓柱面 C拋物線 D直線解：這是旋轉(zhuǎn)拋物面與平行于面的平面的交線是一個圓二、 填空題（每小題4分，共24分）7平面的截距式方程是 解：即8直線與直線的夾角是 解：9已知兩平面相互平行，則 ， 解：10過點且垂直與平面的直線方程為 解：點10平面與平面之間的距離d= 解：12在空間直角坐標系中 ，方程表示的曲面是 解：.兩個相交平面三、計算題（每小題8分，共64分）13求過點且與連接坐標原點及的線段垂直的平面方程解：（1）法向量（2）平面的點法式方程點，法向量即14過點和且與向量平行的平面方程解：（1）依叉乘的定義知且故?。?）點法式平面方程：即求過點且垂直于平面和的平面方程解：（1

3、）取（2）點法式平面方程即16求通過點且平行于直線的直線方程解：（2）所求直線方程17化直線方程為標準式直線方程解：（1）求,（2）求直線上一個點令， 得 代入得 （3）標準式直線方程18確定直線：和平面的位置關(guān)系解：（1）設為直線和平面的交角故（2）直線上點代入平面方程故直線不在平面上19指出下列曲面那些是旋轉(zhuǎn)曲面？如果是旋轉(zhuǎn)曲面，說明他是如何產(chǎn)生的？（1）（2）（3）（4）解：若中有兩個系數(shù)相同時，則為旋轉(zhuǎn)曲面在（2）中，系數(shù)相同故選 上雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)即旋轉(zhuǎn)雙曲面20指出下列各方程在平面解析幾何和空間解析幾何分別表示什么圖形？（1） （2） （3） 解：（1）在平面解析幾何表示：圓；在空間

4、解析幾何表示：圓柱面（2）在平面解析幾何表示：雙曲線；在空間解析幾何表示：雙曲柱面（3）在平面解析幾何表示：一條直線；在空間解析幾何表示：平面四、 證明題（本題8分）21 證明兩平面之間的距離d：證：（1）在平面取一點（2）利用點到平面的距離公式（3）點到:的距離五、綜合題（每題10分，共30分）22設一平面通過Z軸，且與平面：的夾角為，求此平面方程解：（1）平面過軸（2）即解得或（3）所求平面的方程或23求過點（1，2，1）且與和平行的平面方程解：（1）（2）（3）（4）點法式平面方程24 設直線問A，B取何值時，才能使直線L同時平行于平面和平面解：（1）已知L的方向向量（2）設=（3）故有

5、從而解得第十四講：多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的強化練習題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1 設則= （A）A BC D解： 2 = （D）A 0 B 1 C D 解：在點（1，0）連續(xù)3設在點處有偏導數(shù)存在，則=（D）A 0 BC D解：原式=4偏導數(shù)存在是可微的 （B）A充分條件 B必要條件C充分必要條件 D無關(guān)條件 解：若可微，則存在，反之成立，故偏導數(shù)存在是可微必要條件5函數(shù)在點（1，1）的全微=（C）A BC D解：在（1，1）6已知且，則= （A）A 2 BC D解：（1）（2）（3）二、填空題（每小題4分，共24分）7 的定義域是 解： 定義域8設則= 解：（1）（2）9

6、設則= 解： 10設，可微，則= 解：11在點（1，1）處，當，時的全微分是 解：當時，其微分=12設，可微，則= 解：三、計算題（每小題8分，共64分）13已知，若時，求，解：（1）故有（2）（3）14求在點（1，0）處的一階偏導數(shù)，全微分解：（1）故有（2）故（3）15設，求，解：（1）（2）16設，求，解：（1）（2）（3）17 設，可微，求解法（1）：解法（2）：18設，其中有二階連續(xù)偏導數(shù)，求解：（1）（2）19設 ，其中，都有二階連續(xù)偏導數(shù)，求解：（1）（2）20 設 ，有二階連續(xù)偏導數(shù)，求解：（1）（2）四、綜合題（每題10分，共20分）21若可微函數(shù)滿足，計算解：原式注：另法：

7、 原式22 設 有二階連續(xù)偏導數(shù)，求解：（1）（2）+=五、證明題（每小題9分，共18分）23設 其中可微，證明證明：（1）（2）（3）24設，證明 解：（1）（2）由輪換對稱性知, （3）故有選做題 證明 滿足=0證： ，故有第十五講：隱函數(shù)偏導數(shù)求法及偏導數(shù)應用的強化練習題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1設則是的 （C）A 極小值點 B 極大值點C 駐點 D最大值點解：使同時成立的點，稱為的駐點2函數(shù)的駐點是 （A）A （1，-1） B （-1，-1） C （1，1） D （-1，1）解：令，得又令得的駐點3下列命題正確的是 （C）A 函數(shù)的極值點一定是駐點B 函數(shù)的駐點一定是

8、極值點C 可微函數(shù)的極值點一定是的駐點D可微函數(shù)的駐點一定是的極值點解： 可微，函數(shù)極值點一定是駐點 選C4函數(shù)在點可微是在的兩個偏導數(shù)，和存在的 （A）A 充分條件 B 必要條件C 充分必要條件 D 無關(guān)條件解：可微偏導數(shù)存在，反之不成立可微是偏導數(shù)存在的充分條件（注不是充分必要條件）5設點為的駐點，且有，則極大值點充分條件是（D）A BC D解：當時有極值，極小值，極大值。即6球面在點（1，-2，2）的切平面 （）A BCD解：（1）令，（2）切平面方程： 二、填空題（每小題4分，共24分）7函數(shù)的極大值為 解：（1）駐點（2）有極值有極大值8設在點（1，1，）取得極值，則 解：又，即，9

9、方程確定則= 解：令（2），（3）10曲線，在點（1，1，1） 處切線的方向向量為 解：，切線方向向量：11方程確定，則= 解：令12方程確定，則= 解：（1）（2）在（0，1）處：即（3）三、計算題（每小題8分，共64分）13設方程確定 求解：（1）令（2）14設 由方程所確定，求，解：（1），（2）15設方程確定，求，解：令（2）16設方程確定，求解：（1）（2）（3）17 已知點（5，2）是函數(shù)的極值點，求的值解：（1）故（2）故18求的極值解：（1）求駐點，駐點（2，-2）（2）判斷極值點：有極值。（2，-2）為極大值點（3）極大值19求在條件下的極值解：（1）化為無條件極值一元函數(shù)的

10、極值（2）， 極小值注：代入約束條件得駐點。由實際問題知極大值20求空間曲線對應于的切線方程解：（1）在處對立點（2）切線方向向量：（3）切線方程： 四、證明題（本題8分）21設都是由方程所確定的所有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)，證明解：（1）注：是一個完整符號，不能認為是和的商五、綜合題（每小題10分，共30分）22 設方程確定，求解：（1）求（用復合函數(shù)求導法）（兩邊對X對導，）解，=（注：與15題結(jié)果一樣）（2）求，=23求的極值解：（1）求駐點： 由 代入得解得或者駐點（0，0）或（1，）（2）判斷極值點： 在（0，0）點處：無極值在（1，）處：有極值且 （1，）為極小值點（3）極小值24 把一個

11、正數(shù)a分成3個正數(shù)之和，并且使他們的乘積最大，求這3個正數(shù)解：設a的三個正數(shù)分別為依題意：目標函數(shù) 約束條件：化為無條件極值 （2） ：代入得 ，（，）為駐點（3）判斷極值點：，在點（，）處有極值，且 有極大值 由單峰原理有最大值答 TOC o 1-3 h z u 第十六講：二重積分的概念、計算及其應用的強化練習題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1在平面有界且有面積的閉區(qū)域D上連續(xù)是二重積分存在的 （ B）A 必要條件 B充分條件C 充分必要條件 D無關(guān)條件解：若在D上連續(xù)，則存在，反之不成立，故選B2在平面閉區(qū)域D上有界是二重積分存在的（ A ）A 必要條件 B充分條件C 充分必要

12、條件 D無關(guān)條件解：若存在，則在D有界，反之不成立，故選A3設為連續(xù)函數(shù)，則 （ A ）A.B.C.D.解：交換二次積分次序原式 選A4設則在極坐標系下= （ D ）A B.C D.解：采用極坐標定限原式 選D5設則= （ C ）A BC D解：（1）畫出D的示意圖（2）原式6設D：=（B）A0 B. C D解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）原式（D關(guān)于y軸對稱，關(guān)于x軸為奇函數(shù)）原式 選B二、填空題（每小題4分，共24分）7設若，則 解：由二重積分幾何意義知上半球體積 8若D：，則 解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）原式9設D：則 解：（1）畫出D（2）D關(guān)于y軸對稱，且關(guān)于x為奇函數(shù)原式010設D

13、為，則 解：（1）畫出D（2）原式11設則 解：原式12交換積分次序后， 解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）交換二次積分次序：原式I=三、計算題（每小題8分，共64分）13計算，其中D由所圍閉區(qū)域解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）選擇積分次序：為了不分片先對y分積分，后對x積分原式=14計算，D由所圍閉區(qū)域解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）為了不分片先對分積分，后對y積分原式15交換積分次序解：（1）畫出（2）交換積分次序I16計算解：（1）畫出積分域D（2）交換積分次序I 17計算解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）改用極坐標定限，計算18計算解：（1）畫出（2）改用極坐標定限，計算19計算，其中D由，所圍閉區(qū)域解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）D關(guān)于y軸對稱，關(guān)于x為偶函數(shù)。20計算解：（1）畫出積分區(qū)域D（2）D關(guān)于軸對稱，y關(guān)于y為奇函數(shù)四、綜合題（每小題10分，共20分）21計算解：（1）畫出積分區(qū)域（2）交換積分次序（3）計算二次積分22由圓及直線所圍成第一象限的薄板，其密度，求該薄板的質(zhì)量解：（1）畫出平面圖形（2）設該薄板質(zhì)量為M五、證明題 (每小題9分，共18分)23證明證：畫出左式積分區(qū)域D右式24設為連續(xù)函數(shù)且，其中D：所圍閉區(qū)域