下勾股定理典型例題歸類總結(jié)

1、勾股定理典型例題歸類總結(jié)題型一：直接考查勾股定理例1.在AABC中，ZC=90。.(已知AC=6,BC=8.求AB的長(2)已知AB=17,AC=15，求BC的長跟蹤練習(xí)：在AABC中，ZC二90。.若a=5,b=12,則c=;TOC o 1-5 h z若a:b=3:4,c=15，則a=,b=.若ZA=30,BC=2，則AB=,AC=.在RtABC中，ZC=90,ZA,NB,NC分別對的邊為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是()A、B、C、D、一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù),則它的三邊長分別為()A、2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、5等腰直角三角形的直角邊為2,則斜邊的長為

2、()A、B、C、1D、2已知等邊三角形的邊長為2cm,則等邊三角形的面積為()A、B、C、1D、已知直角三角形的兩邊為2和3,則第三邊的長為.如圖，ZACB=ZABD=90,AC=2,BC=1,則BD=.已知AABC中，AB=AC=10,BD是AC邊上的高線，CD=2,那么BD等于()A、4B、6C、8D、已知RtAABC的周長為，其中斜邊，求這個三角形的面積。如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積,那么從面積的角度來說,勾股定理可以推廣.如圖，以RtAABC的三邊長為邊作三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的面積S、S、S之間有123何關(guān)系？并說明理由。如圖，以RtAABC的三邊長為直徑作

3、三個半圓，則這三個半圓的面積S、S、S之間有何關(guān)系？123如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折180,請?zhí)接憙蓚€陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系,并說明理由。(此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”)題型二：利用勾股定理測量長度例1.如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？跟蹤練習(xí)：如圖(8),水池中離岸邊D點米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是米，把蘆葦拉到岸邊,它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端5米，消防車的云梯最大升長為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的

4、最大高度是()A、12米B、13米C、14米D、15米如圖，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹相距8米一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行()A、8米B、10米C、12米D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用例3.如圖3,正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且FB；AB那么ADEF是直角三4角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。跟蹤練習(xí)：如圖，正方形ABCD中，E為BC邊的中點，F(xiàn)點CD邊上一點，且DF=3CF，求證：ZAEF=90題型四：利用勾股定理求線段長度例1.如圖4,已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10

5、cm,在邊CD上取一點E，將AADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F,求CE的長.跟蹤練習(xí)：如圖，將一個有45度角的三角板頂點C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點B在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30角，求三角板的最大邊AB的長.如圖，在AABC中，AB=BC，ZABC=90，D為AC的中點，DE丄DF,交AB于E，交BC于F,(1)求證:BE=CF;(2)若AE=3,CF=1，求EF的長.如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=90,D為AB邊上的一點.若AD=1，BD=3，求CD的長.題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例1.有一個傳感器控制的燈

6、，安裝在門上方，離地高米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？跟蹤練習(xí)：如圖，每個小正方形的邊長都是1，ABC的三個頂點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，試判斷AABC的形狀，并說明理由.(1)求證：ZABD=90;(2)求的值下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是()A、9，12，15B、7,24,25C、D、，在AABC中，下列說法ZB=ZC-ZA；ZA:ZB:ZC=3：4：5；a:b:c=5:4:3；：=1:2:3,其中能判斷AABC為直角三角形的條件有()A、2個B、3個C、4個D、5個在AABC中，NA、ZB、ZC的對邊分

7、別是a、b、c.判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個是直角？（1）a=26，b=10，c=24;（2）a=5，b=7，c=9;（3）a=2，A、2個B、3個C、4個D、5個已知AABC的三邊長為a、b、c,且滿足，則此時三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、銳角三角形6.在AABC中，若a=n2-1，b=2n，c=n2+1，則ABC是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形7.如圖，正方形網(wǎng)格中的C、等腰三角形）D、直角三角形A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、銳角三角形或鈍角三角形8.已知在AABC中，ZA、ZB、ZC的對邊分別是a、b、C,下列說法中，

8、錯誤的是（）A、如果ZC-ZB=ZA,那么ZC=90B、如果ZC=90，那么C、如果（a+b）（a-b）=，那么ZA=90D、如果ZA=30。，那么AC=2BC已知AABC的三邊分別為a,b，c,且a+b=3,ab=l,求的值，試判斷AABC的形狀，并說明理由觀察下列各式:，,，根據(jù)其中規(guī)律，寫出下一個式子為已知，mn,m、n為正整數(shù)，以，2mn,為邊的三角形是三角形.個直角三角形的三邊分別為n+1,n-1,8,其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時，三角形為直角三角形？題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例題6.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=2j3,PC=4，求ABC的邊長.跟蹤練習(xí)如圖,ABC

9、為等腰直角三角形,NBAC=90,E、F是BC上的點，且ZEAF=45，試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由.題型七：關(guān)于翻折問題例題7.如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.跟蹤練習(xí)如圖，AD是AABC的中線，ZADC=45，把AADC沿直線AD翻折，點C落在點C的位置，BC=4，求BC的長.（一）折疊直角三角形如圖，在AABC中，NA=90，點D為AB上一點，沿CD折疊AABC,點A恰好落在BC邊上的A處,AB=4,AC=3,求BD的長。如圖，RtABC中，ZB=90,AB=3,A

10、C=5.將AABC折疊使C與A重合，折痕為DE，求BE的長.（二）折疊長方形如圖，長方形ABCD中，AB=4,BC=5,F為CD上一點，將長方形沿折痕AF折疊，點D恰好落在BC上的點E處，求CF的長。如圖，長方形ABCD中，AD=8cm,AB=4cm，沿EF折疊，使點D與點B重合，點C與C重合.（1）求DE的長；（2）求折痕EF的長.(2013常德)如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使邊CD落在對角線AC上，折痕為CE，且D點落在對角線D處.若AB=3,AD=4，則ED的長為()如圖，長方形ABCD中，AB=6,AD=8,沿BD折疊使A到A，處DAZ交BC于F點.(1)求證：FB=FE求證：CA

11、BD求AOBF的面積7.如圖，正方形ABCD中，點E在邊CD上，將AADE沿AE對折至AAFE,延長EF交邊BC于點G,G為BC的中點，連結(jié)AG、CF.(1)求證：AGCF;(2)求的值.題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學(xué)，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時,學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？例2.一輛裝滿貨物高為米，寬米的卡車要通過一個直徑為5米的半圓形雙向

12、行駛隧道，它能順利通過嗎？跟蹤練習(xí)：某市氣象臺測得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東60方向移動，距風(fēng)暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請求出遭受風(fēng)暴影響的時間；如果沒有受影響，請說明理由。一輛裝滿貨物的卡車,其外形高米,寬米,要開進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長？（結(jié)果保留整數(shù)）如圖，鐵路上A,B兩點相距25km,C,D為兩村莊，DA丄AB于A,CB丄AB于B,已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵

13、路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C,D兩村到E站的距離相等，貝怔站應(yīng)建在離A站多少km處？題型九：關(guān)于最短性問題例1、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐,沿一條螺旋路線,從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果,壁虎的偷襲得到成功,獲得了一頓美餐.請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？（n取，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）例2.跟蹤練習(xí)：如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個小正方形，其邊長都是lcm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則

14、它從下地面A點沿表面爬行至右側(cè)面的B點，最少要花幾秒鐘？如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？個長方體盒子的長、寬、高分別為8cm，6cm，12cm,一只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂?shù)腂點，你能幫螞蟻設(shè)計一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？B如圖將一根厘米長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長方體無蓋盒子中，能全部放進(jìn)去嗎？題型十：勾股定理與特殊角一）直接運用30或45的直角三角形如圖，

15、在AABC中，ZC=90,ZB=30,AD是AABC的角平分線，若AC=2J3，求AD的長。如圖，在AABC中，NACB=90,AD是AABC的角平分線，CD丄AB于D，ZA=30,CD=2，求AB的長。如圖，在AABC中，AD丄BC于D,ZB=60，Z,C=45,AC=2，求BD的長。（二）作垂線構(gòu)造30或45的直角三角形（1）將105轉(zhuǎn)化為45和60如圖，在AABC中，ZB=45,ZA=105,AC=2，求BC的長。如圖，在四邊形ABCD中,ZA=ZC=45,ZADB=ZABC=105,若AD=2，求AB的長;若AB+CD=2朽+2,求AB的長。（2）將75轉(zhuǎn)化為30和45如圖，在AABC

16、中，ZB=45,ZBAC=75,AB=、6，求BC的長。題型十一：運用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程如圖，在AABC中，NC=90,AD平分NCAB交CB于D,CD=3,BD=5，求AD的長。如圖，在AABC中，AD丄BC于D,且ZCAD=2ZBAD，若BD=3,CD=8，求AB的長。（二）巧用“連環(huán)勾”列方程如圖，在AABC中，AB=5,BC=7,AC=4*2，求S.ABC如圖，在AABC中，ZACB=90,CD丄AB于D,AC=3,BC=4，求AD的長。如圖，AABC中，ZACB=90,CD丄AB于D,AD=1,BD=4，求AC的長如圖，AABC中，ZACB=90,CD丄AB于D

17、,CD=3,BD=4，求AD的長題型十二：勾股定理與分類討論（一）銳角與鈍角不明時需分類討論在AABC中，AB=AC=5,求BC的長在AABC中，AB=15,AC=13,AD為AABC的高，且AD=12，求AABC的面積。（二）腰和底不明時需分類討論如圖1,AABC中，ZACB=90,AC=6,BC=8,點D為射線AC上一點，且ABD是等腰三角形，求AABD的周長.（三）直角邊和斜邊不明時需分類討論已知直角三角形兩邊分別為2和3，則第三邊的長為在AABC中，NACB=90,AC=4,BC=2，以AB為邊向外作等腰直角三角形ABD,求CD的長如圖，D（2,l）,以O(shè)D為一邊畫等腰三角形，并且使另

18、一個頂點在x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個?寫出落在x軸上的頂點坐標(biāo).題型十三：或問題的證明如圖1,AABC中，CA=CB,ZACB=90,D為AB的中點，M、N分別為AC、BC上一點，且DM丄DN.（1）求證：CM+CN=BD（2）如圖2,若M、N分別在AC、CB的延長線上，探究CM、CN、BD之間的數(shù)量關(guān)系式。已知ZBCD=a,ZBAD=B,CB=CD.(1)如圖1,若a=B=90,求證:AB+AD=AC；(2)如圖2,若a=B=90,求證：AB-AD=AC；(3)如圖3,若a=120,B=60，求證：AB=AD=AC；(4)如圖3,若a=B=120,求證：AB-AD=AC；題型十四：問

19、題的證明如圖，OA=OB,0C=0D,ZA0B=ZC0D=90,M、N分別為AC、BD的中點，連MN、ON.求證：MN=ON.已知AABC中，AB=AC,ZBAC=90,D為BC的中點，AE=CF，連DE、EF.(1)如圖1,若E、F分別在AB、AC上，求證：EF=DE；(2)如圖2,若E、F分別在BA、AC的延長線上，則中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由如圖，AABD中，0為AB的中點，C為DO延長線上一點，NAC0=135,N0DB=45探究OD、OC、AC之間相等的數(shù)量關(guān)系如圖，ABD是等腰直角,ZBAD=90,BCAD,BC=2AB，CE平分ZBCD，交AB于E，交BD于H.求證：（1）D

20、C=DA；（2）BE=DH題型十五：勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫圖如圖，每個小正方形的邊長為1,A、B、C是小正方形的頂點，貝0ZABC的度數(shù)為.如圖，每個小正方形的邊長都是1，在圖中畫一個三角形，使它的三邊長分別是3,2，且三角形的三個頂點都在格點上如圖，每個小正方形的邊長都是1，在圖中畫一個邊長為的正方形，且正方形的四個頂點在格點上在圖中以格點為頂點畫一個等腰三角形，使其內(nèi)部已標(biāo)注的格點只有3個如圖，在4個均勻由16個小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個格點三角形，那么這4個三角形中，與眾不同的是中的三角形，圖4中最長邊上的高為如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖：畫一條線段MN,使MN=；(2)畫厶ABC,三邊長分別為3,2。如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,線段AB的端點在格點上.圖1中以AB為腰的等腰三角形有個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊長.圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊上的高.題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直1.如圖，在AABC中，點D為BC邊上一點，且AB=10，BD=6,AD=8,AC=7