任意對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)傅里葉積分和拉氏變換解析

1、任意對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)傅里葉積分和拉氏變換解析39系統(tǒng)對(duì)任意鼓勵(lì)的響應(yīng)傅里葉積分 前面應(yīng)用卷積積分計(jì)算任意非周期鼓勵(lì)的響應(yīng)隨時(shí)間的變化規(guī)律，稱為時(shí)域分析方法。但也可以從另一角度出發(fā)，借助傅里葉變換給出頻率域響應(yīng)的表達(dá)式，同時(shí)給出脈沖響應(yīng)函數(shù)與復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換關(guān)系。單自由度線性系統(tǒng)受非周期鼓勵(lì)的振動(dòng)微分方程為令作用在系統(tǒng)上的鼓勵(lì)具有如下的形式，即注意到f(t)的量綱與位移的量綱一樣。 周期鼓勵(lì)函數(shù)可以利用傅里葉級(jí)數(shù)來表示，即表達(dá)成為無窮個(gè)簡(jiǎn)諧分量的疊加。對(duì)于任意非周期鼓勵(lì)函數(shù)F(t)=kf(t)，可視為周期T趨于無窮大的周期函數(shù)，也就是說，非周期函數(shù)可視為周期為無窮大的周期函數(shù)。這樣，離

2、散頻率愈來愈接近，直到成為連續(xù)為止。這時(shí)傅里葉級(jí)數(shù)就成為傅里葉積分。 考慮傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式，即系數(shù)Cp為式中T=2/為鼓勵(lì)函數(shù)的周期。傅里葉級(jí)數(shù)式和上式提供了有關(guān)周期函數(shù)f(t)的頻率組成根據(jù)。令p=p，有p=p+1)-=2/T，將傅里葉展開式和上式)中的p以p，T以2/ p代替，寫成當(dāng)T，p0時(shí)，離散頻率p，就成為連續(xù)頻率，將TCp，記作的函數(shù)F()，稱為鼓勵(lì)的頻譜函數(shù)。上面兩式轉(zhuǎn)化為傅里葉變換公式積分式稱為關(guān)于函數(shù)f(t)的傅里葉變換，它給出了f(t)的連續(xù)頻譜函數(shù)，稱為關(guān)于函數(shù)f(t)的傅里葉變換，它給出了f(t)的連續(xù)頻譜函數(shù)，積分式稱為關(guān)于函數(shù)F()的傅里葉逆變換，它將非周期函數(shù)

3、f(t)表示為頻率為、幅值為F()d的簡(jiǎn)諧分量的無窮疊加。f(t)和F()共稱為傅里葉變換對(duì)。積分式 利用復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)H()，將f(t)以傅里葉變換式代人x(t)=H()f(t)，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為在非周期鼓勵(lì)作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)又可由傅里葉積分表示為式中因此x(t)與X()組成了傅里葉變換對(duì)。比較式得上式為系統(tǒng)響應(yīng)的頻率域表達(dá)式，系統(tǒng)在頻率域的響應(yīng)X()等于復(fù)頻率響應(yīng)H()與鼓勵(lì)的傅里葉變換F()的乘積。 例3.9-1 試用傅里葉變換法計(jì)算單自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)圖所示的矩形脈沖鼓勵(lì)F(t)的響應(yīng)x(t)，并畫出頻譜圖。解：因?yàn)閒(t)=F(t)k，函數(shù)f(t)可以定義為利用式，可以對(duì)f(t)

4、進(jìn)展傅里葉變換，積分得當(dāng)=0，復(fù)頻率響應(yīng)為得到于是，響應(yīng)x(t)可以表示成傅里葉逆變換形式，即為了計(jì)算此積分，需要作復(fù)平面內(nèi)的圍道積分(這已經(jīng)超出了本書的范圍)，這里只給出積分的結(jié)果，有注意到本例題響應(yīng)x(t)的結(jié)果與例題3.8-4的結(jié)果一樣。與f(t)有關(guān)的頻譜由方程給出，因?yàn)?eiT-e-iT)i2=sinT。方程簡(jiǎn)化為圖表示F()對(duì)的頻譜圖。此外，與x(t)有關(guān)的頻譜由方程給出，同理，簡(jiǎn)化為圖表示X()對(duì)的頻譜圖。 將此例題與例題3.8-4相比較，可以看出，對(duì)于求響應(yīng)x(t)的問題，用卷積積分要比用傅里葉變換法簡(jiǎn)單，因?yàn)榫矸e積分可以防止本例題中涉及的復(fù)平面內(nèi)圍道積分的計(jì)算。310 用拉普

5、拉斯變換法求系統(tǒng)響應(yīng)傳遞函數(shù) 拉普拉斯(Laplace)變換作為一種工具已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于線性系統(tǒng)的研究中，除了為求解線性微分方程提供有效方法外，還可以用來表示聯(lián)絡(luò)鼓勵(lì)和響應(yīng)的簡(jiǎn)單代數(shù)式。拉普拉斯變換既適宜于瞬態(tài)振動(dòng)，又適宜于強(qiáng)迫振動(dòng)，這一方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于它可以比較容易地來處理不連續(xù)函數(shù)，并且可以自動(dòng)地考慮初始條件。用符號(hào) =Lx(t)表示x(t)的拉普拉斯變換，則x(t)的拉普拉斯變換定義為式中s一般為一復(fù)量，函數(shù)e-st稱為變換的核。因?yàn)槭绞且粋€(gè)以t為積分變量的定積分，所以將得出一個(gè)以s為變量的函數(shù)。為了用拉普拉斯變換法求解系統(tǒng)的響應(yīng)，需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)量和譬的變換。應(yīng)用分部積分，可以得出式中x

6、(0)為m的初始位移。同理，二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換可以表示為式中 為m的初始速度。激勵(lì)函數(shù)的拉普拉斯變換簡(jiǎn)單地表示為兩邊進(jìn)展變換，整理后得對(duì)方程或改寫為上式稱為微分方程的輔助方程。第一項(xiàng)表示強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)，第二項(xiàng)表示由初始條件引起的響應(yīng)。如果不考慮方程的齊次解，即令x(O)= (O)=0，就可以將變換激勵(lì)和變換響應(yīng)之比寫成如下形式函數(shù) (s)稱為系統(tǒng)的廣義阻抗，包含反映系統(tǒng)特性的所有參數(shù)，是以s為變量的復(fù)數(shù)域的代數(shù)表達(dá)式。該域表示一復(fù)平面，稱為拉普拉斯平面。令 (s)的倒數(shù)以 (s)表示，即(s)稱為系統(tǒng)的導(dǎo)納。 在研究變換響應(yīng)與變換鼓勵(lì)的關(guān)系時(shí)，還要建立一個(gè)更為普遍的概念，這一概念稱為傳遞函數(shù)

7、。對(duì)于方程所描繪的二階系統(tǒng)的特殊情形，傳遞函數(shù)具有下面的形式，即式中和n分別為相對(duì)阻尼系數(shù)和無阻尼系統(tǒng)的固有頻率。注意到，如果令 (s)中的S=i并乘以k，就可以得到復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)H()。 方程可以改寫為 傳遞函數(shù)可以視為是一個(gè)代數(shù)算子，它對(duì)變換鼓勵(lì)進(jìn)展運(yùn)算就得出變換響應(yīng)。方程可以用圖表示，以代數(shù)算子 (s)表在拉普拉斯平面內(nèi)的關(guān)系圖。 響應(yīng)x(t)可由拉普拉斯逆變換求得。從變換響應(yīng)回到x(t)時(shí)，需要計(jì)算 (s)的拉普拉斯逆變換，可以表示為一般來講，L-1的運(yùn)算將涉及在復(fù)數(shù)域內(nèi)的線積分，在很多情況下，這個(gè)積分可以用圍道積分來代替，再轉(zhuǎn)變?yōu)橛脧?fù)數(shù)代數(shù)中的剩余定理來計(jì)算。然而深入地研究拉普拉斯變

8、換理論已經(jīng)超出了本書的范疇。如果能夠?qū)ふ乙环N將 (s)分解成其逆變換為已知函數(shù)組合的方法，則在現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中就可以得到簡(jiǎn)單響應(yīng)問題的拉普拉斯逆變換的解答，這一方法可以通過部分分式法來實(shí)現(xiàn)。也就是說，把函數(shù) (s)分解成幾個(gè)已經(jīng)知道其逆變換的簡(jiǎn)單函數(shù)之和。表給出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的拉普拉斯變換對(duì)表。 例3.10-1 脈沖響應(yīng)。設(shè)在t=a處作用一單位脈沖鼓勵(lì)?？梢缘贸銎淅绽棺儞Q為先對(duì)方程作一些說明：對(duì)于任何不等于a的值，函數(shù)為零，以(t-a)乘任一函數(shù)ft，使f(t)在fa時(shí)的值都等于零；而當(dāng)t=a時(shí)，f(t)=f(a)，于是有f(t)(t-a)=f(a)(t-a)。由于(t-a)的持續(xù)時(shí)間為無

9、窮小，所以式中的f(a)為常數(shù)。又因?yàn)榉匠讨械膃-st起f(t)的作用，所以得到e-stf(t-a)=e-as(t-a)，這里e為常數(shù)。把e-as放到積分號(hào)的外面，就得到了上面的結(jié)果。 對(duì)于脈沖響應(yīng)來說，激勵(lì)具有F(t)=(t)的形式，由此可以得出a=0和 (s)=1。根據(jù)方程，得到因而，脈沖響應(yīng)的拉普拉斯變換 等于傳遞函數(shù) (s)。由此，脈沖響應(yīng)為 即脈沖響應(yīng)可簡(jiǎn)單地表示為傳遞函數(shù)的拉普拉斯逆變換?？紤]單自由度有阻尼系統(tǒng)，方程用局部分式的形式寫出其傳遞函數(shù)，即因?yàn)榈贸雒}沖響應(yīng)為這與用經(jīng)典方法得到的一樣。因?yàn)楫?dāng)tO時(shí)，沒有鼓勵(lì)，所以方程應(yīng)該乘以u(píng)(t)后，才與實(shí)際相符。 例3.10-2 階躍響

10、應(yīng)。設(shè)F(t)=u(t-a)，可以寫出其拉普拉斯變換為顯然，當(dāng)F(t)=u(t)，即當(dāng)a=0時(shí)，有 。代入方程，得到式中 (s)=Lg(t)為g(t)的拉普拉斯變換。因而階躍響應(yīng)為 考慮單自由度有阻尼系統(tǒng)，從方程可以用部分分式的形式寫出 (s)，即可以得到階躍響應(yīng)為311復(fù)頻率響應(yīng)與脈響應(yīng)之間的關(guān)系 可以證明，描繪系統(tǒng)響應(yīng)特性的在時(shí)域和頻域中分別定義的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)和復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)H()恰好組成傅里葉變換對(duì)。 令鼓勵(lì)函數(shù)為單位脈沖形式此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)，即得出該鼓勵(lì)的傅里葉變換。得到有因?yàn)镕(t)=k(t)，上式所給出的脈沖響應(yīng)對(duì)應(yīng)于彈簧常數(shù)k等于1。同樣，有明顯可以看出，復(fù)頻率響

11、應(yīng)H()和脈沖響應(yīng)h(t)為傅里葉變換對(duì)。因此，系統(tǒng)的特性可以用復(fù)頻率響應(yīng)H()在頻率域內(nèi)描繪，也可以用脈沖響應(yīng)h(t)在時(shí)間域內(nèi)描繪，它們之間的關(guān)系如以下圖，圖中的雙箭頭表示傅里葉變換對(duì)。312 課堂討論 如以下圖為一內(nèi)燃機(jī)排氣閥系統(tǒng)簡(jiǎn)圖。搖桿AB對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，汽閥BC的質(zhì)量為mv，閥簧質(zhì)量為ms，彈簧剛度為ks，計(jì)算時(shí)根據(jù)考慮彈簧本身質(zhì)量的瑞利(Rayleigh)法可近似地將ms3集中于B點(diǎn)，挺桿AD的質(zhì)量為mt，彈簧剛度為kt。求系統(tǒng)固有頻率和響應(yīng)。 此系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為如圖左側(cè)所示的單自由度系統(tǒng)。系統(tǒng)的動(dòng)能為注意到A點(diǎn)的速度為 =a ，上式變?yōu)橐虼?，在A點(diǎn)的等效質(zhì)量為系統(tǒng)的勢(shì)能為

12、因此，在A點(diǎn)的等效剛度為注意到A點(diǎn)的位移為x=a，上式變?yōu)楣氏到y(tǒng)的固有頻率為 假設(shè)給出挺桿AD的長(zhǎng)度L，截面積A，材料彈性模量E，那么根據(jù)受拉壓桿等效剛度系數(shù)的計(jì)算方法，挺桿AD的剛度kt=EA/L；假設(shè)簡(jiǎn)化挺桿AD為一剛桿，那么剛度系數(shù)kt=0。此外，盡管阻尼的現(xiàn)實(shí)描繪比較困難，但實(shí)際系統(tǒng)不可防止地存在著阻尼，因此根據(jù)實(shí)際情況，給出阻尼系數(shù)c，并根據(jù)凸輪的鼓勵(lì)函數(shù)F(t)，那么系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為式中，為凸輪使挺桿運(yùn)動(dòng)的位移，凸輪按簡(jiǎn)諧規(guī)律運(yùn)動(dòng)，有據(jù)此可計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。將上式代入方程，并根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可得以下方程，即令穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為式中由疊加原理得周期鼓勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為某發(fā)動(dòng)機(jī)配氣機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速n=1200rmin，氣門間隙=0.4 mm，升程h=13.5 mm，=t為凸輪軸轉(zhuǎn)角，=40rads，升程階段的總轉(zhuǎn)角=。：挺桿質(zhì)量m=0.2 kg，挺桿長(zhǎng)度L=237 mm，截面積A=75mm2，材料彈性模量E=21000