任意對任意激勵的響應傅里葉積分和拉氏變換解析

1、任意對任意激勵的響應傅里葉積分和拉氏變換解析39系統(tǒng)對任意鼓勵的響應傅里葉積分 前面應用卷積積分計算任意非周期鼓勵的響應隨時間的變化規(guī)律，稱為時域分析方法。但也可以從另一角度出發(fā)，借助傅里葉變換給出頻率域響應的表達式，同時給出脈沖響應函數(shù)與復頻率響應函數(shù)的傅里葉變換關系。單自由度線性系統(tǒng)受非周期鼓勵的振動微分方程為令作用在系統(tǒng)上的鼓勵具有如下的形式，即注意到f(t)的量綱與位移的量綱一樣。 周期鼓勵函數(shù)可以利用傅里葉級數(shù)來表示，即表達成為無窮個簡諧分量的疊加。對于任意非周期鼓勵函數(shù)F(t)=kf(t)，可視為周期T趨于無窮大的周期函數(shù)，也就是說，非周期函數(shù)可視為周期為無窮大的周期函數(shù)。這樣，離

2、散頻率愈來愈接近，直到成為連續(xù)為止。這時傅里葉級數(shù)就成為傅里葉積分。 考慮傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式，即系數(shù)Cp為式中T=2/為鼓勵函數(shù)的周期。傅里葉級數(shù)式和上式提供了有關周期函數(shù)f(t)的頻率組成根據(jù)。令p=p，有p=p+1)-=2/T，將傅里葉展開式和上式)中的p以p，T以2/ p代替，寫成當T，p0時，離散頻率p，就成為連續(xù)頻率，將TCp，記作的函數(shù)F()，稱為鼓勵的頻譜函數(shù)。上面兩式轉化為傅里葉變換公式積分式稱為關于函數(shù)f(t)的傅里葉變換，它給出了f(t)的連續(xù)頻譜函數(shù)，稱為關于函數(shù)f(t)的傅里葉變換，它給出了f(t)的連續(xù)頻譜函數(shù)，積分式稱為關于函數(shù)F()的傅里葉逆變換，它將非周期函數(shù)

3、f(t)表示為頻率為、幅值為F()d的簡諧分量的無窮疊加。f(t)和F()共稱為傅里葉變換對。積分式 利用復頻率響應函數(shù)H()，將f(t)以傅里葉變換式代人x(t)=H()f(t)，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為在非周期鼓勵作用下，系統(tǒng)的響應又可由傅里葉積分表示為式中因此x(t)與X()組成了傅里葉變換對。比較式得上式為系統(tǒng)響應的頻率域表達式，系統(tǒng)在頻率域的響應X()等于復頻率響應H()與鼓勵的傅里葉變換F()的乘積。 例3.9-1 試用傅里葉變換法計算單自由度無阻尼系統(tǒng)對圖所示的矩形脈沖鼓勵F(t)的響應x(t)，并畫出頻譜圖。解：因為f(t)=F(t)k，函數(shù)f(t)可以定義為利用式，可以對f(t)

4、進展傅里葉變換，積分得當=0，復頻率響應為得到于是，響應x(t)可以表示成傅里葉逆變換形式，即為了計算此積分，需要作復平面內的圍道積分(這已經(jīng)超出了本書的范圍)，這里只給出積分的結果，有注意到本例題響應x(t)的結果與例題3.8-4的結果一樣。與f(t)有關的頻譜由方程給出，因為(eiT-e-iT)i2=sinT。方程簡化為圖表示F()對的頻譜圖。此外，與x(t)有關的頻譜由方程給出，同理，簡化為圖表示X()對的頻譜圖。 將此例題與例題3.8-4相比較，可以看出，對于求響應x(t)的問題，用卷積積分要比用傅里葉變換法簡單，因為卷積積分可以防止本例題中涉及的復平面內圍道積分的計算。310 用拉普

5、拉斯變換法求系統(tǒng)響應傳遞函數(shù) 拉普拉斯(Laplace)變換作為一種工具已經(jīng)廣泛地應用于線性系統(tǒng)的研究中，除了為求解線性微分方程提供有效方法外，還可以用來表示聯(lián)絡鼓勵和響應的簡單代數(shù)式。拉普拉斯變換既適宜于瞬態(tài)振動，又適宜于強迫振動，這一方法的主要優(yōu)點在于它可以比較容易地來處理不連續(xù)函數(shù)，并且可以自動地考慮初始條件。用符號 =Lx(t)表示x(t)的拉普拉斯變換，則x(t)的拉普拉斯變換定義為式中s一般為一復量，函數(shù)e-st稱為變換的核。因為式是一個以t為積分變量的定積分，所以將得出一個以s為變量的函數(shù)。為了用拉普拉斯變換法求解系統(tǒng)的響應，需要計算導數(shù)量和譬的變換。應用分部積分，可以得出式中x

6、(0)為m的初始位移。同理，二階導數(shù)的拉普拉斯變換可以表示為式中 為m的初始速度。激勵函數(shù)的拉普拉斯變換簡單地表示為兩邊進展變換，整理后得對方程或改寫為上式稱為微分方程的輔助方程。第一項表示強迫振動響應，第二項表示由初始條件引起的響應。如果不考慮方程的齊次解，即令x(O)= (O)=0，就可以將變換激勵和變換響應之比寫成如下形式函數(shù) (s)稱為系統(tǒng)的廣義阻抗，包含反映系統(tǒng)特性的所有參數(shù)，是以s為變量的復數(shù)域的代數(shù)表達式。該域表示一復平面，稱為拉普拉斯平面。令 (s)的倒數(shù)以 (s)表示，即(s)稱為系統(tǒng)的導納。 在研究變換響應與變換鼓勵的關系時，還要建立一個更為普遍的概念，這一概念稱為傳遞函數(shù)

7、。對于方程所描繪的二階系統(tǒng)的特殊情形，傳遞函數(shù)具有下面的形式，即式中和n分別為相對阻尼系數(shù)和無阻尼系統(tǒng)的固有頻率。注意到，如果令 (s)中的S=i并乘以k，就可以得到復頻率響應函數(shù)H()。 方程可以改寫為 傳遞函數(shù)可以視為是一個代數(shù)算子，它對變換鼓勵進展運算就得出變換響應。方程可以用圖表示，以代數(shù)算子 (s)表在拉普拉斯平面內的關系圖。 響應x(t)可由拉普拉斯逆變換求得。從變換響應回到x(t)時，需要計算 (s)的拉普拉斯逆變換，可以表示為一般來講，L-1的運算將涉及在復數(shù)域內的線積分，在很多情況下，這個積分可以用圍道積分來代替，再轉變?yōu)橛脧蛿?shù)代數(shù)中的剩余定理來計算。然而深入地研究拉普拉斯變

8、換理論已經(jīng)超出了本書的范疇。如果能夠尋找一種將 (s)分解成其逆變換為已知函數(shù)組合的方法，則在現(xiàn)有的知識結構中就可以得到簡單響應問題的拉普拉斯逆變換的解答，這一方法可以通過部分分式法來實現(xiàn)。也就是說，把函數(shù) (s)分解成幾個已經(jīng)知道其逆變換的簡單函數(shù)之和。表給出了一些簡單函數(shù)的拉普拉斯變換對表。 例3.10-1 脈沖響應。設在t=a處作用一單位脈沖鼓勵?？梢缘贸銎淅绽棺儞Q為先對方程作一些說明：對于任何不等于a的值，函數(shù)為零，以(t-a)乘任一函數(shù)ft，使f(t)在fa時的值都等于零；而當t=a時，f(t)=f(a)，于是有f(t)(t-a)=f(a)(t-a)。由于(t-a)的持續(xù)時間為無

9、窮小，所以式中的f(a)為常數(shù)。又因為方程中的e-st起f(t)的作用，所以得到e-stf(t-a)=e-as(t-a)，這里e為常數(shù)。把e-as放到積分號的外面，就得到了上面的結果。 對于脈沖響應來說，激勵具有F(t)=(t)的形式，由此可以得出a=0和 (s)=1。根據(jù)方程，得到因而，脈沖響應的拉普拉斯變換 等于傳遞函數(shù) (s)。由此，脈沖響應為 即脈沖響應可簡單地表示為傳遞函數(shù)的拉普拉斯逆變換。考慮單自由度有阻尼系統(tǒng)，方程用局部分式的形式寫出其傳遞函數(shù)，即因為得出脈沖響應為這與用經(jīng)典方法得到的一樣。因為當tO時，沒有鼓勵，所以方程應該乘以u(t)后，才與實際相符。 例3.10-2 階躍響

10、應。設F(t)=u(t-a)，可以寫出其拉普拉斯變換為顯然，當F(t)=u(t)，即當a=0時，有 。代入方程，得到式中 (s)=Lg(t)為g(t)的拉普拉斯變換。因而階躍響應為 考慮單自由度有阻尼系統(tǒng)，從方程可以用部分分式的形式寫出 (s)，即可以得到階躍響應為311復頻率響應與脈響應之間的關系 可以證明，描繪系統(tǒng)響應特性的在時域和頻域中分別定義的脈沖響應函數(shù)h(t)和復頻率響應函數(shù)H()恰好組成傅里葉變換對。 令鼓勵函數(shù)為單位脈沖形式此時系統(tǒng)的響應為脈沖響應，即得出該鼓勵的傅里葉變換。得到有因為F(t)=k(t)，上式所給出的脈沖響應對應于彈簧常數(shù)k等于1。同樣，有明顯可以看出，復頻率響

11、應H()和脈沖響應h(t)為傅里葉變換對。因此，系統(tǒng)的特性可以用復頻率響應H()在頻率域內描繪，也可以用脈沖響應h(t)在時間域內描繪，它們之間的關系如以下圖，圖中的雙箭頭表示傅里葉變換對。312 課堂討論 如以下圖為一內燃機排氣閥系統(tǒng)簡圖。搖桿AB對轉軸O的轉動慣量為I，汽閥BC的質量為mv，閥簧質量為ms，彈簧剛度為ks，計算時根據(jù)考慮彈簧本身質量的瑞利(Rayleigh)法可近似地將ms3集中于B點，挺桿AD的質量為mt，彈簧剛度為kt。求系統(tǒng)固有頻率和響應。 此系統(tǒng)可以簡化為如圖左側所示的單自由度系統(tǒng)。系統(tǒng)的動能為注意到A點的速度為 =a ，上式變?yōu)橐虼?，在A點的等效質量為系統(tǒng)的勢能為

12、因此，在A點的等效剛度為注意到A點的位移為x=a，上式變?yōu)楣氏到y(tǒng)的固有頻率為 假設給出挺桿AD的長度L，截面積A，材料彈性模量E，那么根據(jù)受拉壓桿等效剛度系數(shù)的計算方法，挺桿AD的剛度kt=EA/L；假設簡化挺桿AD為一剛桿，那么剛度系數(shù)kt=0。此外，盡管阻尼的現(xiàn)實描繪比較困難，但實際系統(tǒng)不可防止地存在著阻尼，因此根據(jù)實際情況，給出阻尼系數(shù)c，并根據(jù)凸輪的鼓勵函數(shù)F(t)，那么系統(tǒng)的運動微分方程為式中，為凸輪使挺桿運動的位移，凸輪按簡諧規(guī)律運動，有據(jù)此可計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。將上式代入方程，并根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可得以下方程，即令穩(wěn)態(tài)響應為式中由疊加原理得周期鼓勵的穩(wěn)態(tài)響應為某發(fā)動機配氣機構轉速n=1200rmin，氣門間隙=0.4 mm，升程h=13.5 mm，=t為凸輪軸轉角，=40rads，升程階段的總轉角=。：挺桿質量m=0.2 kg，挺桿長度L=237 mm，截面積A=75mm2，材料彈性模量E=21000