條件概率、乘法公式和獨(dú)立性

1、3條件概率、乘法公式、獨(dú)立性前面講到隨機(jī)事件時(shí)，講到隨機(jī)事件是在一定條件S下，進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)而可能發(fā)生或可能不發(fā)生的事件當(dāng)我們計(jì)算事件A的概率P(A)時(shí)，假如除了條件S外，不再加上其它條件的限制，我們稱此種概率為無條件的概率。 然而在許多實(shí)際問題中，還存在著要求一個(gè)事件B在某一事件A差不多發(fā)生的條件下的概率我們稱它條件的概率。一【例1】 設(shè)箱中有100件同型產(chǎn)品。其中70件(50件正品，20件次品)來自甲廠，30件(25件正品， 5件次品)來自乙廠?，F(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品。 (1)求取得甲廠產(chǎn)品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲廠產(chǎn)品，求取得的是次品的概率。 分析：為了直觀，我

2、們將產(chǎn)品情況列成表 上面的問題，可用古典概率計(jì)算法求得。解： 則 （1） （2） ， ， （3） 在“已知取得的是甲廠產(chǎn)品”這一條件下任取一件產(chǎn)品，實(shí)際上是從甲廠70件產(chǎn)品(50件正品，20件次品)中任取一件。這時(shí)樣本空間只含70個(gè)差不多事件(是原的樣本空間的一部分)。由古典概率知： 為了給出條件概率的數(shù)學(xué)定義，我們對例1的條件概率問題進(jìn)行分析： 即有 二。條件概率： 設(shè)A,B是條件S下的兩個(gè)隨機(jī)事件，P(A)0，則稱在事件4發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為條件概率, 且 【例 1】從帶有自標(biāo)號1， 2， 3，4，5，6的六個(gè)球中，任取兩個(gè)，假如用A表示事件“取出的兩球的自標(biāo)號的和，為6”，用B

3、表示事件“取出的兩球的自標(biāo)號都處偶數(shù)”，試求： 【例】 解； （） ， 三概率的乘法公式： 乘法公式： 兩個(gè)事件A、B之交的概率等于中任一個(gè)事件(其概率不為零)的概率乘以另一個(gè)事件在已知前一個(gè)事件發(fā)生下的條件概率。即 【例2】 盒中有10件同型產(chǎn)品。其中8件正品， 2件次品，現(xiàn)從盒中無放回地連取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率。因?yàn)?在第一次已取得正品下，第二次再取產(chǎn)品時(shí)，盒中只剩9件產(chǎn)品，其中正品只有7件?！纠?】10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽， 3人參加抽簽(不放回)，甲先、乙次、丙最后。求甲抽到難簽，甲、乙都抽到難簽， 甲沒抽到難簽而乙抽到難簽以及甲、乙、丙都抽到難簽的概率。解 ： 設(shè)事件

4、A，B、C分不表示甲、乙、丙各抽到難簽，則 【例4】 【例5】袋中有三個(gè)鬮，其中僅有一鬮為有物之鬮，三人排隊(duì)抓鬮，每人取一個(gè)，記從此例看出，抓鬮時(shí)雖排隊(duì)，但三人是等概的，否則那個(gè)方法就可不能被人類采納達(dá)數(shù)千年之久。三事件的獨(dú)立性： 假如則 表示事件A發(fā)生并不阻礙事件B發(fā)生的概率。即 1定義：設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，假如2性質(zhì)： 若四對事件與；與；與；與中有一對相互獨(dú)立，則其余三對也相互獨(dú)立即下面四個(gè)命題是等價(jià)的：定義： 應(yīng)用獨(dú)立性概念，能夠簡化概率的計(jì)算 【例6】在不超過100個(gè)自然數(shù)里任取一數(shù)，則它能被2或能被5整除的概率為多少？ 【例】 袋中放有a個(gè)白球和b個(gè)黑球，隨機(jī)取出一個(gè)，然后放回，

5、并同時(shí)再放進(jìn)與取出的球同色的球c個(gè)，再取第二個(gè)，如此連續(xù)取3次，問取出的3個(gè)球中頭兩個(gè)是黑球，第3個(gè)是白球酌概率是多少?解 ： 【例】已知每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為04，且他們是否含有肝炎病毒是相互獨(dú)立的今混合100個(gè)人的血清，試求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率 現(xiàn)在我們明白對人的血清作檢驗(yàn)用新方法要檢驗(yàn)l01次的可能性為033，而只需檢驗(yàn)一次的可能性為o33o67由此，能夠明白，只做一次檢驗(yàn)的可能性遠(yuǎn)大于t01次檢驗(yàn)的可能性以后我們將明白：用新方法對100個(gè)人平均需做34次檢驗(yàn)，因此這比老方法要做too次檢驗(yàn)確實(shí)減少了工作量【例】【例】甲、乙兩人同時(shí)向一敵機(jī)炮擊，已知甲擊中的概率為o6，乙擊中的概率為o5，求敵機(jī)被擊中的概率。 【例】 （）兩門火炮同時(shí)向一敵機(jī)射擊，每門火炮的命中率為6，求敵機(jī)被擊中的概率現(xiàn)若干門炮同時(shí)向向一敵機(jī)炮擊，問欲以的把握擊中這敵機(jī)，至少需要幾門炮？（）解：設(shè)至少n門炮同時(shí)向向一敵機(jī)炮擊，“第門炮擊中這敵機(jī)”，“敵機(jī)被擊中”，則，（ 不是兩兩互不相容，（）計(jì)算量太大，